Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики)

ББК 22.144 Б91 УДК 512.81 Очередной том азаестной серии <Элементы матеиатнкнз, созданной группой франнузскнх математиков, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки. Предыдущие главы «Групп и алгебр Лиг вышли в издательстве «Мнр> в 1972, 1976 н 1978 гг. Данная книге содержит обширный материал по ком. пактиым вещественным группам Ли. Для математиков различных спспнзльностей, физиков, аспирантов и сотрудников уанверситетов. 1702030000-141 04!(01)-80 ББК 22.144 Редакция литература ла математическим наукам ййаллоя, Рона, 1982 перевод на русский язык, «Мир», Гй Бурбакн Н. Б91 Группы н алгебры Лн, гл. 1Х: Пер.

с франц.— М.: Мир, 1986.— 174 с. ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Девятая глава хниги «Группы и алгебры Ли» трактата Н. Бурбаки посвяшена компактным группам Ли и их конечномерным представлениям. Предыдушие восемь глав уже переведены на русский язык (они вышли в издательстве «Мир» в 1972 (гл. 1Ч вЂ” Ч1), 1976 (гл. 1 — ГП) н ! 978 (гл. ЧП, Ч1 П) гг,), Ссылки на уже переведенные части трактата Н. Бурбаки заменены ссылками на соответствуюшие русские издания; в остальных случаях сохранены ссылки на французские издания.

Я благодарен Н. Бурбаки, приславшему исправления замеченных прн переводе ошибок и неточностей в тексте упражнений. А. 7(ириллов ГЛАВА 1Х КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ ') В этой главе выражение «группа Ли» означает «группа Ли конечной размерности иад полем вещественных чисел», выражение «алгебра Лиз означает, если пе оговорено ярогизиое, «алгебра Ли конечной размерности пад полем вещественных чисел», а зыралсение «вещестзенпая алгебра Ли» (соотв. «комплексная алгебра Ли») означает «алгебра Ли конечной размерности пад полем вещественных чисел» (соотв. «,.комплексных чисел»).

Через 6« обозначается связная компонента единицы (нейтральная компонента) топологической группы 6, через С (6) — центр этой группы, через 6 (6) — ее производная группа (или коммугапт), а через Но (Н) или Н (Н) (соотв. Ло(Н) или Х(Н)) — пормализатор (соотв. ценгрализатор) подмножества Н з группе 6. й 1. Компактные алгебры Лн А Инаариаитмгяе нржитовы форлггя В этом пункте й обозначает поле 11 или С. Г1усть )г — коиечиомериое векторное й-пространство, Ф вЂ” невырождеиная положительная эрмитова форма на т'э), 6 — группа,й — некоторая В-алгебра Ли, р:6 — »ОЕ(У)— гомоморфиэм групй и йнй -1- 91 («) — гомоморфизм Г«-алгебр Ли.

а) Форма Ф инвариантна относительно 6 (соотв. 9) тогда и только тогда, когда эидоморфиэм р (9) унитареп относительно Ф для любого а«и «и 6 (соотв. ф (х) антизрмитоз э) относительно Ф для любого хеий). Действительно, обозначим символом а* эндоморфизм, сопряженный относительно Ф к эндоморфизму а пространства г'; для йы 6, х~у, и и о из '«' имеем Ф (р (й) и, р (й) о)= Ф (р (д)» р (д) и, о), !В(~р(х) и, о)+Ф(и, ф(х) о)=Ф((ф(х)+ф(х)*). и, о).

~) Во всей этой главе ссылка вида А!й., «нар. Ч! Н (сязр. 1Х), означает гл. ЧГН (гл. 1Х) яозого фраяауэского издания, которая готоявтся к печати. ') Напомним (Агй.,«Кар.!Х (сы.также Алг.,!966,гл.!Х,$1. — Перев.)),что эрыитояа форма Н иа Ч называется пегырождепяой, если для любого веяулеяого элемента и яэ 1' существует сея у, такой, что П (и, с)чьО.

') Говорят, что ажЕпй («) аятиэрмитоя стяосительяо Ф, если сояряжеввый к в«му относит«льво Ф эидоморфиэм а" раз«я -а. В случае й = С (соотв. й= й) это означает также, что эядоыорфиэы !а пространства «' (соотя. С Э а «') эрмитоа. г К КОМПАКТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 7 Для того чтобы Ф (р (и) и, р (д) и) =Ф (и, е) для всех и, о из У, необходимо и достаточно выполнение условия р(п)" р(п)=!дг; аналогично, чтобы Ф(ф(х) и, и)+Ф(и, »р(х) п)=Опля всех и и и нз У, необходимоидостаточно выполнение условия ф(х)+ф(х)* О, откуда следует доказываемое утверждение. б) Если форма бь инвариантна относительно 6 (соотв. й), то ортогональное дополнение к устойчивому подпространству в У устойчиво; в частности, представление р (соотв, ф) полупросто (см.

А(я., сйар. 1Х); кроме того, для любого й»еп6 (соотв. любого хе й) эндоморфизм р(я) (соотв. ф(х)) пространства У полупрост и его собственные значения по модулю равны ! (соотв. чисто мнимы); таким образом, р (и) унитарен (соотв. г»р(л) эрмитов, см. АЕй., сЬар. 1Х). в) Пусть й= 11. Если 6 — связная группа Ли, р — морфизм групп Ли, й — алгебра Ли группы 6 и ф — гомоморфизм, отвечающий р, то Ф инва риантиа относительно 6 тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно й (гл. 1И, $ 6, п' 5, следствие 3).

