Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Теорема (Т ) х) А, называемая теоремой узаконения, гарантирует это с ществование. а практике намерение пуименить этот метод выражают фразой такого рода: „Пусть х — такои предмет, что А", Н противоположность тому, что происходит при методе вспомогательной гипотезы, здесь результат умозаключения не касается х. 4. Конъюнкция Пусть А,  — знакосочетания.

Знакосочетание не ((не А) или (не В)) С56. Пусть А, В, Т вЂ” знакосочетания, х — буква. Знакосочетание (Т)х)(А и В) тождественно с „(Т~х)А и (Т1х)В'. Это вытекает сразу же из С$5 (9 1, п' 2). СР9. Если А,  — соотношения теории 7', то „А и В" — тоже есть соотношение теории Т (называемое коншонкцией соотношений А и В). Это вытекает сразу же из СР1 и СР2 Я 1, и" 4). С20. Если А,  — теоремы теории 7', то „А и В" тоже есть теорема теории Д'. Предположим, что „А и В" ложно, т.

е. что не не ((не А) или (не В)) истинно. Согласно С16, „(не А) или (не В)", т. е. А =)р(не В), истинно; следовательно, „не В" истинно. Но это абсурдно; следовательно, „А и В" истинно. С21. Если А,  — соотношения теории,~', то (А и В) =)рА и (А и В) =)р В суть теоремы теории,У'.

В самом деле, соотношения (нс А) =)р((не А) или (не В) ), (не В)=?р((не А) или (не В)) суть теоремы теории 7', согласно 52 $ 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ б1 ГЛ. Г. ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 50 и С7. Но ((не А) или (не В))=фне (А и В) есть теорема в,7. согласно С11. Следовательно, (не А)=ф не (А и В), (не В)=,='> не(А и В) суть теоремы теории 7. В заключение применяем С17. Условимся обозначать через „А и В и С" (соответственно ,А или В или С") соотношение „А и (В и С)' (соответственно „А или (В или С)"). Более общо, если АР А,, ..., А» — соотношения, обозначим через „,4, и Аг и ... и А„" соотношение, которое строится последовательно с помощью соглашения, что,А, и Аг и ... и А»" обозначает то же самое, что и „А, и (А, и ...

и А»)". Аналогично определяется „А, или Ат или ... или А„". Соотношение „А, и Аг и ... и А„" есть теорема теории 7' тогда и только тогда, когда каждое из соотношений А,, Аг, ..., А„ есть теоРема в,'7'. Отсюда следует, что всякая логическая теория 7 эквивалентна некоторой логической теории Т', обладающей самое большее лишь одной явной аксиомой. Это очевидно в случае, когда Т вообще не имеет ни одной явной аксиомы. Если же Т обладает явными аксиомами Аь Аь ..., А„, то пусть Т' — теория, имеющая те же знаки и те же схемы, что и,Т, и явную аксиому „А, и А, и ... и А»'.

Нетрудно видеть, что всякая аксиома в,T (соответственно в 7') есть теорема в Т' (соответственно в 7). Пусть 7,— теория без явных аксиом, имеющая те же знаки, что и 7, и лишь одни схемы 51, 52, $3, 84. Изучение теории,7' в принципе сводится к изучению теории Т,: для того чтобы соотношение А было теоремой в Т, необходимо и достаточно, чтобы в Т существовали аксиомы А„А„..., А», такие, что (А, и Ат и ... и А»)='аА есть теорема в ТФ В самом деле, зто условие, очевидно, достаточно. Предположим, с другой стороны, что А — теорема в ,7', и пусть Аь А,, ..., А» суть аксиомы в Т, встречающиеся в доказательстве теории Т, содержащем А. Пусть 71 (соответственио Т") есть теория, получаемая из,T, присоединением аксиом Аь А„..., А„(соответственно аксиомы .А, и А, и, и А»").

Доказательство соотношения А в,7' есть доказательство соотношения А в,7"; следовательно, А есть теорема теории Т', а значит, и теории Т", поскольку мы видели выше, что 7' и 7" зквивалеитны. Согласно критерию дедукции, (А, и Ат и ... и А») ~ А есть теорема теории,7',. Если Т противоречива, то, согласно предыдущему, существует конъюнкция А аксиом теории ,T и соотношение В из,T, такие, что А ~ (А' и (не Ю) ) есть теорема теории ТФ Следовательно, (ие Ю) ели (не не В) ) ф(не А) есть теорема теории,7',, а так как .(не В) или (не ие В)" есть теорема теории,ТФ то „не А* тоже есть теорема теории,T,. Обратно, если существует конъюнкция А аксиом теории Т, такая, что .не А" есть теорема в у'Ф то А и .не А" суть теоремы теории,7', так что Т противоречива. б. Эквивалентность Пусть А и  — знакосочетания.

