Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 7

Но метаматематика может пытаться с помощью способов рассуждения, заимствованных у математики, изучить строение этого формализованного текста, предполагаемого записанным, и в итоге ухитриться „доказать' невозможность такого текста. В самом деле. такие „доказательства" были даны для некоторых частных формализованных языков, менее богатых, чем тот, который ввести, н , к торы мы хотим зап , но достаточно богатых для того, чтобы на них мож б о но ыло о но спросить, исать значительную часть классической математики. Можн правда, что именно „доказывается" таким путем; ведь если бы математика была противоречива, то некоторые ее применения а .

объектам, и в частности к формализованным текстам, рисковали бы стать иллюзорными. Чтобы избежать этой дилеммы, было бы необходимо, чтобы непротиворечивость формализованного языка к можно менее „д азать посредством рассуждений, формализуемых богатом и тем самым более достойном доверия. Но знаменитая теорема метаматематики, принадлежащая Геделю '), говорит, но для языка того типа, который мы хотим описать, т. е. для языка. достаточно богатого аксиомами, чтобы допускать формулировку результатов классической арифметики. Сд гой ру стороны, при доказательствах, относительной" неп отиворечивости (т. е.

и и ( .. р доказательствах, устанавливающих непротиво" непроречивость данной теории в предположении непротиворечивости и р , ример Теории множеств) метаматематическая часть раси друго суждения (ср. гл. 1, й 2, и'4) настолько проста, что даже не п еставляется во е пред- этом от вся о зможным подвергнуть ее сомнению, не отказ ываясь при т всякого рационального употребления наших умс способностей. Так у твенных Так как ныне различные математические теории и ивязываются в я в отношении логики к Теории множеств, то отсюда слерии придует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих тео ий, дало бы ново д противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, х теори, р у, .

ющий заключить о непротиворечивости не есть аогчмент, позволя с достат ч в и ста и Теории множеств. Однако за 40 лет с тех пор, как сформулирова о ной точностью аксиомы Теории множеств и ста и ли из них следствия в с в и стали извлекать ни аз не вс с вия в самых разнообразных областях математики, и, еще деять р у третилось противоречие, и можно с осно с основанием над ься, что оно и не появится никогда. Если бы ел д о и сложилось иначе, то, конечно, замеченное п отиворечие было бы вн т ное проны м в ос у ренне присуще самим принципам, положенование Теории множеств, а потому нужно было бы нвидоизменить эти п ин ип р ц ы, стараясь по возможности не ставить под угрозу те части математики, которыми мы наиболее .

И но, достичь этого тем бо. ее лее дорожим. ясл легко, что применение аксиоматического ') См. Исторический очерк, стр. 347. — 77рим, рад. введение ! ч ~I ~ ~ Д А' ~ ДАл есть знакосочетание., метода и формализованного языка позволит формулировать эти принципы более четко и б четко и отделять от них следствия более определенно. б вительно это и произошло недавно, когда устранили Впрочем, при лизнт „парадоксы еории Теории множеств принятиеи формализованного языка„ .и.По обн ю ело сушеству эквивалентного с описываемым здесь нами. одо ную ревизию следует пр едпринять и в случае, когда этот язык окажется в свою очередь противоречивым.

Итак, мы верим, что математике суждено выжить и что никогда ие произо дет кру зой ет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо, кроме опыта. Этого мало, скажут нек т р о орые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядушее спокойно. ГЛАВА 1 ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ыи 1 ° Термы и соотношения 1.

Знаки и знакосочетамия Знаки любой математической теории Л' ') таковы: 1' Позические знаки э)'. Д, ч, ~/, 2' Буквы. Мы понимаем под этим прописные и строчные латинские буквы, снабжаемые штрихами. Так, А, А'. А", А"', ... — буквы. Во всяком месте текста можно ввести буквы, отличные от встречзвшихся в предыдущих рассуждениях.

