Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 9

Кроме того, в (В )=8, н, следовательно, В ( — а)=6(а) для любого агнЯ. Зто означает, что 8 (а) 6(а)=8 (а) В ( — а)=!. Из этого следует, что В принимает значения в !) н, стало быть, отвечает по двойственности элементу ! из Т, такому, что (Ад !)<с! —— о. Значит, 1п! 1=1. В общем случае проведенные выше рассуждения применимы к группе 6/С (6), центр которой состоит нз единичного элемента, и к ее максимальному тору Т/С (6).

Отсюда получаем, что если! — автоморфнзм группы 6, нндуцирующнй еднннчвый автоморфизм на Т, то существует элемент ! Из Т, такой, что автоморфизмы ! и 1п! ! индуцируют при переходе к фактор- группам один и тот же автоморфизм группы 6/С(С). Тогда, поскольку канонический морфнзм Р (6)-ь 6/С(6) является конечным накрытием ($ 1, и' 4, следствие ! предложения 4), ! н!и! ! нидуцнруют один н тот же автоморфизм группы Р (6), а следовательно, группы 0 (6))с С(6) н, стало быть, группы 6 (там жг). Следствие. Пусть и — автоморфизм группы 6 и Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6, состоящая из неподвижных точек отображения и. Для того чтобы автоморфизм и был внутренним, необходимо и достаточно, чтобы подгруппа Но имела максимальный ранг.

Если автоморфизм и имеет вид 1п! у, где угп6, то подгруппа Нь= =2 (л)ь имеет максимальный ранг ($2, п' 2, следствие 3). Обратно, если Н содержит максимальный тор 5, то автоморфнзм и имеет вид 1п! з, где зев 5 (предложеиие 9). Б. Узловые векторы и дуальные корни ЛеммА2. Пусть 5 — замкнутая подгруппа в Т и 2(5) — гг централизатор в 6. (!) )7 (2 (5)ь Т) — множество корней а~)7 (6, Т), таких, что а(5) =(1). ГЛ. 3Х.

КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН (в) Пентр группы 2 (5)ь есть пересечение подгрупп Кег а для аы енй (2(З)ь, Т). (Гй) Если 3 связно, то 2 (5) связно. Алгебра Ли Е(2(5))<с1 состоит иэ элементов, инвариантных относительно действия группы Я в вс (гл. 111, 4 9, п' 3, предложение 8) и, стало быть, является прямой суммой подалгебры 1с н иодалгебр 0", для которых а(Ю)=(!), откуда следует (!). Тогда утверждение (й) вытекает нз предложения 8 (и'4), а утверждение (!!!) было уже доказано (4 2, п' 2, следствие 5 теоремы 2). Теоэемь 1.

Пусть агнй(6, Т). Вентрализатор 2 множества Кег а есть связная замкнутая подгруппа в 6. Пентр подгруппы Е„равен Кег а, а ее производная группа Р(Е,)=5 является полупростой связной замкнутой подгруппой ранга ! в 6. Кроме того, !г (Я, Т) =(а, — а) и йпп Я =йпп Т+2. Пусть 2' — централиэатор (Кег а)ь. Согласно лемме 2, это связная замкнутая подгруппа в 6, а 1!(Я;, Т) есть множество корней рен ~й(6, Т), таних, что Р ((Кег а)ь)=(!). Очевидно, что (а, — а)г=й (2', Т). Обратно, пусть ()ен)! (Я', Т).

Поскольку (Кег а)е — подгруппа конечного индекса в Кег а, существует целое число г ~ О, такое, что Гд= ! для Г ~ ги Кета, Из точности последовательности О -~- 2 -ь. Х (Т) -ь. Х (Кег а) -ь О, соответствующей по двойственности точной последовательности О- К вЂ” Т О- О, вытекает, что гр. кратен а. Согласно теореме 2 (!) нз гл. ЧП 1, 4 2, п' 2, это означает, что Ргн(а, — а).

Таким образом, 11(2;, Т)=(а, — а). Из этого следует (лемма 2), что центр группы 2; есть Кег а, н, стало быть, 2; = 2 . Наконец, согласно следствию 1 предложения 4 ($ 1, п'4), Р(7 )— полупростая связная замкнутая подгруппа в 6, ранг которой равен 1, поскольку йГЕ(2 )!с!=0" +В '+!0",0 ). Следствие. Существует морфизм групп Ли т г ЬО (2, С) -~ 6, обладающий следующими свойствами: а) Образ морфизма ч и ядро корня а коммутируют. б) т яТН агт =а для всех аев(1.

/а 0~ 2 \,0 ар Ь С СИСТЕМА КОРНЕЙ Если т и ть — два морфиэма груллы Ли 511 (2, С) в б, обладаямг(ие укаэанными выше свойствами, го существует элемент а~ У, такой, что /а 01 т1»1п! ~0 а) Согласно теореме 1 и предложению 6 из п' 6, $3, существует сюрьективиый морфизм групп Лн т: 511 (2, С)- 5, с дискретным ядром. Тогда '(ТП5 ) — максимальный тор в 311 (2,С) ($ 2, п' 3, предложение 1). Поскольку максимальные торы в 51) (2, С) сопряжены ($2, п' 2, теорема 2), то можно предполагать.

заменяя в случае необходимости ч иа т»1п! з (для эы$11(2, С)), что т '(ТП5 ) — подгруппа диагональных натрии lа ОЪ в 51! (2, С). Тогда для любого а~ 1! имеет место включение т ен Т ~,0 и) и отображение ь-+ а»ч является корнем группы Лн 5(! (2, С), а'следовательно, совпадает с одним издвухотображений ь а или ььа ($3, п'6, фор- ~0 а) 10 а) мула (19)). В первом случае подходит гомоморфиэм ч, во втором случае — гомоморфизм т»1п! В (гам же, формула (18)). Если ч, и тг — два морфизма группы Лн Яс! (2, С) в б, удовлетворяющие нужным условиям, то оба они отображают ЬВ (2, С) в 5, (условие а)) и, значит, оба являются универсальными накрытиями группы 5 . Таким образом, существует автоморфизм н группы $1! (2, С), такой, что ч,=т,»а, и доказательство завершается применением предложения 9 нз п'4.

