Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 3

Теперь мы переходим к самому отрезку г1Рз, к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, которые затем постепенно становятся все более округлымн и вместе ') Отрезок прямой, соединяющий оба фокуса, представляет также эллипс (особенный, выродившийся). Этот эллипс получается, еслн прннять за зпаченне суммы расстояний длину отрезка прямой, соеднпяюшей фокусы. ') Прямая, проходящая через оба фокуса, если нз нее выбросить отрезок, соеднняющнй фокусы, есть вырожденная гипербола, точно так же как прямая, перпендикулярная к отрезку, соеднннюшему фокусы, и проходяпшп через его середину; для этой последней разность расстояний имеет постояв.

ное значенне — нуль. ГЛ. Ь ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ 14 с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость. Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса. При этом эллипсы переходят в окружности, а гиперболы — в пары прямых.

Линии уровня и линии наибольшего подъема на географиче. ских картах суть также ортагональные семейства. Рис, 8. Рис. 7. Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, при~ водящее к ортогональным семействам. Возьмем конец нити, на. вернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на ок. ружность, н станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис, 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности, представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести нз какой-либо точки кривой. Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взя* той окружности. Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании пити начать с других точек окружности.

Но вса эвольвенты могут быть получены также из одной эвольввнты путем вращения се вокруг центра ок. ружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за з а цилинде и коикс; конические свчепия 15 исключением внутренности круга однократно и непрерывно, Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окруж ности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортогональное семейство состоит из эвольвент. Образующая их кривая — та, которую (как в нашем примере окружность) о;ибают прямые заданного семейства. Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. (Ч) и кинематике (гл. Ч).

5 2. Цилиндр и конус; конические сечения и поверхности вращения, образуемые ими Простейшую кривую поверхность, именно круговой цилиндр, можно получить при помощи простейших кривых — окружности и прямой — следующим образом. Через одну из точек окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости круга, и будем перемещать ее параллельно самой себе вдоль всей окружности. Можно также получить круговой цилиндр, заставив одну прямую вращаться вокруг другой прямой, параллельной первой и служащей для первой прямой осью вращения. Таким образом круговой цилиндр есть поверхность вращения. Поверхнос"и врашення представляют важный тип поверхностей; они встречаются в практическом обиходе в виде стаканов, бутылок и т.

д. Все онн могут быть охарактеризованы тем, что их можно получить путем вращения некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекает круговой цилиндр по окружности; плоскость, наклонная к оси, дает в сечении, как в этом можно непосредственно убедиться, эллипсовидную кривую. Покажем, что эта кривая есть действительно эллипс. Для этого возьмем шар такого диаметра, чтобы он в точк ости соответствовал внутренности цилиндра, и будем перед- рас. в. вигать этотшар внутри цилиндра досоприкосновения с секущей плоскостью (рис. 9). Точно такой же шар возьмем с другой стороны секущей плоскости и также продвинем его до соприкосновения с плоскостью сечения.

Шары соприкасаются с цилиндром по двум окружностям, а с плоскостью сечения имеют две точки соприкосновения Р~ и Рь Соединим теперь произвольную точку В кривой пересечения с точками Р~ и Рз и рассмотрим образующую цилиндра, проходящую через точку В. 16 гл'. ь пгоствпшив кгивыи и поввгхпости Пусть она пересекается с окружностями соприкосновения шаров и цилиндра в точках Р, и Рв Прямые ВРг и ВР, — касательные к одному и тому же шару, проходящие через точку В. Все такие касательные имеют равную длину, что непосредственно следует из всесторонней симметрии шара по отношению к вращению. Таким образом имеем: ВР, = ВРь и точно так же получаем: ВРз= ВРь Отсюда ВР~ + ВРз = ВР, + ВРз = РгРм Ко расстояние Р,Р, не зависит от выбора точки В на кривой вследствие симметрии фигуры по отношению к вращению.

Сле;овательно, для всех точек сеченая сумма расстояний от точек Р~ и Рв одинакова, т. е. сечение представляет эллипс с фокусами Рг и Рь Мы можем сформулировать полученный результат как теорему о проекциях, а именно: тень круга, получающаяся на плоскости, наклонной к плоскости круга, при освещении круга лучами, перпендикулярными к его плоскости, представляет эллипс. Следующей за круговым цилиндром простейшей поверхиостью вращения является круговой конус. Он получается при вращении прямой вокруг пересекающей ее оси.

Конус образуют все касательные, проведенные из одной и той же неподвижной точки к неподвижному шару, или все лучи, проектирующие круг из некоторой точки, взятой на его оси (т. е. на прямой, проходя. щей через центр круга перпендикулярно к его плоскости). Плоскость, перпендикулярная к оси кругового конуса, пересекает его по окружности; если же несколько наклонить секущую плоскость, то сечение превратится в эллипс. Это можно доказать, как и в случае кругового цилиндра, при помощи двух вспомогательных шаров, касающихся плоскости сечения: Если секущую плоскость все больше наклонять, то эллипсы будут все больше вытягиваться; наконец, когда секущая плоскость сделается параллельной одной из образующих конуса, кривая, получающаяся в сечении, уже не замыкается в конечной части плоскости. При помощи предельного перехода, аналогичного проведенному выше, можно убедиться, что эта кривая есть парабола.

Если дальше увеличивать наклон секущей плоскости, то она начнет пересекать и другую часть конуса, которую раньше не пересекала; кривая, получающаяся в сечении в этом случае, имеет вид гиперболы (рис. 10). Чтобы доказать, что эта кривая есть в самом деле гипербола, поместим в обе полости конуса шары, которые соприкасаются как с конусом, таки с плоскостью сечения (в этом случае оба шара будут расположены по одну сторону от секущей плоскости, в то время как в случае эллипса онп располагались по разные стороны). Доказательство прово.

5 2. ПИЛИНДР И КОНУС; КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ )у дится в полном соответствии с рассуждением на с. 16. Имеем (рис, 10)г ВР, = ВРН ВРа = ВРя, ВРа — ВР, = ВРя — ВР, = Р,Р, = сопз1. Итак, мы убедились, что всякое сечение конуса плоскостью, ие проходящей через его вершину, представляет либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу'). Мы видим, что эти кривые имеют внутреннее сродство, в связи с чем они объединяются под общим названием конических сеченийа). К трем упомянутым «собствеи. ным» коническим сечениям следует добавить в качестве «несобственных» предельные формы конических сечений, получаемые в том случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса или когда ко.

нус вырождается в цилиндр. Таким образом в качестве выродившихся конических сечений следует принять: точку, прямую, «считаемую дважды», две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые я пустую плоскость. Конические сечения называются также кривыми второго порядка. Это название они получили потому, что в декартовых координатах они выражаются уравнениями второй сте- Рис.

)О. пени. Это свойство не может быть непосредственно наглядно сформулировано, но нз него можно получить вполне наглядное следствие: коническое сечение ие может пересекаться с прямой более чем в двух точках. Однако имеется много других кривых, обладающих тем же свойством. ') Круг следует рассматривать как предельный случай эллипса.

') Итак, тень круга на любую плоскость есть коническое сечение, если источник света находится в какой-либо точке на оси круга. Что при этом могут получиться гиперболы, можно видеть на примере конуса света автомобильной фары; в плоскости дороги он освещает внутренность одной ветвв гиперболы. Так как каждую касательную к гиперболе можно рассматривать яак тень касательной к окружяости, то касвтельнаи к гиперболе имеет с гиперболой только одну общую точку — точку прикосновения, как и было укавано на с.