Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Если А и  — соотношения теории Т, то соотношение А=)>(А нли В) есть иксиома теории Т. ЗЗ. Если А и  — соотношения теории 7', то соотношение (А или В)~(В или А) есть аксиома теории Т. 84. Если А, В и С вЂ” соотношения теории,у', то соотношение (А ='РВ) =эь((С или А) =?>(С или В) ) есть аксиома теории Т. ') Эта фраза ие означает, что схемы логической теории'исчерпываются схемами 51 — 54; в логической теории могут быть и другие схемы. Аналогичное замечание справедливо и для кванторных и эгалитарных теорий (см. виже). — Прим. ред. г) Выражение этой схемы без использования буквы А и сокращающего символа Р имеет следующий вид: имея соотношение, мы получим теорему, если напишем слева направо г, ~, Ч, а затем три риза подряд данное соотношение.

Читатель может поупражняться в приведении к такому же виду остальных схем. $ а. лОГичеСкие теоРии Эти правила действительно являются схемами. Проверим это, например, для 82. Пусть  — соотношение, получаемое применением правила 82; тогда существуют такие соотношения А, В теории Т, что В есть соотношение Аь (А или В). Пусть Т вЂ” терм теории Т, а х — буква; пусть А' и В' суть соотношения (Т~ х)А и (Т)х)В; тогда (Т( х) В тождественно с А'=?ь(А' или В'). а следовательно, его можно получить применением правила 82. Интуитивно правила Я! — 54 лишь выражают смысл, приписываемый словам,или и „влечет в обычном математическом языке '). Если логическая теория,T противоречива, то всякое соотношение теории,T есть теорема теории,T.

В самом деле, пусть А — таксе соотношение теории,7, что А и „не А' суть теоремы теории Т, и пусть  — любое соотношение теории,Т. Согласно 52 (не А)=?>((Не А) или В) есть теорема теории,T; следовательно. согласно С! (й 2, п' 2), „(не А) или В', т. е. А~В, есть теорема теории 7'. Еще одно применение С1 показывает, что  — теорема теории Т. В дальнейшем через гТ всюду будет обозначаться логическая теория. 2, Первые следствия Сб. Пусть А, В, С вЂ” соотношения теории,T.

Если А==;ьВ и В='рС суть теоремьг теории Т, то и А=и С есть теорема теории 7'. В самом деле, (В=)ьС)=)ь((А=)ьВ)=,:'ь(А=)ьС)) есть аксиома теории 7', согласно 84, где А заменяется через В,  — через С, С в через „не А". Согласно С! (9 2, п' 2), (А=ИВ) )ь(А=)ь С) есть теорема теории гТ. В заключение еще раз применим С1.

С7. Если А и  — -соотношения теории,T, то В=)ь(А или В) есть теорема теории,Т. В самом деле, В=)ь(В или А) и (В или А) =?ь(А или В) суть аксиомы теории,1, согласно 82 и ЯЗ. В заключение применяем С6. С8. Если А — соотношение теории <Т, то А=)ьА есть теорема теории Д". В самом деле, А=зь(А или А) и (А или А)=)ьА суть аксиомы, согласно 82 и 81. В заключение применяем Сб. С9. Если А — соотношение, а  — теорема теории,T, то АшРВ есть теорема теории,у', ') В обычном языке слово „или" может иметь два разных смысла в зависимости от контекста: связывая два высказывания словом .или', говорящий может хотеть выразить истинность либо хотя бы одного из двух (и, возможно, обоих сразу), либо только одного с исключением другого. ГЛ. Ь ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В самом деле, В=--;ь((не А) или В) есть теорема, согласно С7; следовательно, „(не А) или В", т.

е, А=)ьВ, есть теорема, согласно С1. С10. Если А — соотношение теории,T, то „А или (не А)" есть теорема теории,T, В самом деле, „(не А) или А" есть теорема, согласно С8. В заключение применяем 53 и С1. С!!. Если А — соотношение теории д, то „А=?ь(не не А)" есть теорема теории Т. В самом деле, это соотношение есть не что иное, как „(не А) или (не не А)".

