Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 9

Символ .3 и 4" не изображает ни терма, ни соотношения. Начальный знак соотношения есть т/, 1 или реляционный знак; начальный знак терма есть т или субстантивный знак, если только терм не сводится к одной букве. В самом деле, это утверждение о термах вытекает из того, что терм есть знакосочетаиие первого рода. Если А — соотношение, то А встречается в какой-нибудь формативной конструкции, не является буквой и не начинается с т; следовательно, возможны три случая: 1) впереди А имеется такое знакосочетание В, что А есть )В; 2) впереди А имеются такие два знакосочетания В и С, что А есть ~/ВС; 3) впереди А имеются такие знакосочетания А,, Аг, ..., А,, что А есть эА,Аэ... А„, где э — реляционный знак. 4.

формативные критерии СР1. Если А и  — соотношения теории,7, то '/АВ есть соотношение теории Т. В самом деле, рассмотрим две формативные конструкции теории ~', одна из которых содержит А, а другая содержит В. Рассмотрим последовательность знакосочетаний, получаемую при записи сначала всех знакосочетаний первой конструкции, затем знакосочетаний второй, а затем знакосочетания ~„гАВ. Так как А и  — знакосочетания вто- ода, то сразу же видно что эта последовательность есть формативная конструкция теории,7. Знакосочетаиие ~/А — второго рода; следовательно, оно является соотношением теории,T. Аналогичным образом устанавливаются три следующих критерия: СР2. Если А — соотиошемие теории Т', то ~А есть соотношение теории Т.

СРЗ. Если А — соотношение теории,T, а х — буква, то т (А) есть терм теории,T. СР4. Если А,, Аг, ..., А„— терм теории,~', а в — реляционный (соответственно субстантианый) знак веса п теории,7, то е ! г ° .. и А А ... А есть соотношение теории,~' (соотаетственмо терм теории,T). Эти критерии сразу же влекут следующий: СР5. Если А и  — соотношеноя теории,T, то =)РАВ есть соотношение тео рои,7. СР6.

Пусть А,, Аг, ..., А„— формативная конструкция теории Т, а х и у — буквы. Предположим, что у яе встречается в этих АР Тогда (у(х)Ат, (у1х)Аг..., (у)х)А„есргь форматиэная конструкция теории,T. В самом деле, пусть А! — знакосочетание (у(х) А!. Если А, — буква, то и А! — буква. Если А, имеет вид 1АТ где А, — энакосочетание второго рода, предшествующее А! в конструкции, то А! тождественно с 1 А, согласно С65, и А. есть знакосочетаппе второго рода. Аналогичным образом рассуждаем, если А, имеет вид т/А А лА, А, ...

А , где е — специальный знак теории,T. ь илие Если, наконец, А, имеет вид т,(А ), где А) — знакосочетание второго рода, пр едшествующее А в конструкции, то возможно ! несколько случаев: т,А,, а) х — буква, отличная от х и у; тогда А! тождественно с согласно СЗ4, и А) есть энакосочетание второго рода; б) е тождественно с х; тогда А, не содержит х, и, следовательно, А! тождественно с Аг, т. е. с т„(А)); так как у не встречается в Ар то т (А)) тождественно с тэ(А!), согласно СЯЗ; в) е тождественно с у; тогда А! есть знакосочетание тАВ потому что у не встречается в А-; следовательно, А! есть знакосочетание тА), т. е. т„(А)). где и — буква, не встречающаяся в ).

УпР. 39 $ Ь ТЕРМЫ И СООТНОШЕНИЯ ГЛ. Г. ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОИ МАТЕМАТИКИ 38 СРТ. Пусть А — соотношение (сооглаетсглаенно терм) теории у', а х и у — буквы. Тогда (у1х) А есть соотношение (соответственно терм) теории у. ПУсть Аи Аг, ..., А„— фоРмативнаЯ констРУкциЯ, в котоРой встречается А.