Иэ предыдущего следствия вытекает, что гомоморфизм чг: У-ч.Т, та ОЪ определяемый равенстиом ч,(а)=ч, где аеи11, не зависит от ~о -)' выбора т. Обозначим через К ~пГ(Т) образ при Г(тг) элемента 2л! нз Г(О)=2»и2. В дальнейшем будем называть К, уэловым вектором, ассоциированным с корнем а. Имеем (а, К ) =2, т. е. (и'2, формула 2)) 6 (а) (К ) = 4лй Поскольку К принадлежит пересечению и 1. (5,)!Сг то К„=2кйНА < ь (13) где Н ь 00 — дуальный корень, ассоциированный с корнем б (а) расщепленной алгебры Ли (йоьс) (гл. У!П, $2, п'2).

Иначе говоря, если отождествить Г(Т)®11 с группой, двойственной к группе Х(Т)®В, при помощи спаривания (, ), то узловому вектору К, будет соответствовать дуальный корень а" еи(Х (Т)® В)». Замечание. для любого кшй ГЛ. «Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ.

Ч' Т ехр (2я«х) О ! =«т(е "") ехр(лК ). О ехр ( — 2«йх) ! (14) В частности, ч( )=ч.(-1) ехр( — К„). (! 5) Отсюда вытекает, что морфнзм ч иньективен тогда н только тогда, когда К„ф чь2Г(Т), т. е. когда существует такой элемент АщХ(Т), что (З К,) «Н22. Если алгебра Лн вс проста, то морфизм ч ниьективеи, за исключением случая, когда Вс — алгебра Лн типа Вм С(6»=(1) н и — короткий корень (см, гл, «1, таблицы).

На протяжении этого параграфа через )1" (6, Т) будем обозначать множество узловых векторов К„для и~Я (6, Т). Это — подмножество в Г(Т), которое прн каноническом вложении Г (Т) в 1с отождествляется с множеством, получаемым с помощью гомотетин с коэффициентом 2п«из дУальной к б (!т) системы коРией Я" (Ос, «с)=(Нг 1!).

Отсюда следУет, что множество )Г(6, Т) порождает векторное !(-Пространство (.(ТД (!О (6)) и что ортогональное дополнение к )2" (6, Т) в Х (Т) есть Х (Т/(Т() ()6 6))). ~ ) бозиачим через АП1(Т) группу автоморфизмов группы Лн Т. Группа Вейля МУ= %то(т) ($2, и'5) отождествляется с некоторой подгруппой группы АП1(Т). С другой стороны, напомним (гл.

И!1, $2, и' 2, замечание 4), что группа Вейля ЯГ(йс, «с) расщепленной редуктивной алгебры Ли (Ог, «с) действует в 1с и, следовательно, каноническим образом отождествляется с подгруппой из 61(«с). Пэедложение 1О. Отображение и ~+-(. (и) «с! из АП1(Т) в 61(«с) индуцирует изоморфизм группы Ф' на группу Вейля расщепленной редуктивноб алгебры Ли (Ос,«с). Группа Ж'г (Т) имеет порядок 2 для любого а~Я, и образ ее неединичного элемента при предыдущем изоморфиэме является отражением зн Б! ) Так как рассматриваемое отображение ииъективно, то достаточно показать, что его образ совпадает с йт(йо «с). Пусть уенй«о(Т).

Используя обозначения из гл. ч!!1, $5, и'2, получаем, что Аду«НАП«(йо«с)()!п«(вс); следовательно, Аб «нАП«е(йо«с) (см. там же, и'5, предложение 11). Согласно предложению 4 и 2 $5 той же главы, автоморфизм подалгебры Ли «о индуцнрованный Ад д, пр надлежит Ят(вс, «с). Следовательно, образ Оу в 6$. («с) содержится в йт (Ос, «с). Пусть а«НЯ(6, Т), и пусть ч: 50 (2, С)-~- 6 — 'морфизм групп Лн, обладаю!ций свойствами, перечисленными в следствии теоремы !. Образ элемента ч в $0 (2, С) при отображении О обладает такими свойствамн ($3, и' 5, формула (17) ): а) (1п1 «(8)) (!)=1, если !щКег оц б» (!п1ч(О))(!)=1 ', если ЕГНТП$,. 6 1 « системА кОРней 43 Отсюда следует, что Ай т(0) индуцирует тождественное отображение на Кег 6 (а)с!си отображение хь — х на (й", й "], а следовательно, совпадает с отражением эн .

Значит, образ группы йт содержит все эн и, 4(а! 4(а! таким Образом, совпадает с Ят (йо 1с). В частности, группа ктг (Т) имеет порядок 2, т. е. состоит из единицы и 1п1 ч(О). Ч. Т. Л. Следствие Предположим, что группа Ли 6 полупроста. Тогда любой ее элемент является коммутатором двух ее элементов. Пусть с — преобразование Кокстера группы Вейля Ят (йс, 1с) (гл. У, 6 б, и'1), и пусть п — элемент из 6(о(Т), класс которого в Ят отождествляется с с при помощи изоморфизма, определенного в предложении 10. Обозначим через 7, морфизм (( (и, 1) из Т в Т. Лля х~(с имеет место равенство 6(),)( (х)=(Айп)(х) — х=с(х) — х.