Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 10

') Эти правила мы будем выражать. используя для сокращения символы, о которых мы говорили в $1, п 1 (а именно полужирные курсивные буквы); однако при формулировке правил было бы нетрудно обойтись совершенно без этих символов (см. Д 3, п'1, сноску на стр. 44). г) Схемы называются также схвмами аксиом (в дальнейшем автор употребляет иногда именно этот последний термин). — Прим. ргд.

2. Доказательства ! Всякий доказательный текст теории )' состоит из: 1' вспомогательной формативной конструкции из соотношений и термов теории су; 2' доказательства теории Д', т. е. последовательности соотношений теории,T, встречающихся во вспомогательной формативной конструкции, таких, что для каждого соотношения гс этой последовательности выполняется по крайней мере одно из следующих условий: а,) )2 есть явная аксиома теории,T; а ) )с получается применением схемы теории Д" к термам или соотношениям, встречающимся во вспомогательной формативной конструкции; б) в упомянутой последовательности существуют два отношения $, Т, предшествующие гс, такие, что Т есть Ю=)ьгс.

Теорема теории ст есть соотношение, встречающееся е каком- нибудь доказательстве теории,~'. Таким образом, это понятие существенно связано с состоянием рассматриваемой теории в тот момент, когда ее описывают: соотношение теории Т становится теоремой этой теории тогда, когда его сумели включить в какое-нибудь доказательство теории,у'. Не может иметь смысла говорить про соотношение теории Т, что оио .не является теоремой втой теории", если не уточнить, какая стадия развития теории имеется в виду '). Вместо „теорема теории Д " говорят также „соотношение. истинное (зернов, справедливое) в у" (или „предложение", „лемма", „следствие" и т. д.).

Пусть с2 — соотношение теории У', х — буква, Т вЂ” терм теории Х; если (Т(х)гс есть теорема теории 3', говорят, что Т удовлетворяет з д соотношению гс (или что Т есть некоторое решение соотношения гс), когда )Т рассматривается как соотношение по (относительно) х. й обычной математике чаще всего опускают указание, что выписанные соотношения составляют доказательство. Соотношение называется ложным в д, если его отрицание есть теорема теории сT. Говорят, что теория Д" противоречива, когда можно написать соотношение, одновременно истинное и ложное в су'. Здесь опять-таки идет речь о понятии, относящгмся к определенной стадии развития данной теории.

Необходимо остерегаться путаницы (к сожалению, внушаемой интуитивным смыслом слова „ложный"), состоящей в том, чтобы думать будто, доказав ложность соотношения В в,T, мы тгм самым доказали, что В „не является истинным' в,T(собственно говоря, эта последняя фраза не имеет никакого точного смысла в математике, как мы это видели выше). ') Разумеется, возможна и другая точка зрения, предполагающая, что мы понимаем смысл слов, данное соотношение ие является теоремой данной теории (т. е. Ие является теоремой ни на какой стадии ее развития; иными словами.

никакое доказательство теории нв содержит этого соотношения). — Прим. рвд. 5 2 ТЕОРЕМЫ ГЛ. Е ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЯ МАТЕМАТИКИ 42 Мы дадим в дальнейшем метаматематнческие критерии, называемые дедуктивными критериями, которые позволят нам сокращать доказательства. Эти критерии мы будем обозначать буквой С с идущим за ней номером. С1 (силлогизм). Пусть А и  — соотношения теории Если А и А=»»В — теоремы теории У, то В также теорема теории ~у. В самом деле, пусть Вп Рг, ..., Ю» есть доказательство теории У, в котором встречается А, и пусть В,, Вг, ..., Вр есть доказательство теории У, в котором встречается А=)»В2 Очевидно, что Вп Вг, ° ° ° ..., В». Вп 82, ..., Вр есть доказательство теории,у, в котором встречаются А и А=)»В.

Следовательно. ВП Вг, "" В» В~ Вг. Вю В есть доказательство теории,у, а это в свою очередь доказывает, что В есть теорема теории,у. 3. Подстановки в теорию Пусть У' — теория, Ап Аг, ..., А„— ее явные аксиомы. х — буква, Т вЂ” терм этой теории. Пусть (Т~ х) у есть теория, у которой знаки и схемы те же самые, что и у у, и у которой явные аксиомы суть (Т! х)А,, (Т) х)А2, ..., (Т) х)А„, С2. Пусть А — теорема теории у, Т вЂ” терм теории у'„ х — буква.

Тогда (Т( х)А есть теорема теории (Т~ х),у'. В самом деле, пусть Вп А', ..., В„есть доказательство теории К, в котором встречается А. Рассмотрим последовательность (Т~ х)ВИ (Т! х)»42, .... (Т~ х)ЮМ являющуюся последовательностью соотношений теории,у', согласно СР8 (ф 1, п' 4). Мы покажем, что это — доказательство теории (Т( х) У„тем самым критерий булет установлен. Если В» — неявная аксиома теории у', то (Т) х) В» также является неявной аксиомой теории У (см.

