Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 12

50 обозначены через АВСР; отсюда следует, что шар А с центром в А' будет соприкасаться как раз с шарами с центрами в вершинах Рис 5! этого тетраэдра, Из соображений сик1- метрии то же самое должно иметь место для всех шаров решетки ~; но то же самое должно быть и для шаров решетки К (например с центром в точке Н, рис. 51), так как решетки К и Е отличаются друг от друга в своем расположении только прямым и обратным направлениями смещения.

Положение центров шаров наглядно изображено на рис. 52, где центры соседних шаров всюду соединены прямыми линиями'), Вычислим теперь плотность тетраэдрального расположения. Очевидно, на каждый куб приходится четыре шара решетки ~, так как при смещении точек Егт6И (рис. 50) с их шарами последние целиком выступают из куба, а шары с центрамн в АВСР входят целиком внутрь куба, Так как решетка К имеет ту же плотность, как и ~, то всего на каждый куб приходится восемь шаров расположения. Если теперь снова положить ра- 1 диус шара — АА, равным единице, то, если а — ребро, Ь вЂ” глав.

2 ') Геометрическое место центров шаров при этой упаковке не дает никакой решетки, так как к этому геометрическому месту не принадлежит, например,гточка А", которая получится, если на рис. 51 продолжить линию АА' на равное ей расстояние аа точку А'; если бы это геометрическое место было решеткой, то наряду с А и А' в ней должна была бы содержаться и точка А".

Получившееся геометрическое место нааынается правильной (точечной) системой. Правильные системы обладают более общими свойствами симметрии, чем решетки. Их определение будет дано в й 9. ГЛ и ПРЛВЗ4ЛЪЗ4ЫЕ ТОЧЕз!НЫЕ СИСТЕМЫ ная диагональ куба, будем изяеть Ь=4АА'=8=а ~/3. В соот. Зз ветствии с этим объем куба равен а'==. Для искомой плот- зч4з ' ности находим аналогично прежнему: 0 = — з ' з зз = — н = 0,340. 8 4 ~/3 аз з гв Теперь покажем, что тетраэдральная упаковка шаров отнюдь не является наиболее разреженной, но что после простого ее изменения можно прийти к значительно более разреженной упаковке, в которой точно так же каждый шар соприкасается с четырьмя другими и все шары равноправны. Прн этом центры Рис.

52. четырех шаров, соприкасающихся с одним и тем же шаром, образуют вершины уже не правильного тетраэдра, а другого тетраэдра с равносторонним основанием и равнобедренными гранями. Чтобы получить такую упаковку, будем исходить от шара К тетраэдральной упаковки и поместим внутри этого шара четыре меньших одинаковых шара ез, й,, ез, ез, которые касаются ивнутри шара К как раз в тех точках, в которых шар К извне соприкасается с соседними шарами тетраэдральной упаковки. Так как эти четыре точки образуют вершины правильного тетраэдра, то то же самое имеет место и для центров малых шаров.

Надлежащим подбором радиусов малых шаров можно добиться того, чтобы шары йь йз, йз, ез попарно соприкасались друг с другом, т. е. чтобы каждый из этих шаров соприкасался с тремя другими. Теперь вообразим, что такое построение проведено и для всех других шаров тетраэдральной упаковки. Тогда шаР К помимо сопРикосновениЯ с шаРами йь йм ззз, йз 4 7 точечные Решетки В тРех и БОлее измеРениях 59 На основании элементарных соображений из нашего построения следует соотношение: Я=( ~/ — + 1)г, а отсюда получаем: 1 — 4 0 — О 3633р Таким образом эта упаковка шаров значительно разреженней, чем татраэдральная.

Есть основания считать, что она является наиболее разреженной, В приводимой таблице сведены характеристические постоянные четырех рассмотренных упаковок шаров. и я Й 7Ь ы о и о ! й. ы о > Р й 0 = — ° — и = 0,740 ч/2 4 8 3 Наиболее плотная упаковка шаров 0 = †.— и =0,5!3 ! 4 8 3 Кубическая упаковка 3 З/3 4 64 3 — и = 0,340 0,123 Тетраэдральная упаковка Наименее плотная упаковка Если отказаться от требования решетчатости упаковки кругов или шаров и потребовать, например, только, чтобы в достаточно большой области плоскости (пространства) было уложено бУдет сопРикасатьсЯ еше с одним внешним шаРом алев, именно в том месте, где я! касается шара К изнутри; в этой точке шар К соприкасается с шаром К' тетраэдральной упаковки и в той же точке шар К' соприкасается изнутри с одним из меньших шаров, который мы и называем Аэ. Разумеется, то же самое можно сказать и обо всех шарах нашего построения, конгруэнтных й!„ так что эти шары действительно образуют упаковку, при которой каждый шар удерживается на месте соседними.

