Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 2

пРедислОВие РедАктОРА пеРеВОдА рассматриваются автором как множества, наделенные той или иной „структурой" (об этом последнем понятии см. э 8 „Сводки результагов"). В п. 2 прежнего варианта „Суособа пользования" говорилось: „Первая часть Трактата посвящена основным структурам Анализа ...; в каждой из книг, на которые делится эта часть, изучается одна из этих структур или ряд близкородственных структур ...

Общие принципы, изучаемые в первой части, найдут затем в следующих частях применение к теориям, в которых появляются одновременно различные структуры". Естественно, что при таком способе изложения первая книга— „Теория множеств" — занимает совершенно особое место в трактате. Автор, намеревающийся систематически выводить всю математику из теории множеств (путем присоединения к последней дополнительных аксиом), именно в этой книге закладывает фундамент своего построения. Поэтому введение к первой книге может в известном смысле рассматриваться как введение ко всему трактату. В первой главе дается описание метода, посредством которого будет развиваться теория на протяжении всего Трактата.

Таковым служит формальный аксиоматический метод '), в котором (в отличие от неформального аксиоматического метода) четко формулируются не только аксиомы, но и правила вывода из них. Предложения рассматрива мой теории предстают при этом в виде знакосочетаний, а правила вывода одних предложений из других в в виде правил формального преобразования этих знакосочетаний, Именно таким способом развивается вз второй главе теория множеств.

Разумеется, знакосочеташ|я и действия с ними могут прн желании рассматриваться безо всякой интерпретации, как говорят, с чисто синтаксической точки зрения (т. е. исключительно с точки арения взаимного расположения самих знаков). Однако наибольший интерес представляют, конечно, те построения, которые сопровождаются интерпретацией, т. е. наделением рассматриваемых знакосочетаний определенным содержанием. В книге такая интерпретация постоянно указывается. Более того, благодаря широкому использованию тек называемых сокращающих символов (см., например, определение ,символа „1' на стр. 187 — 188) и соглашений о словесном прочтении знакосочетаний, текст книги по мере удаления от начала все более и более приобретает характер обычного математического текста (лишь в главе 1Ч приходится снова вернуться к формальному языку).

Однако следует всегда помнить, что каждое звучащее обычно предложение (вроде ,Существует такое множество, что..." и т. п.) представляет собой на самом леле не что иное, как произведенную на основе сделанных соглашений словесную запись некоторого знакосочетания, — причем как раз такого, что это знакосочетание — при ') См. А. Чэрч, Введение в математическую логику, М., ИЛ, 1960, стр. 55. пРедислОвие РедАктОРА пеРеВодА его интерпретации, заданной особым соглашением,— н это предложение — при обычном его истолковании в повседневном математическом языке — выражают одно и то же суждение.

Таким образом, большинство предложений может расшифровываться двумя согласованными между собой способами — обычным, содержательным (как выражающее некоторое суждение) и формальным (как изображающее некоторое знакосочетание); см.

для примера формулировку Предлжения на стр. 85. Этот особый, „двусмысленный" стиль изложения ! опредставляется педагогической удачей автора: он позволяет, развивая формальную аксиоматическую теорию, считать, что мы занимаемся содержательной математикой (или, наоборот, занимаясь обычной математикой, развивать вместе с тем формальную теорию). В третьей главе излагается теория упорядоченных множеств и кардинальных (количественных) чисел.

К сожалению, важнейшее понятие ординального (порядкового) числа встречается лишь в п ажнениях. упраж- В главе !17 определяется и изучается основное для всего трактата (вынесенное даже в название всей первой части) понятие стр структуры. В силу самой тематики первой книги, помещенный в ней, как и в других, Исторический очерк (касающийся оснований математики, логики, теории множеств) более тесно связан здесь с основным изложением, чем где-либо в других разделах Трактата; достаточно сказать, что именно в нем формулируются знаменитые теоремы Геделя бы об ограниченности формального аксиоматнческого метода.

'П ыло решено набрать его в русском издании тем же шрифтом, что и основной текст (во французском оригинале исторические очерки набираются петитом). ! Наконец, Сводка результатов должна сделать возможным для читателя изучение последующих книг Трактата без непосредственного обращения к достаточно напряженному тексту глав 1 — 1У. 4. Некоторые критические замечания Перед любым автором, избирающим для развития своей теории формальный аксиоматический метод, всегда встают две проблемы: Рроблема неаротиеоречиеости, состоящая в выяснении того, не окажется ли в его формальной теории слишком много теорем (настолько много, что они уже начнут противоречить друг другу), и проблема аолнаты, состоящая в выяснении того, можно ли в этой теории получить достаточно много теорем (а именно получить в качестве теорем все выразимые в теории содержательно истинные утверждения). Во введении (стр.