Знакосочетание (А=ф В) и (В=фА) будет обозначаться через А(=фВ. СЧ7, Пусть А, В, Т вЂ” энаносочетания, х — буква. Знагсосочетание (Т) х) (А(фВ) тождественно с (Т~1х) А(ф(Т3х) В. Это вытекает сразу же из С55 (9 1, п' 2) и СБ6 (и' 4). СГ10. Если А и  — соотношения теории 7', то А(фВ— тоже соотношение теории 7'. Это вытекает сразу же из Сгб (9 1, п'4) и СГ9 (и'4). Если АффВ есть теорема теории 7', мы будем говорить, что А и В эквивалентны в,7'1 если х — буква, не являющаяся константой в 7', и если А и В рассматриваются как соотношения по х, то всякий терм в 7, удовлетворяющий одному соотношению, удовлетворяет и другому.

Из критериев С20 и С21 следует, что для доказательства в 7 теоремы вида А(фВ необходимо и достаточно доказать А =ф В и В =фА в 7'. Часто зто делается так: сначала доказывается В в теории, получаемой из,7' присоединением аксиомы А, а затем доказывается А в теории, получаемой из,7' присоединением аксиомы В. Эти замечания позволяют сразу же установить следующие критерии, доказательство которых мы предоставляем читателю. С22. Пусть А, В, С вЂ” соотношения теории 7', Если А(=фВ— теорема в 7', то и В(фА — теорема в,T.

Если А(фВ,и В(фС вЂ” теоремы в,7', то и А(фС вЂ” теорема в,7'. С23. Пусть А и  — соотношения, эквивалентные в 7, а С вЂ” еще яанов-то соотношение в 7'. Тогда в,7' имеются следующие теоремы: (не А)(ф(не В); (А=ф С)(ф(В=ф С); (С=фА)(ф(С=фВ)1 (А и С)(ф(В и С); (А или С)(ф(В или С).

С24. Пусть А, В, С вЂ” соотношения теории <7'; тогда в 7' имеются следующие теоремы: ' (не не А)(фА; (А=фВ)(ф((не В)=3»(не А)); (А и А)(:фА; (А и В)(ф(В и А); (А и (В и С))(ф((А и В) и С); (А или В)(=фне ((не А) и (не В)); (А или А)(фА; (А илн В)(ф(В или А); (А или (В или С))(:ф((А илн В) или С); (А и (В или С))(ф((А и В) или (А и С)); (А или (В и С))(-.ф((А или В) и (А или С)); (А и (не В))(=дне (АьВ); (А или В)(ф((не А) =фВ). ГЛ. Ь ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОН МАТЕМАТИКИ С25. Если А — теорема а,у'. а  — соотношение е,у", то (А и В)ффВ есть теорема е,T.

Если „не А" — теорема е,У"', то (А или В)ффВ есть теорема е гУ'. Как правило. ео всех дальнейших разделах Трактата критерии С! — С25 будут отныне использоваться без ссылок. Уп ра ж некии 1) Пусть А, В, С вЂ” соотношения логической теории Т. Показать, что следующие соотношения суть теоремы теории Т: А ф (В =;ь А); (Аф В) ф((вф С) ф(А ф С) ); А Р ( (не А);-'и В); (А или В) (ф ( (А =;Р В) ~ В); (А (ф В) (ф((А и В) или ((не А) и (не В) ) ); (А(=ф В) ф не ((не А) фф В); (АР(В или (не С) ) ) фф ((С и А)ф В); (А ='> (В или С) ) фф (В или (А ф С) ); (Афв)='Р((Аф С)ф(Аф(В и С))); (АР С) Р((ВРС)Ь((А или В)Р С) ); (А=а В)=:>((А и С) ф(в и С)); (АфВ)ф((А или С)ф(В или С) ).