3' Саеииальные знаки, зависящие от рассматриваемой теории. В теории множеств мы пользуемся только тремя специальными знаками: =, б, О. Знакосочетание теории Г есть последовательность знаков этой теории, написанных рядом друг с другом, причем некоторые знаки, отличные от букв, могут быть соединены линиями, идущими над строкой и называемыми связями.

'Например, в теории множеств, где ~ есть специальный знак, Употреблеиг1е одних только знакосочегаиий привело бы к непреодолимым типографским и умственным затруднениям. Поэтому з обычных текстах используются сокращающие символы (особенно слова обычного языка), ие принадлежащие к формальной математике. Введение этих символов составляет цель олределений. Их употребление жеореглически ие яаляелгся необходимым и часто дает повод к путанице, избегать которую позволяет лишь некоторый опыт. Примеры.

1) Знакосочетаиие Ч ) изображается символом ь. ') Смысл последнего выражения будет постепенно уточняться на протяжении всей главы. а) Об иятуитивном смысле этих знаков см. и' 3, .Замечание". 32 3 Н. Бурбаки ГЛ. !. ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 2) Следующие символы изображают знакосочетания (притом весьма длинные); .3 и 4", 0 Н, Х, ,числовая прямая", ,функцвя Г', рой, к=)' 2+)/3, 162, „всякое конечное тело коммутативно', „нули функции ь(з), отличные от — 2, — 4, — 6, „ леждт на прямой йе (е) = 1/2". Вообще говоря, символ, служащий для изображения знакосочетаиня, содержит все встречающиеся в нем буквы.

Иногда, однако, это правило можно нарушить без большой опасности впасть в путаницу. 'Йзпрнмер, символ .замыкание множества Е" изображает знакосочетание, которое, содержа букву Е, содержит также букву, изображающую множество окружений равномерной структуры множества Е. 1 Напротив, ~ /(х)йх изображает знакосочетание, в котором буква х (равно как и буква й) ие содержится. Знакосочетания, изображаемые символами Н, Х, „функция Г", не содержат никаких букв., Всякая математическая теория (или просто теория) содержит правила позволяющие сказать, что некоторые знакосочетания являются термами, а некоторые — соотношениями теории, а также правила, позволяющие сказать, что некоторые знакосочетания являются тео- ремами теории. Описание этих правил, которое будет дано в этой главе, ле лринадлежит к формальной математике; в него входят знакосочетзния, более нлн менее неопределенные, например неопределенные буквы.

Чтобы облегчить изложение, удобно обозначать эти знакосочетания вогможно менее громоздкимн символами. А именно мы будем пользоваться комбинациями знаков (какой-либо математической теории), полужирных курсивных букв (быть может, снабженных индексами нли штрихзми) и особых символов, примеры которых мы приведем. Так как мы хотим лишь избежать многословия (см. сноску в б 3, п'1, стр. 44), мы не будем излагать строгих и общих правил относительно употребления этих символов.

Читатель без труда сможет воспроизвести и каждом отдельном случае знакосочетание, о котором идет речь. Допуская вольность речи, мы часто будем говорить, что используемые символы суть знвкосочетания, вместо того чтобы сказать, что они обозначают знакосочетзния. Таким образом, при нижеследующем изложении правил такие выражения, как .знвкосочетание А" или .буква х", нужно было бы заменять выражениями,знакосочетание, обозначенное через А", или .буква, обозначенная через х".

Пусть А и  — знакосочетания. Обозначим через АВ знакосоче- тание, получаемое при записи знакосочетапия В справа от знако- 1 4 1. ТЕРМЫ И СООТНОШЕНИЯ 33 сочетания А. Обозначим через аиу А |В знакосочетание, получаемое при записи слева направо знака ~/, знакосочетания А, знака знакосочетания В и т. д. Пусть А — знакосочетание, а х — буква. Обозначим через т (А) знакосочетание, получаемое следующим образом: мы пишем знакосочетание ТА, соединяем связью каждый экземпляр буквы х в А со знаком т, написанным слева от А, и заменяем букву х, каждый ее экземпляр, символом Д.