Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 5

ссылки, которые должны лишь установить первенство, почти всегда будут опущены. Что касается упражнений, то вообще не было сочтено полезныи указывать их источники. каковые весьма различны (оригинальные работы, учебные руководства, сборники упражнений). ') В указанных на стр. 16 — 17 русских переводах разделов Трактата.

наиболее трудные упражнения отмечались звездочкой.— Прим. ред. СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННЪ|М ТРАКТАТОМ 12. Ссылки на то илн иное место Трактата даются следующим образом: а) Если надо сослаться на теоремы, аксиомы или определения, излагаемые в том же самом иараграфе, то они обозначаются, если это возможно, своими номерами. б) Если они излагаются в другом параграфе той же главы, .то, кроме того, указывается этот параграф. в) Если они излагаются е другой главе той же книги, то ука.зываются соответствующие глава и параграф. г) Если они находятся з другой книге, то сначала указывают, сверх того, эту книгу по ее названию, Сводки результатов обозначаются буквами Рез: например, >Ииож. Рез означает „сводка результатов теории множеств".

Если какая-либо глава была модифицирована в последующих изданиях, ссылки на эту главу будут содержать указание на издание, если только место, на которое ссылаются, не осталось неизменным по сравнению с первым изданием. Таблицы соответствия между последовательными изданиями дают читателю возмо>кность отыскать в новом издании определения, предложения или упражнения, нумерация которых изменилась по сравнению с предыдущим изданием. 13. Каждый раз, когда читателю может быть полезно иметь перед своими глазами во время всеГо чтения данного выпуска некоторые аксиомы, некоторые определения и т.

д., таковые будут воспроизводиться на разеорачиваюигейся вклейке, помещаемой в конце выпуска. ВВЕДЕНИЕ Со времен греков говорить, математика" — значит говорить „доказательство'. Некоторые сомневаются даже, что вне математики имеются доказательства в том точном и строгом смысле, какой получило это слово у греков и какой мы хотим придать ему здесь. С полным правом можно сказать, что этот смысл не изменился. То, что было доказательством для Эвклида, остается доказательством и в наших глазах; а в эпоху, когда понятие доказательсгва было под угрозой утраты и математика находилась из-за этого в опасности, образцы .искали именно у греков.

Однако к столь славному наследию в течение последнего века прибавились новые важные завоевания. Действительно, анализ механизма доказательств в хорошо подобранных математических текстах позволил раскрыть строение доказательств с точки зрения как словаря, так и синтаксиса. Это привело к заключению, что достаточно ясный математический текст можно было бы выразить на условном языке. который содержит лишь небольшое число неизменных „слов", соединяемых друг с другом, согласно синтаксису, состоящему из небольшого числа не допускающих исключений правил; так выраженный текст называется формализованным.

Запись шахматной партии с помощью обычной шахматной нотации и таблица логарифмов суть формализованные тексты. Формулы обычного алгебраического исчисления также будут формализованными текстаии, если полностью кодифицировать правила, управляющие употреблением скобок, и строго их придерживаться; но в действительности некоторые из этих правил познаются лишь в процессе употребления, и этот же процесс санкционирует некоторые отступления от нкх. Проверка формализованного текста требует лишь в некотором роде механического внимания, так как единственные возможные источники ошибок — это длина или сложность текста.

Вот почему математик большей частью доверяет собрату, сообщающему результат алгебраических вычислений, если только известно, что эти вычисления не слишком длинны и выполнены тщательно. Напротив, в неформализованном тексте всегда существует опасность ошибочных умозаключений, к которым может привести, например, злоупотребление интуицией или рассуждение по аналогии. Однако в действительности математик, желающий убедиться в полной правильности, или, как говорят, "строгости", доказательства или теории, отнюдь.

