Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 8

Таким образом, знакосочетание, обозначаемое символом т (А), не содерзхит х. 1 ! Пример. Символ тх(б ху) изображает знакосочетание ТААД у. Пусть А и  — знакосочетания, а х — буква. Внакосочетание, получаемое при замене буквы х, каждого ее экземпляра в А, знакосочетанием В, обозначается через (В) х) А (читатги „В замещает х в А"). Если х не встречается в А, то (В(х)А тождественно с А; в частности, (В(х)т„(А) тождественно с г (А). Пример. Если в знзкосочетании а/ б ху = хх заменить букву х символом Д в каждом месте ее появления, то полчим знакосочетание , т полу- '/ АБДТ =ДД.

Если нам дано знакосочетание А и мы особенно интересуемся какой-нибудь буквой х нли двумя разными буквами х и у (которые могут встречаться или не встречаться в А), мы часто будем В писать А~х~ или А)х. у). В этом случае мы пишем А)В) вмес о ( (х)А. Символ А)В, С) обозначает знакосочетание, получаемое вместо при одновременной замене буквы х знакосочетанием В и буквы у знакосочетанием С во всех местах их появления в А (заметим, что х и у могут содержаться в В и в С); если х' и у' — буквы, отличные от х и у и друг от друга и не встречающиеся ни в А, ни в В, ни в С, то А )В, С( есть не что иное. как (В~ х') (С(у')(х'! х) (у'(у) А. Замечание. Когда мы даем определение сокращающего символа Е для изображения некоторого знакосочетания, то соглашаемся (обычно не оговаривая особо), чтобы знакосочетание, получаемое подстановкой знакосочетання В в исходное знакосочетанне вместо некоторой буквы х, изображалось символом, получаемым заменой буквы х в 2 знакосочетанием В (чаще же сокращающим символом, изображающим знакосочетание В).

'Например, уточнив, какое знакосочетание изображает символ Е 8 Р, где Е н Р— оуквы (знакосочетание, которое, впрочем, содержит и другие буквы, кроме Е и Р), мы будем пользоваться без объяснеййй символом Е бб Р Это правило может привести к путанице, избегаемой различными типографскими приемами, из которых наиболее частый состоит в том, что х заменяется символом (В), а не символом В. 'Например,М П Н обозначает знвкосочетвние, содержащее букву Н. Если вместо Н подставить знакосочетание, изображаемое символом Р () О, то получится знакосочетание, которое можно обозначить символом М П (Р 0 0)а ГЛ. Е ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОИ МАТЕМАТИКИ 2.

Критерии подстановки Ф ормальная математика состоит только из написанных явным образом внакосочетаний. Однако даже при употреблении сокращающих символов'построение математики строго в соответствии с этим принципом привело бы к крайне длинным рассуждениям. Поэтому мы установим в этой Книге Трактата критерии, которые будут касаться неопределенных знакосочетаний и каждый из которых раз навсегда опишет окончательный результат определенной последовательности манипуляций над этими знакосочетаниями. Эти критерии, стало быть, не являются теоретически необходимыми; их обоснование относится к метаматематике. Построение иетаматематики практически само делает необходимым употребление сокращающих символов, часть из которых уже была указана.

Большинство этих символов будет использоваться также и в математике. Мы будем пользоваться следующими критериями, называемыми критериями подстановки: СЯ1. Пусть А и  — знакосочетание, х и х' — буквы. Если х' не встречается е А, то (В~х)А тождественно с (В~х')(х'~х)А. СЯ2. Пусть А, В и С вЂ” знакосочетание, х и у — разные буквы '). Если у не встречается е В, то (В(х)(С)у)А тождественно с (С'(у)(В~ х)А, где С' — знакосочетание (В ~ х) С. СБЗ.

17усть А — знакасочетание, х и х' — буквы. Если х' не встречается е А, то т (А) толсдестеенно с т„(А'), где А' — знакосочетание (х' ~ х) А. С54. Пусть А и  — знакосочетанин, х и у — разные буквы. Если х не встречается е В, то (В~у) тл(А) тождественно с с (А'), где А' — знакосочетание (В~у) А. СЯ5. Пусть А, В, С вЂ” знакосочетания, х — буква. Знакосочетания (С~х)( )А), (С~х)(~/АВ), (С~х)=)ь(АВ), (С(х)(зАВ) (е — специальныд знак), тождественна соответственно с ~ А', ~/ А'В', =)ьА'В', вА'В'. где А', В' суть соответственно (С~х)А, СС! )В'. Объясним, например, принцип проверки критерия СБ2.

