Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Поступая так, мы нг намереваемся давать законы на вечные времена. Может случиться, чт! когда-нибудь математики согласятся использовать способы рассуждения, не поддающиеся формализации в излагаемом здесь языке. Тогда придется если и не полностью изменить этот язык, то по крайней мере расширить правила синтаксиса.

Решение принадлежит будущему. Само собой разумеется, описание формализованного языка делается на обычном языке, подобно описанию правил игры в шахматы; мы не входим в обсуждение психологических или метафизических ВВЕДЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ '26 проблеи, связанных с применимостью обычного языка в таких обстоятельствах (например, возможности опознать, что какая-нибудь буква алфавита является „той же самой" в двух различных местах страницы, и т. Д.). Равным образом невозможно выполнить такое описание без того, чтобы не применять нумерацию; хотя строгие умы могли бы почувствовать затруднение при этом и даже найти здесь логическую ошибку, тем не менее ясно, что в данном случае цифры используются лишь как опознавателъные метки (впрочем, заменимые другими знакам н, например цветами или буквами) и что подсчет знаков в выписанной формуле еше не составляет никакого математического рассуждения. Мы не будем обсуждать возможность обучить принцнпаи формализованного языка существа, умственное развитие которых не доходило бы до умения читать, писать и считать.

Если бы формализованная математика была так же проста, как игра в шахматы, то. составив описание выбранного нами формали.,зованного языка, мы должны были бы затем лишь излагать наши доказательства на этом языке. подобно тому как автор шахматного трактата записывает в своей нотации партии, которым он хочет научить, сопровождая их в случае необходимости комментариями. Однако вопрос решается отнюдь не столь легко, и не требуется большого опыта, чтобы убедиться в абсолютной неосуществимости подобного проекта: даже простейшее доказательство из начального раздела Теории множеств потребовало бы сотен знаков дла своей полной формализации.

Поэтому, уже начиная с Книги 1 настоящего Трактата, возникает настоятельная необходимость сокращать формализованный текст введениеи новых слов (называемых „сокращающими символами") и дополнительных правил синтаксиса (называемых „дедуктивными критериями") в довольно значительном количестве. Поступая так, мы получаем языки, гораздо более удобные, чем формализованный язык в собственном смысле, и относительно которых любой мало-мальски опытный математик будет убежден, что их можно рассматривать как стенографические транскрипции формализованного языка.

Но мы уже не будем иметь уверенности, что переход от одного из этих языков к другому может быть сделан чисто механическим образом. Чтобы обрести эту уверенность, пришлось бы настолько усложнить правила синтаксиса, управляющие употреблением новых слов, что польза от этих слов стала бы иллюзорной. Здесь, как и в алгебраическом исчислении и при употреблении почти любых обозначений, которыми обычно пользуются математики, удобный инструмент предпочитается другому, теоретически более совершенному, но слишкои громоздкому. Как увидит читатель, введение этого сжатого языка сопровождается .„рассуждениями' особого типа, принздлежащими к так называемой Л4в- талгатематине.

Эта дисциплина, абстрагируясь полностью от всякого значения, которое могло бы первоначально приписываться словам или фразам формализованных математических текстов, рассматривает эти тексты как особые простые объекты, как собрания некоторых заранее данных объектов, для которых важен лишь порядок их расположения. И как трактат по химии заранее объявляет результат эксперимента, производимого при данных условиях, так и метаматематические „рассуждения" будут обычно устанавливать, что после некоторой последовательности операций над текстом данного типа окончательный текст. будет текстом другого данного типа.

В простейших случаях такие утверждения, по правде говоря, являются чистыми трюизмами (их можно было бы сравнить, например, со следующим утверждением: ,Когда в мешке с шарами, содержащем черные шары и шары белые, заменят все черные шары белыми, в мешке останутся только белые шары"; ср. стр. 34). Но очень скоро (ср. стр. 37 — 38) мы встречаем примеры, в которых аргументация принимает типично математический характер, с преимущественным употреблением произвольных целых чисел и рассуждений по индукции. Если выше мы устранили возражение против употребления нумерации при описании формализованного языка, то теперь мы не можем более отрицать опасность логической ошибки, поскольку теперь как будто с самого начала используются все ресурсы арифметики и в то же время предполагается изложить, между прочим, ее основания.