Покажем шаг за шагом, что если А,— соотношение (соответственно терм), то знакосочетание (у1х)АР которое мы обовначим через Аг, есть соотношение (соответственно терм). Предположим, что мы установили это для АР Аг, ..., А,, и установим это для Аи Если А,— буква, то и Аг — буква. Если впереди А~ в конструкции имеется такое соотношение А, что А, есть ) А), р, то А~ тождественно с )А), согласно С86, а 1А, есть соотношение, согласно СР2. Аналогичным образом рассуждаем, если впереди А, имеются такие соотношения АР Аь, что А, есть А/А)АА, или такие термы А,, А, ..., Аг, что А~ есть вА А), ...

А1, где э — специальный знак теории,T веса т. Если впереди А~ имеется такое соотношение Ар что А, есть т, (Аг), то возможны несколько случаев; а) в отлично от х и у; тогда А~ тождественно с т,(АТ), согласно С84, и мы уже знаем, что А) — соотношение; следовательно, А~ есть терм, согласно СРЗ; б) в тождественно с х; тогда А; не содержит х, и, следовательно, А~ тождественно с А,, а потому является термам; в) в тождественно с у. Пусть тогда и — буква, отличная от х и у и не встречающаяся в А,, Аг, ..., А 4 согласно СР6, последовательность знакосочетаний (а~у)АН ..., (а(у)АТ которую мы обоаначим через А1, ..., А, составляет формативную конструкцию теории,у'; так как у не встречается больше в этой новой конструкции, то (у)х)А~...

„(у(х)АТ есть формативная конструкция в силу СР6, так что (у(х)А есть соотношение теории,у"1 следовательно. тп((у~х)А1) есть терм теории,) . Но этот терм тождествен с (у)х)тп(Аг), согласно С84, а значит, и с (у(х)тэ(А)), согласно СЗЗ, а значит, и с А~. СРЗ.

Пусть А — соотногиение (соответственно терм) теории Т, х — буква и Т вЂ” терм этой теории. Тогда (Т~х)А есть соотношение (сооглветсглвенно терм) теории Т. Пусть А,, Аг, ..., А — формативная конструкция, в которой встречается А. Пусть х,, х, ..., хр — различные буквы, встречающиеся в Т. Поставим в соответствие каждой букве хг букву х;, отличную от хи ..., х и от букв, встречающихся в А,, ..., А„. причем буквы х,', ..., х' должны быть попарно различны.

Знакор сочетания (х,'~х,)(х'~х)... (х' (х ) Т есть терм Т', согласно СР7, и (Т~х)А тождественно с (х,~х)(хг~хг)... (х ~х')(Т'~х)А ввиду СБ1. Поэтому достаточно показать, что (Т'~х)А есть соотношение (соответственно терм); иначе говоря, отныне можно предполагать, что буквы, встречающиеся в Т, не встречаются в А,, ..., А„. Покажем теперь постепенно, что если А,— соотношение (соответственно терм), то знакосочетание (Т(х) А,, которое мы обозначим через Аг, есть соотношение (соответственно терм).

Предположим, что это установлено для А,, Аг, ..., А, , и установим это для Аи Если А, — буква, то А~ есть либо эта буква, либо Т, а следовательно, терм. Если А, имеет вид ) Ар где Ау — соотношение, предшествующее А, в конструкции, то А; тождественно с 1А), согласно СЗ5, и мы уже знаем, что А) — соотношение; следовательно, А~ есть соотношение, согласно СР2. Аналогичным образом рассуждаем, если А, имеет видА/А)АА или вА) ... А) . Если, наконец, и А~ имеет вид т,(АТ), где Ау — соотношение, предшествующее А, в конструкции, то возможны несколько случаев: а) в отлична от х и от букв, встречающихся в Т; тогда Аг тождественно с т,(А)), согласно С84, и мы знаем уже, что А — соотношение; следовательно, А1 есть терм, согласно СРЗ; б) в тождественна с х; тогда А, не содержит х, и, следовательно, А~ тождественно с АО а потому является термам; в) в встречается в Т; тогда в не встречается в Ар так что А, тождественно с ТАР а значит.