2) Пусть А — соотношение логической теории,у'. Если А (=ф (не А)— теорема теории,T, то Т противоречива. 3) Пусть АР Аг, ..., А„ — соотношения логической теории 7; а) Дла доказательства соотношения,А, или Аг или ... или А„' в ,T достаточно доказать А„ в теории, получаемой присоединением к,Т аксиом не Аь не Аг, .... не А„ б) Если „А, или Аг или ... или А ' есть теорема теории Т и если мы хотим доказать в,Т теорему А, достаточно доказать теоремы А1='Ь А, АгфА, ..., А„ф А. 4) Пусть А и  — соотношения логической теории Т. Обозначим через А ! В соотношение,(не А) или (не В)".

Доказать в Т следующие теоремы: (не А) (=ф(А ! А); (А или В) 4~ ( (А ~ А) ((В ) В) ); (А и В) фф ( (А ! В) / (А / В) ); (А=;ьв) ФФ(А! (в!в)). 5) Пусть Т вЂ” логическая теория, А„АЬ ..., А„— ее явные аксиомы. Для того чтобы А„не зависела от остальных аксиом теории Т (4 2, Упражнение), необходимо и достаточно, чтобы теория, у которой знаки и схемы те же, что и у Т, а явными аксиомами служат Аи Аь ... ..., А„ь „не А„", была непротиворечива. 5 Е КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ ф 4. Кванторные теории У. Определенае кванторов В 9 3 единственными логическими знаками, игравшими у нас роль, были 1 и А/; правила, которые мы теперь собираемся изложить, касаются главным образом употребления логических знаков е и ( ).

Если Ус — знакосочетание и х — буква, то знакосочетание (т„(УТ)1Х)Л обозначается через „существует такое х, что гс", или через Дх)УТ. Знакосочетание „не((=!х)(ней))" обозначается через,для всякого х Ю", или через „каково бы ни было ') х, гс', или через (7х)УТ. Сокращающие символы Л и з называются соответственно кеактором существования и каактором общкост». Буква х не встречается в знакосочетании, обозначаемом символом т (гс)", следовательно, ока яе встречается и в знакосочетаниях. обозначаемых символами Ях)УТ и (ех)УТ. С88. Пусть гс — зкакосочетание, х и х' — буквы. Если х' пе встречается е гс. то (=!Х)гс и (!бх)Ю тождественны соответственно с(„-!х')Ю' и (!бх')Аг', где Ус' есть (х'~ х)гг. В самом деле, (тл(В))х)Ю тождественно с (т„(Ю)(х')гс', согласно СЗ! (9 1.

и'2), а тл (Уч) тождественно с е (Ю'), согласно СЗЗ (9 1, п'2). Следовательно, (=!Х)Ю тождественно с (Зх')ур'. Отсюда вытекает, что (згх) Ут тождественно с ('вгх')В'. С89. Пусть В и АУ вЂ” зпакосочетакия, х и у — различные буквы. Если х пе встречается а ТУ, то ((У (у) ( !Х) уч и ((У )у)(г(х) Уч тождественны соотеетстеекко с (Лх)Ю' и (гзх)Ю', где В' есть ((У ~у) В. В самом деле, ((У1у)(тл(УТ)1х))г тождественно, согласно С52 (9 1.

п'2), с (Т/х)((У1у)гс, где Т есть ((У1у)тл()с), т. е. Тл()Р'), согласно С84, Отсюда (еУ/у)(ЗХ)Ю тождественно с Ях))с', а следовательно, ((У )у)(7Х) гс тождественно с (!бх') Щ'. СГ11, Если Уг — соотношение теории У, а х — буква, тгг (3Х)УТ и ()Ух)УТ суть соотношения теории Т. Это вытекает сразу же из СГЗ, СГ8 и СГ2 (9 1, п'4). На интуитивном уровне мы будем считать, что Я выражает какое-ТО свойство предмета, обозначенного буквойх. Ввиду интуитивного смысла терна тл(В) утверждение (Эх) Я сводится к утверждению, что существует какой-то объект, обладающий свойством В Сказать .ие (Вх) (не В)' — значит сказать, что ие существует ни одного объекта, имеющего свойство "не В"; иными словами, это значит сказать, что всякий объект обладает свойством В ') Заметим, что в русском языке слова, служащие названиями букв латинского и греческого алфавитов и имеющие признак мужского или женского рода (.икс", „дельта и т.