и наш критерий вытекает из С10. С12. Пусть А и  — два соотношения теории,7'. Соотношение (А~В)=р((не В)=)ь(не А)) есть теорема теории сг. В самом деле, ((не А) или В) =)ь((не А) или (не не В)) есть теорема, согласно С11, 54 и С1. С другой стороны, ((не А) или (не не В)) =,:'ь((не не В) или (не А)) есть аксиома, согласно 53.

Следовательно, ((не А) или В)=гь((не не В) или (не А)) есть теорема, согласно С6. Но это и есть соотношение, которое требовалось установить. С13. Пусть А, В, С вЂ” соотношения теории,T. Если А=)ьВ есть теорема теории 7', то (В)АС)=ьь(А рС) есть теорема теораи 7'. В самом деле, (не В)ь(не А) есть теорема, согласно С12 и С1.

Следовательно, (С или (не В))=)ь(С или (не А)) есть теорема, согласно 54 и С1. Применяя дважды 53 и С6, мы приходим к выводу, что ((не В) или С)==;ь((не А) или С) есть теорема. Но это и есть соотношение, которое требовалось доказать. Отныне мы обычно будем применять правила С1 и С6, не ссылаясь на них явно. 3. Методьг доказательства 1. Метод вспомогательной гипотезы. Он основан на следующем правиле: С14 (критерий дедукции). Пусть А — соотношение теории 7', а гу" — теория, получаемая присоединением А к аксиомам г Э 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ 47 теории Т'.

Если  — теорема теории 7', то А=)ьВ есть теорема теории гу'. Пусть В,, Вг, ..., В„есть доказательство теории,у", в котором встречается В. Мы покажем последовательно, что соотношения А=РВА суть теоремы теории д. Предположим, что это уже установлено для соотношений, предшествующих ВР и покажем, что А=)ьВг есть теорема теории ,7'. Если В, — аксиома теории д ', то В, есть либо аксиома теории д, либо А.

В обоих случаях А=?ьВ, есть теорема теории,7 ввиду С9 или С8. Если впереди В, идут соотношения В. и В =!ьВР то мы уже знаем, что А=гьВ и А=~(Вт--УВ,) суть теоремй теории,7'. Тогда (В =РВ;)=)ь(А=)ьВг) есть теорема теории,T, согласно С13. Следовательно, согласно С6, А=)ь(А=)ьВг), т. е'. „(НЕ А) ИЛИ (А=АЬВг)", ЕСТЬ тварЕМа тЕОрИИ т', а ЗНаЧИт, таКжЕ И „(А=гьВ;) или (не А)", согласно 53.

Но (не А)=?ь((не А) или Вг), т. е. (не А)=)ь(А=гьВ;), есть теорема теории,T, согласно 52, Применяя 54, мы видим, что ((А=)ьВг) или (не А))ь((А==',ьВ,.) или (А=)ь В,.)) есть теорема теории,T, а следовательно, и „(А=)ьВг) или (А=гьВ;)" есть теорема теории 7'. С помощью 51 мы делаем вывод, что АьВТ есть теорема теории,T. На практике намерение применить этот критерий выражают фразой такого рода; „Предположим, что А справедливо". Эта фраза означает, что мы намереваемся некоторое время проводить рассуждения в теории,7". Мы остаемся в 7', пока ие докажем в ней соотношение В. Сделав это, мы устанавливаем, что Аф В есть теорема в т', и продолжаем (если нужно) рассуждать в 7, не оговаривая вовсе, что мы покидаем ~".

Соотношение А, вводимое как новая аксиома, называется вспомогательной гипотезой. 'Например, говоря: .Пусть х †действительн число", мы строим теорию, в которой соотношение ,х есть действительное число' является вспомогательной гипотезой., П. Метод приведения к абсурду.