г) Для существования на У инвариаитной относительно 6 невырожденной положительной эрмитовой формы необходимо н достаточно, чтобы подгруппа р (6) в 61. (У) была относительно компактной (Иягегр., гл. ЧП, й 3, п' 1, предложение 1). 2. Связиые комлгугагивиые вев(еегвеииые еруппы Ли Пусть 6 — связная коммутатнвная (вещественная) группа Ли. Экспоиенциальное отображение ехре'. Е(6)»- 6 является сюръективным морфизмом групп Ли с дискретным ядром (гл. П1, $6, п' 4, предложение 11), который наделяет Е (6) структурой связной накрывающей группы Ли 6.

а) Следующие условия эквивалентны: 6 односвязна, ехро является изоморфизмом, 6 изоморфна м" (л=б)ш 6). Если в этом случае прн помощи изоморфизма ехро перенестн на группу 6 структуру векторного пространства Е (6), то 6 наделяется структурой векторного пространства, которая является единственной такой структурой, согласованной со структурой группы и топологией на 6.

Одиосвязные коммутативиые группы Лн называются векторными группами (Ли); если специально ие оговорено противное, будем в дальнейшем считать их наделенными структурой векторного 11-пространства указанным выше способом. б) Обозначим через Г(6) ядро отображения ехрп. Согласно Тор. пел., с)гар.

Ч11, р. 4, Гш 1, группа 6 компактна тогда и только тогда, когда Г(6) — решетка в Е (6), т. е. (см. Тпм зее) когда ранг свободного Х-модули Г(6) равен размерности 6. Обратно, если Š— конечномерное векторное 11-пространство и à — решетка в Е, то топологическая факторгруппа Е/Г является связной компактной коммутативной группой Ли. ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕГПЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ Связные компактные коммутативные группы Ли называются вещественными торами или (в этой главе) просто торами.

в) В общем случае пусть Š— векторное надпространство в Е(6), порожденное Г(6), и пусть у' — его дополнительное подпростраиство. Тогда 6 является прямым произведением своих подгрупп Ли ехр(Е) и ехр((г); первая является тором, а вторая -- векторной группой. Наконец, любая компактная подгруппа в 6 содержится в ехр(Е) (поскольку ее проекция в ехр(у) обязательно равна единичному элементу); таким образом, подгруппа ехр(Е) является единственной максимальной компактной подгруппой в 6. Рассмотрим, например, 6= С*; отождествим Е (6) с С, так что экспоненциальным отображением для 6 будет х г-ь е" Тогда Г (6) = 2п(Х, Е =((1 и ехр (Е) = О.

Если положить (т= ((, то ехр (У) =((~~, и мы получаем изоморфизм С*-+- 1! Х((*.~, построенный в Общ. топ. !975, гл. ЧП1, $ 1, и' 3. г) Отметим, наконец, что ехро: Е(6)-ь 6 является универсальным накрытием группы 6 и, следовательно, Г(6) естественным образом отождествляется с фундаментальной группой группы 6.

3. Компактные алгебры Ли ПРедлОжеиие 1, пусть 9 — (вещественная) алгебра Ли. следующие условия эквивалентны: (!) в изоморфна алгебре Ли некоторой компактной группы Ли. (й) Группа 1п! (9) (гл. 1П, 4 6, п' 2, определение 2) компактна. (й!) На 9 существует инеариантная билинейная форма (гл.

1, $3, п' 6), которая нееырожденна, положительна и симметрична. (|ч) 9 редуктивна (гл. 1, $6, п'4, определение 4). Лля любого хепй эндоморфизм ай х полупрост и имеет чисто мнимые собственные значения. (ч) 9 редуктивна, и ее форма Киллинга В отрицательна. (!) =Р(й). Если 9 — алгебра Ли компактной группы Ли 6, то группа 1и! (9) отделима к изоморфна факторгруппе компактной группы Оь (гл. П!, $6, п' 4, следствие 4); значит, она компактна. (й) =ь (!6).

Если группа 1п! (9) компактна, то на 9 существует симметрическая билинейная форма, которая невырождеина, положительна и инвариантна относительно (п! (9) (п' 1) и, таким образом, инвариантна относительно присоединенного представления алгебры Ли 9. (Гй) =ь (!ч). Если (ш) выполнено, то присоединенное представление алгебры Ли П полупросто (п' 1), а следовательно, й редуктивна; кроме того, зндоморфизмы ад х для х~й обладают требуемыми свойствами (п' !), (1ч) ~ (ч). Для любого хай имеем В (х, х)=Тг ((ад х)т); таким образом, В (х, х) является суммой квадратов собственных значений оператора аб х и, следовательно, отрицательна, если эти значения чисто мнимые. (ч)=ь (!). Пусть в редуктивна, т. е. является произведением коммута. тивной подалгебры с и полупростой подалгебры ь (гл.

1, э 6, и' 4, предложение 5). Форма Киплинга алгебры Ли ь ивляется ограничением иа з 1 ь кОмпАктные хлгевгы ли 9 формы В, т. е. невырожденной и отрицательной, если В отрицательна, Подгруппа 1п1(в) в 61. (в) замкнута (является связной компонентой единицы в Ап! (з), гл. 1П, $10, п'2, следствие 2) и оставляет 'инвариантной невырожденную положительную форму — В; следовательно, она компактна. н в изоморфна алгебре Ли компактной группы Лн 1п! (в). Кроме того, так как с коммутативна, она изоморфна алгебре Лн тора Т. Таким образом, 9 изоморфна алгебре Лн компактной группы Ли 1п! (в)ХТ.