и с ТА); но мы уже знаем, что А) — соотношение, а ТАТ тождественно с т„(А ), где и — буква, не встречающаяся в Аг", отсюда следует, что А~ есть терм, согласно критерию СРЗ. Интуитивно, если А — соотношение теории Т, которое мы можем рассматривать как выражающее некоторое свойство объекта х. то утверждать (В)х) А — зто значит сказать, что объект В обладает згим свойством. Если А — терм теории,7, го он изображает объект, зависящий некоторым образом ог объекта, обозначенного символом х; терм (В1х) А изображает то, чем становится объект А, когда в качестве х берется В, Унрагкненин 1) Пусть у' — теория без специальных знаков. Ни одно знакосочетание теории,у' ие явяяется соотношением.

Единственные знакосочетания теории Т, являющиеся термами, суть знакосочегания, сводящиеся к одной букве. 2) Пусть А — терм или соотношение теории Т. Показать, что каждый знак Д, если он имеется в А. связан с одним и только одним знаком ъ расположенным слева ог него. Показать, что всякий знак и, если он имеется в А, либо не связан с другими. знаками, либо связан с некоторыми знаками Д, расположенными справа ог него. Ни один другой знак не связан ни с какими знаками. 3) Пусть А — терм или соотношение теории Т.

Показать, что каждый специальный знак, если он имеется в А, предшествует некоторому знаку (1, или знаку т, или букве, или субсгаитивному знаку. ГЛ. Ь ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ э г. теОРемы ~[ 4) Пусть А — терм илн соотношение теории Т, а  — знакосочетание втой теории. Показать, что АВ не есть ни терм, ни соотношение теории Т'. (Рассуждать иидуктивно по числу знаков в А.) 5) Пусть А — знакосочетание теории Т, а х — буква.

Если с (А)— терм теории т . то А — соотношение теории Т'. б) Пусть А и В в знакосочетания теории,7. Если А и ='Р А — соотношения теории Т, то и В в соотношение этой теории (использовать упр. 4). $2. Теоремы Чтобы облегчить чтение дальнейшего, мы будем писать отныне а случае, когда А — соотношение, „не (А)" вместо 1А. Если А и  — соотношения, мы будем писать „(А) или (В)" вместо т/АВ и (А))ь(В) вместо =РАВ.

Иногда мы будем опускать скобки. Читатель сможет без труда определить в каждом случае, о каком знакосочгтании идет речь. 1. Акеаомьг Задание специальных знаков определяет термы и соотношения теории у'. Чтобы завершить построение теории,)". делают следующее: 1' Записывают сначала некоторое количество соотношений теории Т; эти соотношения называются явными аксиомами теории,T; буквы, встречающиеся в явных аксиомах — константами теории Т'. 2' Залают одно или несколько правил'), называемых схемами г) теории сT, которые должны обладать следующими особенностями: а) применение каждого такого правила Я дает соотношение теории сT; б) если Т вЂ те теории Т, х †бук, )с †соотношен теории,Т, построенное применением схемы Я, то соотношение (Т)х)гс также может быть построено применением схемы В(.

Во всех случаях, которые мы будем рассматривать, проверка этих условий будет легка. Всякое соотношение, образованное применением какой-либо схемы теории Д", называется неявной аксиомой теории,T. Интуитивно аксиомы изображаю~ либо очевидные утверждения, либо гипотезы, из которых собираются извлечь следствия; константы изображают вполне определенные предметы, для которых свойства. выражаемые явными аксиомами, предполагаются истинными. Напротив, если буква х не является константой, то она изображает предмет совершенно неопределенный; если некоторое свойство предмета х предполагается верным вследствие аксиомы, то эта аксиома необходимо является неявной, так что данное свойство также истинно для любого предмета Т.