п' 1), а следовательно, и теории (Т)х)У'. Если Я» — явная аксиома теории У, то (Т(х)В» является явной аксиомой теории (Т)х) у. Наконец, если перед В». идут соотношения В, и Вр где Ву есть В;=)»В», то перед (Т~ х)тс» илут (Т! х)В, и (Т! х)Вр н это последнее соотношение тождественно с (Т( х)Вг='р(Т~ х)Р» (крнтернй С85). СЗ.

Пусть А — теорема теории У, Т вЂ” терм теории У и х — буква, не являющаяся константой теории Т. Тогда (Т! х) А есть теорема теории у'. Это следует сразу же из С2, потому что х не встречается в явных аксиомах теории у . В частности, если,у' не содержит явных аксиом или явные аксиомы не солержат букв, то критерий СЗ применим без ограничения на букву х, в. Сравненае теорий Мы говорим, что теория,у" сильнее теории у, нли более сильна, чем теория д', если все знаки теории у являются знаками теории,у".

все явные аксиомы теории у являются теоремами теории у' и схемы теории у являются схемами теории,7". С4. Если теория У' сил»нее теории У', то есе теоремы теории у являются теоремами теории у'. пусть Юп Вг, ..., й» вЂ” доказательство теории у. мы покажем шаг за шагом, что каждое В, есть теорема теории,7'; тем самым критерий будет установлен.

Предположим, что наше утверждение установлено для соотношений, предшествующих В», и установим его для В». Если В» — аксиома теории У, то это — теорема теории,у' по определению. Если впереди В стоят отношения В; и Вг--фй», то мы знаем уже, что В, и В,=)»В» суть теоремы теории Д'; следовательно, и В» есть теорема теории,у', согласно С1. Если каждая из теорий у и у' сильнее другой, то говорят, что и,у" эквивалентны, или равносильны, Тогда всякая теорема теории у' есть теорема теории у", н обратно. Сб. Пусть,У вЂ” теория, А,, Аг, ..., А„— ее явные аксиомы, а,, а, ..., а„— ее константы, Т,, Т,, ..., Т» — ее термы. Предположим, что (Т,( аг)(Т2) аз) ...

(Т»~ а») А; (для 1= 1, 2, ..., п) являются теоремами теории у", что знаки теории у являются знаками теории у' и что схемы теории у' являются схемами теории у'. Тогда если А — теорема теории у', то (Т,(а,) ... (Т»~ а»)А есть теорема теории,у". В самом деле, Т' сильнее теории (Т,~ а,) ... (Т»!а„)У, и потому достаточно применить С2 и С4. Когда с помощью этого метода мы выводим теорему теории у" из теоремы теории Т, мы говорим, что результаты теории T при. меняются е (нли прилагаются к),7". Говоря интуитивно, аксиомы теории у выражают свойства предметов а„а»,..., аю соотношение же А выражает свойство, являющееся следствием этна аксиом. Если предметы Ть Ть ..., Т» обладают в Т' свойствами, выражаемыми аксиомами теорни,7, го онн обладают н свойством А. 'Например, в теории групп Т явные аксиомы содержат две константы: 0 н и (группа н закон композиции). В теории множеств,у' определяются два герма: числовая прямая н сложение действительных чисел. Если подставить этн термы соответственно вместо 6 н и в явные аксиомы теории Т, то мы получим теоремы теории ,у'.

С другой стороны, схемы и знаки теорий Т и Т' те же самые. ПО- этому мы можем .применять к сложению действительных чисел результаты теории групп". Мы говорим, что построили для теории групп модель в теории множеств. (Заметим, что, поскольку теория групп сильнее теории множеств, можно также применять к теории групп результаты теории множеств.), ГЛ.

Ь ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Замечание. При тех же предположениях. как в Сб, если теория,7' была бы противоречива. то и теория д' была бы таковой. В самом деле. если А и,не А" суть теоремы теории,у', то (Тг~ аг) ... (Т„|а„)А и „не (Тг! а,) ... (ТА!а„)А" суть теоремы теории,у'. 'Например, если теория групп была бы противоречива, то и теория множеств тоже была бы противоречивой., Упражнение Пусть Т вЂ” теория, Аь А,, А„— ее явные аксиомы. а„ а,, ..., ໠— ев константы. а) Пусть Т' — теория, у которой знаки и схемы суть знаки н схемы теории,у', а явные аксиомы суть АР Аь..., Ап ь УМы скажем, что Ап не зависит от других аксиом теории Т, если,7' не эквивалентна,T.

Лля этого необходимо и достаточно, чтобы А„не было теоремой теории Т'. б) Пусть т'" — теория, у которой знаки и схемы те же, как и у,Т. Пусть Т„Т„..., ҄— такие термы теории Т, что (Т, 1а,) (Тг1 ад... ... (ТА ! аа) Аг для 1=1, 2, ..., п — ! и .не (Т, 1 а,) (Т,1 ад ... (ТА1 а ! А,' суть теоремы теории Т'. Тогда либо Ап ие зависит от других аксиом теории Т, либо теория 7'" противоречива. 9 3. Логические теории 1. Аксиомьг Мы называем логической теорией всякую теорию д, в которой нижеследующие схемы 81 — 84 задают неявные аксиомы'). 51, Если А — соотношение теории Т, то соотношение (А или А) =зьА есть аксиома теории р'г). 82.