Он основан на следующем правиле: С16. Пусть А — соотношение теории,7'. а 7' — теория, получаемая присоединением аксиомы „не А" к аксиомам теории )'. Если,~" противоречива, то А есть теорема теории 7'. В самом деле, А есть теорема теории 7". Следовательно (метод вспомогательной гипотезы), (не А)=РА есть теорема теории,T. Согласно 54, (А или (не А)) Р(А или А) есть теорема теории ,7'. Согласно С10, „А или (не А)" есть теорема теории 7'. В заключение применяем 51. На практике намерение применить этот критерий выражают фразой такого рода: ,Предположим, что А ложно .

Эта фраза означает. что мы намереваемся иа время проводить рассуждения в теории 7'. Мы остаемся в,7", пока не установим две теоремы вида В и „не В'. Сделав вто, мы устанавливаем, что А есть теорема теории 7; последнее выражается обычно фразой такого рода:,Йо это (а именно в пре- з ! 4 % 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ((не В)=эр(ие А))=3р(А=)рВ) будет обозначаться через „А и В". 4 Н. Втрээки ГЛ. Ь ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ дыдущих обозначениях В и „не В ) абсурдно; следовательно, А справедливо".

Затем возвращаемся к теории,у', которой мы занимались до этого. Как первые применения этих методов докажем следующие критерии: С16. Если А — соотношение теории 7", то (не не А) РА есть теорема теории 7'. В самом деле, предположим, что „не не А' верно; надо доказать А.

Предположим, что А ложно. В создаваемой таким образом теории оба соотношения „не не А и „не А' суть теоремы. Это абсурдно; следовательно, А верно. С17. Если А и  — соотношения теории 7', то есть теорема теории д. В самом деле, предположим, что (не В)=?р(не А) верно. Надо доказать. что А=3рВ верно. Поэтому предположим, что А верно, и докажем, что В верно. Предположим, что,не В" верно.

Тогда „не А" верно, что абсурдно. 11!. Метод разделения случаев. Он основан на следующем правиле: С18. Пусть А, В, С вЂ” соотношения теории 7'. Если,А или В", А=)рС, В=грС суть теоремы теории 7', то С есть теорема теории Д". В самом деле, согласно 54, (А или В)=)р(А или С) и (С или А)=!р =)р(С или С) суть теоремы теории ,T. Если учесть 53 и 51, то (А или В)=?ь С есть теорема теории ,T, откуда и следует правило, Для доказательства С достаточно, таким образом, в случае, когда располагают теоремой ,А или В' доказать С с присоединением А к аксиомам теории ,T, а затем доказать С с присоединением В к аксиомам теории Т. Этот метод интересен тем, что если .А или В" истинно, то, вообще говоря, ничто еще не позволяет утверждать, что одно из соотношений А, В истинно.

В частности, согласно С10, если оба соотношения А=;ь С и (не А)рС суть теоремы теории,у', то и С есть теорема теории )'. Гч'. Метод вспомогательной константы. Он основан на следующем правиле; С19. Пусаь х — буква, А и  — соотношения теории такие, что: 1' Буква х не является константой теории )р и не естречаетсн е В. 2' Известен такой терм Т теории )', что (Т7х)А есаь теорема теории Д'. Пусть 7" — теория, получаемая присоединением А к аксиомам теории,T.

Если  — теорема е а ', ао В есть теорема а,у'. В самом деле, А=?ьВ есть теорема в,Я' (критерий дедукции). Так как х не является константой теории,у', то (Т)х)(А=)ьВ) есть теорема теории 7', согласно СЗ. Поскольку х не встречается в В, (Т~х)(А=-'УрВ) тождественно, согласно С55 Я 1, и'2) с ((Т(х) А)=')рВ. Наконец, (Т(х)А, в тем самым и В суть теоремы теории,у'. Иитуитивво метод состоит в использовании для доказательства В произвольного предмета х (вспомогательной константа), который предполагается наделенным некоторыми свойствами, выражаемыми соотношением А. 'Например, в доказательстве из геометрии, где идет речь, между прочим, о прямой 1), можно .взять" точку х на этой прямой; тогда соотношение А есть х 4 Вн Чтобы в ходе доказательства можно было пользоваться предметом, йааеленным известными свойствами, необходимо, конечно, чтобы такие предметы существовали.