28 — ЗО) автор достаточно отчетливо ставит перед собой п ервую проблему и решает ее. по его словзм, „в реалистическом духе". Это решение слагается, во-первых, из надежды, что протвворечие в аксиоматнческой теории множеств не встретится, и, во-вторых, из убеждения, что если оно и встретится, то его ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА о б ет устранить, слегка вндоизменнв эту теорию.

Однако ч бе ительподкрепляющий надежду аргумент не кажется достаточно у едительным. Он состоит в том, что „за 40 лет с тех пор, как сформулиной точностью аксиомы теории множеств и стали извлекать из цих следствия в самых разнообразных областнх математики, еше ни разу не встретилось противоречие" (введение, стр. ).

о том, что аксиомы, о которых сказано в этом Не говоря уже отрывке, ыли вс б е же не те, которые положены в основу теории Б баки, было бы, конечно, неправильным рассматривать развитие ур аки, ыло ь, мзтемзтики после формулирования аксиом теории множе рств как п оцесс извлечения следствий из этих аксиом. Поэтому ссылаться здесь можно не на сорокалетний опыт математики, а на сорокалетний опыт аксиоматический теории множеств. Впрочем.

автор, повидимому, исходит из того, что все результаты. полученные с тех пор математика, й, могли бы быть получены и средствами аксиоматической теории множеств. Может быть, это и так; однако это еще ие представляется достаточно очевидным. Строго говоря, нет гарантии даже того, что все теоремы Трактата могут быть доказаны в рамках фо мализованной теории, описанной в главе 1 первой книги. ,Двушленный стиль", о котором говорилось в предыдущем пункте, таит в себе и известную опасность: становится трудным прас дпт, возможно ли любое доказательство, встречающееся в рактате н имеющее внешний вид содержательного рассуждения, воспроизвести формально.

Но тут мы сталкиваемся уже с проблемой полноты. Как показал Гздель в своей знаменитой теореме о неполноте, или первой теореме, каждая достаточно сильная непротиворечивая формальная теория неполна, т. е. существует истинное утверждение, выражающееся на языке этой теории, но не доказуемое в ней'); критерием силы теории является здесь доказуемость в ней так называемых аксиом арифметики.

Аксиомы арифметики доказуемы в аксиоматической теории множеств; следовательно, по теореме Геделя, аксиоматическая теория множеств, если непротиворечива, то неполна. Итак, мы получили, что существует истинное предложение, выразимое на языке аксиоматической теории множеств, но не доказуемое в ней. Более того, теорема Геделя дает способ построения такого предложения; относительно этого (теперь уже конкретного) и едложения мы можем установить, стало быть, что оно истинно содержательно, но не доказуемо формально. Установление истинности какого-либо предложения есть то, что в обычной математике называют доказательством; мы имеем, следовательно, пример такого содержательного доказательства, которое не может быть проведено формальна (в рассматриваемой аксиоматической теории, в данном ~) На ст .

344 читатель найдет определение полноты (н, следовательно, неполноты), не опирающееся нз понятие истины. Оба опрея а стр. ч Об еления экви- валентны для широкого класса теорий, ПРедисловие РедАктОРА переводА "Уча' ' "ОРИИ БУРб -). Гд..р. -., „О,а,и, до,а не встречаются в реальной математической практике (и, быть может, даже где-нибудь в последних книгах трактата Бурбаки)? И не показывает ли все это принципиальную ограниченность метода формализации? Разумеется, построенное истинное, но не доказуемое в данной формальной теории предложение мы можем присоединить в качестве новой экономы к исходной системе; но тогда тем же способом получим другое предложение, обладающее теми же свойствами (относительно расширенной системы) и т.

д, Во введении автор пишет (стр, 28), что „возможность полной формализации" сохраняется в рактате „всюду в виду, как некий горизонт". Как видим, это Т сравнение (во всяком случае, если говорить о всей математике, а не только о Трактате) оказывается более точным, чем, возможно, хотелось бы автору. Автор не считает нужным хотя бы поставить проблему полноты. Даже в заключительном Историческом очерке, где на стр. 344 приводится теорема Геделя о неполноте, автор говорит о ней просто как о значительном результате метаматематики, ие замечая, или не желая замечать ее самого прямого отношения к применяемому в трактате методу. Можно, конечно, возразить, что автор, по-видимому, и не признает никакого понятия истины, отличного от понятия доказуемости в формальной системе (теорема Геделя формулируется им без привлечения этого понятия): «Таким образом, „математическая истина" пребывает исключительно в логической дедукции из посылок, устанавливаемых путем произвольного задания аксиом»,— пишет Н.