Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 14

Но объект х, вообще говоря, будет зависеть от объекта у. Наоборот, высказывание о том, что (Зх)(Уу) й истинно, означает, что существует фиксированный объект к, такой, что й есть истинное соотношение между этим объектом и каждым объектом у. 4. Типовые кванторы Пусть А и тт — знакосочетания, х — буква. Мы обозначаем знакосочетание (Лх) (А и тт) символом Длх) тт, а знакосочетанне ,не (Злх)(не тч)" — символом (!блх)тт, Сокращающие символы шл и !бл будут называться тйповыми !!викторами. Заметим, что буква х не встречается в знакосочетаниях, обозначаемых через (Длх) )9, (!бл х) )9. СБ10, Пусть А и тс — знакосочетания, х и х' — буквы. Если х' не встречается ни е )9, ни е А, то (Злх)тч и ('41лх)44 тождественна соответственно с (=1л х')тс! и (4бл х')АР, зде 49' есть (х')х)8 и А' есть (х'~х)А.

ГЛ. Е ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ $ Ь КВАНТОРНЫЕ ТЕОРИИ С511. Пусть А, Я, Ю вЂ” зиакосочетания, х и у — различные буквы. Если х ие встречается е (7, то зиакосочетания (У(у)(Ллх)Я и ((у~у)(4блх)Я тождественны соответственно с (шл х)Я' и (тул х)Я', где Я' есть (47)у)Я и А' есть (47(у)А. Эти правила сразу же вытекают из критериев С88, С89 (п' 1), С85 (9 1, п' 2) и С36 (9 3, и'4). СР12, Пусть А и Я вЂ” соотношения теории 7'. а х — буква.

'Тогда (Длх)Я и (влх)Я суть соотношения теории 7'. Это вытекает сразу же из СР11 (п'1), СР9 (9 3, п" 4) и СР2 (9 1, п'4). Интуитивно мы будем рассматривать А н Я как выражения свойств предмета х. Может случиться, что в какой-нибудь цепочке доказательств мы интересуемся лишь объектами, удовлетворяющими А. Сказать, что существует объект, удовлетворяющий А, таней, что Я, зто зсе разно, что сказать следующее: существует объект, такой, что „А и Я"; отсюда и определение квзнтора Эл. Сказать, что все объекты, удовлетворяющие А, имеют свойство Я, зто все равно, что сказать: не существует объектов, удовлетворяющих А и таких, что „не Д", о~сюда и определение кванторз ч» . Йа практике зти знаки заменяются довольно разнообразными фразами в зависимости от природы соотношения А.

'Например, говорят; „каково бы ни было целое число х, Я', .существует элемент л множества Е, такой, что Я и т. д., С35. Пусть А и Я вЂ” соотношения теории Т, х — буква. Соотношения (»блх)Я и (Ух)(А=!»Я) згсеивалентны е,T. В самом деле, соотношение (т!глх)Я тождественно с „не (Зх)(А и (не Я) )". Но,А и (не Я)' эквивалентно в Те с „не (А=РЯ)"; следовательно, „не (3х)(А и (не Я))" эквивалентно в,7е с „не (3х)(не (А~Я))», согласно С31 (п' 3).

Это последнее соотношение тождественно с (чх)(А=)»Я). Таким образом, критерий установлен в,7е, а следовательно, и в 7'. Часто приходится доказывать соотношения вида (ь»лх) Я. Это делается обычно с помощью одного из двух следующих критериев: С36. Пусть А и Я вЂ” соотношения теории 47', х — буква. Пусть,7" — теория, получаелгая присоединением А к аксиомам теории,7".

если х ие является константой теории 47' и Я йсть теорема теории 47', то (4глх)Я есть теорема теории 7'. В самон деле, А=!»Я есть теорема теории,7, согласно критерию дедукции; следовательно, (4!Тлх)Я есть теорема теории 7", согласно .С27 (п' 1), и С35. На практике, если хотят применить зто правило, говорят фразу такого рода: „Пусть х — произвольный элемент, такой, что А". В построеннои 'таким образом теории ,7' стараются доказать Я. Конечно, нельзя утверждать, что само Я есть теорема теории,Т» С37.

Пусть А и Я вЂ” соотношения теории 7', х — буква.. Пусть 7" — теория, получаемая присоединением соотношений А и „не Я' к аксиомам теории 4Т. если х не является константой теории 47" и теория,7" противоречива, то (4блх)Я' есть теорема теории 47. В самом деле, теория,7' эквивалентна теории, получаемой присоединением „не (А ~Я)" к аксиомам теории,7. Согласно методу приведения к абсурду, А=)»Я есть теорема теории 7; следовательно, (!Тлх)Я также является теоремой этой теории ввиду С27 (п' 1) и С35.

На практике говорят: „Предположим, что существует предмет х,. удовлетворяющий А, для которого Я неверно", н стараются зайти противоречие. Свойства тйповых кванторов аналогичны свойствам кванторов. С38. Пусть А и Я вЂ” соотношения теории Т, х — буква, Соотношения „не (т!7лх)яфф(Злх)(не я)", „не (балх)яфф(4!тлх) (не Я)' суть теоремы е 47'.

С39. Пусть А, Я и 8 — соотношения теории Т, а х — буква.. ие являющаяся константой атой теории. Если соотношение А=!»(Я~8) (соответственно А=»»(Яфф8)) есть теорема е,7', то соотноигеиия " (Лл х)Я Ф(Злх) 8, (4бл х)Я ~(Улх)8. (соответственно тшл х) Яфф(шлх) 8, (4!тл х) Яч-т(плх) 8) тоже суть теоремы е 47". С40. Пусть А, Я и 8 — соотношения е,7, а х — буква. Соотношения (Улх)(Я и 8)фф((~(лх)Я и (4!улх)8) (Элх)(Я или 8)фф((балх)Я или (=балх)8) сугпь теоремы е,T.