не прибегает к одной из тех полных формализаций, которыми мы сейчас располагаем, и даже большей частью не пользуется частич- ВВЕДЕНИЕ введение ными и неполными формализациями, доставляемыми алгебраическим и другими подобными исчислениями. Обыкновенно он довольствуется тем, что приводит изложение к такому состоянию, когда его опыт и чутье математика говорят ему, что перевод на формализованный язык был бы теперь лишь упражнением (быть может, очень тягостным) в терпении. Если, как нередко бывает, возникают сомнения, то в конечном счете они относятся именно к возможности прийти без двусмыслеьности к такой формализации — употреблялось ли одно и то же слово в разных смыслах в зависимости от контекста. нарушались ли правила синтаксиса бессознательным употреблением способов рассуждения, не разрешаемых явно этими правилами, была ли, наконец, совершена фактическая ошибка.

Если оставить в стороне последний случай, то непременно рано или поздно сомнения преодолеваются тем, что текст редактируется, все больше и больше приближаясь к формализованному тексту, пока, по общему мнению математиков, дальнейшее продолжение этой работы не станет излишним. Иными словами, правильность математического текста всегда проверяется более или менее явным сравнением с правилами какого-либо формализованного языка. Аксаомагиическиа метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима. Он не является новым изобретением, но его систематическое употребление в качестве инструмента открытий составляет одну из оригинальных черт современной математики.

В самом деле, и при записи, и при чтении формализованного текста совершенно несущественно, приписывается ли словам и знакам этого текста то или иное значение или даже не приписывается никакого, — важно лишь точное соблюдение правил синтаксиса. Именно поэтому алгебраические вычисления, как знает каждый, могут служить для решения задач о килограммах или о франках, о параболах или о равномерно ускоренных движениях. Таким же преимушеством — и по тем же причинам— обладает и всякий текст, составленный по аксиоматическому методу.

Коль скоро теоремы Общей топологии установлены, их можно применять по желанию и к обычному пространству. и к гильбертову, равно как и ко многим другим пространствам. Эта возможность придавать разнообразное содержание словам или первичным понятиям теории составляет вместе с тем важный источник обогащения интуиции математика, которая отнюдь не обязательно имеет пространственную или чувственную природу, как часто думают, а скорее представляет собой некоторое знание поведения математических объектов, часто прибегающее к помощи образов самой различной природы, но основанное прежде всего на повседневном знакомстве с этими объектами.

На таком пути нередко открывалась возможность плодотворного изучения в какой-либо теории свойств, которые в ней по традиции оставались без внимания, но которые систематически изучались в обшей .аксиоматической теории, охватывающей данную теорию как частную модель (например, свойств, ведущих свое историческое происхождение от другой частной модели этой общей теории). Более того. — и это нам особенно важно в настоящем Трактате — аксиоматический метод позволяет, когда дело касается ело~иных математических объектов, расчленить их свойства и перегруппировать эти свойства вокруг немногих понятий, т, е., если воспользоваться словом, которое далее получит точное определение, он позволяет классифицировать свойства по слгрукгнурам, которым они принадлежат (одна и та же структура, разумеется, может фигурировать в связи с разными математическими объектами).

Так, среди свойств сферы одни являются топологическими, другие — алгебраическими, а третьи могут рассматриваться как относящиеся к дифференциальной геометрии или к теории групп Ли. Каким бы искусственным этот принцип классификации ни становился иногда по мере переплетения структур, именно он лежит в основе распределения по книгам материала, составляющего предмет настоящего Трактата. Подобно тому как искусство правильно говорить на живом языке существовало еще до грамматики, так и аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков.

Однако его сознательное применение может основываться только на знании общих принципов, управляющих этими языками, н их соотношений с обычными математическими текстами. Мы нзмереваемся в этой книге Трактата дать сначала описание одного такого языка вместе с изложением общих принципов, применимых ко многим другим подобным языкам. Однако для наших целей будет достаточно лишь одного-единственного языка.

В самом деле, если прежде могли думать, что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиций, дающих ей первичные понятия и истины, и потому для каждой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника — Теории множеств. Таким образом, нам будет достаточно изложить принципы какого-то одного формализованного языка, рассказать, как сформулировать на этом языке Теорию множеств, а затем постепенно, по мере того как наше внимание будет направляться на различные отрасли математики, показывать, как они включаются в Теорию множеств.