На это некоторые находят возможным отвечать, что в рассуждениях такого рода мы лишь описываем операции, поддаинциеся выполнению и контролю, и что по этой причине мы почерпываем в этих рассуждениях убеждение другого порядка, чем то, которое мы приписываем математике в собственном смысле. Проще, по-видимому, сказать, что ложно было бм обойтись без метаматематических рассуждений, если бы формализованная математика была действительно записана: вместо использования „дедуктивных критериев" мы каждый раз вновь начинали бы последовательности операций, которые мы теперь хотим сократить тем, что предсказываем их результат. Но формализованная математика не может быть записана вся полностью, и потому в конце концов приходится питать доверие к тому, что можно назвать здравым смыслом математика,— доверие, аналогичное тому, которое бухгалтер и инженер, не подозревая о существовании аксиом Пеано, питают к формуле или численной таблице н которое в конечном счете основано на том, что оно никогда не было подорвано фактами.

Итак, мы очень скоро покинем формализованную математику, но тем не менее будем заботиться о том, чтобы отмечать дорогу, по которой к ней можно вернуться. Льготы, приносимые первыми же „вольностями речи" такого рода, позволят нам написать остальную часть Трактата (и, в частности, сводку результатов Книги 1) так, как пишутся на практике все математические тексты, т. е. отчасти обычным языком, отчасти с помощью формул, составляющих частичные форма- вввдвния лизации, специальные и неполные, из которых алгебраическое исчисление может служить наиболее известным примером. Часто даже мы будем пользоваться обычным изыком еще более смело, с произвольно вводимыми вольностями речи, с полным опущением мест, относительно которых предполагается, что мало-мальски искушенный читатель способен их легко восстановить, с указаниями, не переводимыми на формализованный язык и служащими для облегчения этого восстановительного процесса. Другие места, равно непереводимые, будут содержать комментарии, назначение которых сделать более ясным развитие идей, с обращением в случае необходимости к интуиции читателя; использование риторических средств становится поэтому законным, лишь бы оставалась неизменной возможность формализации текста.

Первые примеры такого стиля будут даны уже в этой Книге Трактата, в гл. П1, налагающей теорию целых и кардинальных чисел. Итак, написанный по аксиоматическому методу и сохраняющий всюду в виду, как некий горизонт, возможность полной формализации, наш Трактат претендует на полную строгость — претензия, которую не опровергают ни изложенные выше соображения, ни списки оиеяатоа, с помощью которых мы исправляли и будем исправлять ошибки, время от времени вкрадывающиеся в текст.

Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую Книгу Трактата, остается весьма незначительным. В том же реалистическом духе мы рассматриваем здесь вопрос о непротиворечивости — один из вопросов, наиболее занимающих современных логиков и в той или иной мере встаянцих уже с самого начала при создании формализованных языков (см.

„Исторический очерк"). Та или иная математическая теория называется противоречивой, если какая-либо теорема доказывается в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из обычных правил умозаключения, лежащих в основе правил синтаксиса формализованных языков, можно вывести следствие, что любая теорема одновременно и истинна, и ложна в этой теории, теряющей тем самым всякий интерес. Если, таким образом, мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло.

Можно ли приобрести уверенность, что этого никогда не случится? Не пускаясь по этому поводу в выходящие за пределы нашей компетенции споры о самом понятии уверенности, заметим, что метаматематика может попытаться рассмотреть проблемы непротиворечивости своими собственными методами. В самом деле, сказать, что некото- Вяидення 29 рая теория противоречива, сводится к тому, чтобы сказать, что она содержит правильное формализованное доказательство, оканчивающееся заключением О ~ О.