С41. Пусть А, Я и 8 — соотногиения е,T, а х — буква. ие. встречающаяся е Я. Соотношения (!балх)(Я или 8)~(Я или (4блх)8), (Ъх)(Я и 8)фф(Я и (Ъх)8) суть теоремы теории 7', С42. Пусть А, В, Я вЂ” соотношения е,7', х и у — буквы. Если х не встречается е В, а у не встречается е А. то. ГиР 5 Б. ЭГАЛИТАРНЪ|Е ТЕОРИИ 61 соотношения ()ул хибву) я фф(йгвуН||ул «) Я (Зл «) (=|в у) м ~(шву) (шл «) ес (шл «) ( |г ву) м =|Р (|г ву) (шл х) м 5 6. Згалитариые теории ГЛ | ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ суть теоремы е,у. В качестве примера докажем часть критерия С42. Соотношение (Д «)(Л у)гч тождественно с (Л«)(А и (=1у)(В и Я)); следова- тельно, оно эквивалентно в суэ (поскольку у не встречается л В 0 в А) с Д«)Яу) (А и (В и В)), согласно СЗЗ и С31. Аналогично (3 у)(3 х)В эквивалентно с (Зу)(3«)(В и (А и Я)).

В заключе- ние применяем С31 и С34 (п' 3). 'Для иллюстрации применения предыдущих критериев рассмотрим следующее соотношение: „последовательность числовых функций (у,~ равном а н мерно сходится к О* иа (О, 1)'. Это значит: .для всякого г > существует такое целое число и, что для всякого х 4 (О, 1) дл всякого целого числа и > л имеет место | у„,(х)( ( е . Предположим, что требуется взять отрицание этого соотношения (например, лля умозаключения приведением к абсурду).

Критерий С38 показывает, что это отрицание эквивалентно следующему соотношению: .существует такое е > О. что для всякого целого числа и существует такое к Е(О, 1) и такое т >и, для которых 1у„(х)1> е*., уирахснения Во всех этих упражнениях,у' обознзчает кванториую теорию.

1) Пусть А и  — соотношения теории Т, к — буква, не встречающаяся в А. Тогда (тх) (АР В)(=ф(А =.'>(|гх) В) есть теорема в,7'. 2) Пусть А и  — соотношения теории,T, х — буква, отличная от констант теории Т и не встречающаяся в А. Если В РА есть теорема в Т, то ((Зх) В) цРА тоже есть теорема в,Т.

3) Пусть А — соотношение теории,7', х и у — буквы. Соотношения (|ех) (Чу) А ='Р (|ех) ( (х 1у) А), (Зх) ( (х ! у) А) ='Р (Зх) (Зу) А суть теоремы в T. 4) Пусть А и  — соотношения теории,T, к — буква. Показать, что соотношения (чх) (А или В).='Р((тх) А или (Зх) В), ((Зх) А и (г|х) В) ~(Зх) (А и В) суть теоремы в,T. 5) Пусть А и  — соотношения теории Д', х и у — буквы.

Если х не встречается в В, а у — в А, то (Ух) (|уу) (А и В)фф((Т|х) А и (Уу) В) есть теорема в Д . 6) П сть А и В в соотношения теории Т, х — буква. Соотношения (Злх) к='Р(Зх) В, (Ук) В='Р(Т|лх) В суть теоремы в Д . уст 7) Пусть А и  — соотношения теории,7', а х — буква, отличная от констант этой теории. Если В~А есть теорема в Т, то (Зх)йфф ~~(З х)В также есть теорема в 7'. Если (не В)-.ул есть теорема л в Т, то (Ух) ВЧР(|глх)В также есть теорема в 3.

В частности, если А — теорема в,у', то (Зх) В(ф(Злх) В и (тх) йфф(тлх)В также суть теоремы в,T. 8) Пусть А и  — соотношения теории Т, Т вЂ” ее терм, х — буква. Если (Т~х)А — теорема в Т, то (Т!«)В~(Злх)Ю и (ч|лх)й=;Р ;:~(Т|к)В также суть теоремы в Т. у. Аксиомы Мы называем эголитарной теорией такую теорию 7'. в которой встречается реляционный знак веса 2, имеющий вид = (читается| „равно", „равняется") и в которой схемы 31 — 35 (Я 3 и 4), а также нижеследующие схемы 36 и 37 дают неявные аксиомы. Если Т и 17 — термы теории,1, то знакосочетание = Т17 есть соотношение теории |7' (называемое соотношением равенства).

согласно СР4; это соотношение обозначают через Т=Ю или (Т)=(17). 56. Пусть х — буква, Т и 17 — термы теории,7 и Я1«~— соотношение в,T. Тогда соотношение (Т=О)=)ь(Я) Т~б~й~(7~) есть аксиома. 37. Если Ю и  — соотношения теории,7, а х — буква, то соотношение ((|бх)(Я(фЯ))Ф(т (Я)= с (В)) есть аксиома.

Правило 36, конечно, есть схема. Пусть, в самом деле, А есть аксиома в 7', полученная применением этого правила. Тогда существует такое соотношение В в |7, такие термы Т и 77 в 7' и такая буква х, что А есть (Т=(7)=р((Т~«)Кфф(17~«)В). Нетрудно видеть, что если у — буква и У вЂ” терм в |7', то соотношение (У~у)А также получается применением правила 36.