Сравним операцию перехода от Л к (В!х)(С ~у) Л с операцией перехода от Л к (С'~у)(В ~х) А. При обеих операциях не изменяется ни один знак, содержащийся в А и отличный от х и у. На каждое место, где х встречается в А, мы должны подставить В вместо х как при первой, так и при второй операции: это очевидно для первой, а для второй это вытекает из того, что у ие встречается в В. Наконец, иа каждом месте, где у встречается в А, первая операция состоит в том, чтобы $ Ь ТЕРМЫ И СООТНОШЕНИЯ подставить С вместо у, а затем  — вместо х на каждое место, где х встречается в С; но ясно, что зто сводится к подстановке вместо у формулы (В)х) С на каждое место, где у встречается в А.

3, формативные конструкции Среди специальных знаков всякой теории одни будут называться реляционными, а другие — субстангпивными. С другой стороны, каждому специальному знаку приписывается целое число, называемое его весом (практически всегда число 2). Знакосочетание называется знакосочетанием первого рода. если оно начинается со знака т или с субстаптивного знака или сводится к одной букве; в противном случае знакосочетание называется знакосочетанием второго рода. Фо рматизная конструкция теории 7' есть последовательность знакосочетаний, обладающая следующим свойством: для каждого знакосочетания А из последовательности выполняется одно из указанных ниже условий; а) А есть буква; б) в последовательности существует знакосочетание второго рода В, предшествующее А, такое, что А есть |В; в) существуют два знакосочетания второго рода В и С, предшествующие А (различные или нет), такие, что А есть ~/ВС; г) существуют знакосочетание второго рода В, предшествующее А, и буква х, такие.

что А есть с (В); д) существует специальный знак в веса и ') из сг и п знакосочетаний первого рода А,, Аг, ..., А„, предшествующие А, такие, что А есть вА,А ... А,. Мы называем термами (соответственно соотношениями) теории 7' знакосочетания первого рода (соответственно второго рода), встречающиеся в форматизных конструкциях теории 7'. Пример.

'В теории множеств, в которой й есть реляционный знак веса 2, следующая последовзтельносгь является формативной конструкцией: А А' А" Е АА' й АА" ) БАА' АГ ) БАА' БАА" ') В соответствии с тем, что отмечалось в и' К фраза,х и у — разные буквы" представляет собой вольность речи для того, чтобы сказать: „х и у обозначаюгл разные буквы в рассматриваемых нами знакосочетаниях'. ') Кзк говорилось выше, при построении современных математических теорий можно было бы ограничиться рассмотрением только специальных знаков веса 2 и, следовательно, не употреблять выражения, целое число л' в определении формативной конструкции.

Гл, !. ОписАние ФОРЯАльНОЙ матемАтики л 4 !. те~мы и соотношения ЗТ Таким образом, знакосочетание, приведенное в качестве примера в п' 1, есть терм теории множеств., Залгечаиие. Интуитивно, термы — это знакосочетання, иаображающие обэекты (предметы), а соотношения — формулы, изображающие утверждения, которые можно делать об этих предметах. Условие а) означает, что буквы изображают предметы. Условие б) означает, что если  — утверждение, то ) В, так называемое отрицание этого утверждении В, также есть утверждение (читаемое: „не В"). Условие в) оаначает, что если В и С вЂ” утвержденна, то Ч ВС, так называемая дизьюикцин В и С, также есть утверждение (читаемое: .В или С"); поэтому РВС есть утверждение (читаемое: .Не В или С или „В имплицнрует С', или,В влечет С"). Условие г) означает, что если  — утверждение и х — буква, то т (В) есть предмет; будем рассматривать утверждение В как утверждение, выражающее некоторое свойство предмета х, тогда, если существует предмет, обладающий этим свойством, знакосочетание чм(В) изображает привилегированный объект, обладающий втнм свойствощ в противном случае т„(В) изображает предмет, о котором нельзя ничего сказать.

Наконец. условие д) означает, что если А„Аэ, ..., А„— предметы, а э — реляционный (соответственно, суботантивный) знак веса и, то вА!Аь ... А„есть утверждение, относящееся к предметам Аь Аэ, ..., А„ (соответственно, предмет, зависящий от предметов Аь Аь... А„). Примеры. Символы И, Гч', „числовая прямая, .функция Г', Уоб изображают термы. Символы в=У 2+$' 3, 162, .всякое конечное тело коммутативно", .нули функции б(а), отличные от — 2, — 4, — 6, ..., лежат на прямой йе (э) = 1/2" изображают соотношения.