Чтобы сравнить плотность а полученной таким способом упаковки с плотностью 17 тетраэдральной упаковки, очевидно, достаточно сравнить обший объем четырех шаров А„ят, А,, йч с объемом шара К Если г — радиус шара йи а 1т7 — радиус шара К, то мы будем иметь: 4 4 ° — пгэ а '3 г 4 =4 о В 4 йэ — яй' 3 ГЛ. П. ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ ео возможно больше одинаковых кругов (шаров) „то необходимы будут исследования другого рода. Для случая плоскости было доказано, что круги в этом случае сами собой расположатся решеткообразно.

Для случая трехмерного и многомерного пространств вопрос еше не выяснен '). 5 8. Кристаллы как правильные точечные системы Теория дискретных правильных точечных фигур находит важ. ное применение в кристаллографии, Правильная внешняя форма кристаллов и их способность раскалываться по определенным направлениям дают основания предполагать, что отдельные атомы или молекулы, рассматриваемые как точки, образуют такую фигуру, которая может быть продолжена до бесконечности конгруэнтно самой себе, Фигура, получающаяся путем такого конгруэнтного продолжения, называется правильной точечной сисгел!Ой. Ниже мы дадим более точное определение этого понятия и покажем, что существует лишь конечное число существенно различных правильных точечных систем. Теперь в связи с нашим представлением о кристаллах как системах точек возникают две задачи, частично относящиеся к физике, частично — к математике.

Прежде всего нужно для каждого вида кристаллов найти соответствующую систему точек; затем следует различие в физическом поведении кристаллов свести к различию в геометрических свойствах соответствующих систем точек. Первые попытки получить таким способом определенное пред. ставление о структуре кристаллов принадлежат Бравэ (1848)х). Однако теория получила прочное опытное обоснование лишь после опытов Лауэ с дифракцией рентгеновых лучей в кристаллах (!9!3), которые не только подтвердили существование кристаллической решетки, но дали возможность опытным путем находить точную структуру решетки. Самое грубое представление, которое можно иметь об атоме, состоит в том, что атом представляют себе в виде точки с числом «отростков», соответствующим валентности атома; при этом принимают, что эти отростки, изображающие валентность, расположены в пространстве по возможности симметрично, поскольку нет оснований предполагать отклонения от симметрии.

') При д = 10 найдена Я. Лич и Н. Слон, !950) нерешетчатая упаковка более плотная, чем плотнейшая из решетчатых известных упаковок; однако, то, что зта решетчатая упаковка действительно плотиейшая из ре. шетчатых упаковок при и = 10 неизвестно. — Прим. Ред. з) Математическая теория строения кристаллов была создана выдающимся русским ученым Е. С.

Федоровым (189!). — Лрим. Ред. $ В. КРИСТАЛЛЫ КАК ПРАВИЛЬНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ 61 Соединения отдельных атомов в молекулу представляют тогда так, что отростки различных атомов попарно совпадают. Так, например, водород (Н), кислород (О), азот ()ч') и углерод (С) соответственно одно-, двух-, трех- и четырехвалентны. Значит, мы можем представить себе атомы этих элементов как точки с одним, двумя, тремя и четырьмя отростками соответственно (рнс. 53). Симметрия требует, чтобы у Н, О и (х все отростки лежали в одной плоскости, По тем же соображениям Рис.

53. мы должны ожидать, что у С четыре отростка направлены в вершины правильного тетраэдра, в центре которого находится атом. В качестве примера молекул рассмотрим угольную кислоту (СОТ), метан (СН~) и этан (СсНА). На рис. 54 приведена схема 11 С О Рис. 64, соединения атомов (структурные формулы), в которой не принято во внимание действительное пространственное расположение атомов, Рис. 55 изображает возможное и, согласно специальным исследованиям, вероятное пространственное расположение атомов в молекулах метана и этана (Вант Гофф, 1874). При этом следует представлять себе, что в модели этапа один тетраэдр может вращаться по отношению к другому вокруг прямой, соединяющей оба атома углерода.