Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Согласно следствию 2 предложения 19 из гл. Ч1, $1, п'6, существует гомоморфизм б: ог(В) — С*, такой, что б (а) =с, для всех аыВ. Теперь покажем, что все числа с, вещественны и строго положительны. Действительно, с, В(Х„Х „)=В(Х„т(Х,)), и, поскольку значение В (Х„, Х „) отрицательно, то достаточно показать, что В (х, т (х))(0 для откуда следует доказываемое утверждение. Замечание. В предыдущих обозначениях имеют место формулы [Ь, и ]= — 1а (Ь) о„[Ь, о„]=!а (Ь) и„[и„, Р ]=21 Н, (Ь~ ») [и ив]=)У.,ви.+в+Ь!,-ви.-и а~+.Р [о.

Ов]= — (У..ви +в+Ь1..-ви.-в а~ ~8 [и«ов]=ь! .в".+в ь1«,-во«-и ать ~(! [Ь, т(Х„)]=[ — т (Ь), т(Х,)] — т([Ь, Х„])= — т(а(Ь) Х ). (9) (!й) (1 1) (12) ГЛ !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН любого ненулевого элемента х нз а. Поскольку любой элемент из а запи- сывается в анде х+1у, где х н у из В, то В (х+!у„т (х+1у)) =В (х+!у, х — су)=В (х, х)+ В (у, у), откуда вытекает требуемое утвержденне, так как ограннченне В на в, согласно предположению, невырожденно и отрицательно. Из этого следует, что гомоморфнзм б прнннмает значення в !(ь+; поэтому существует гомоморфнзм у: Я()!)-Р !!ь+, такой, что б=у Тогда /(у) '(В) является вещественной формой алгебры Лн а; соответствующнм сопряжением будет т'=)(у) ' т )(у) Для всех аенЯ получаем т'(Х«)=)(7) '(т(е ьпХ ))=)(7) '(сы'Х-.)=Х-.

я т'(5)=т (й)=й для йев 15ь из этого следует, что т' является сопряженнем относнтельно компактной вещественной формы а,. Значнт, !(у) '(в)=а„. В. Сопряжвпиость компактных форм ТеОРемА 1. Пусть а — комплексная полупростап алгебра гти, а) а обладает компактными (соотв. расщепляемыми) вещественными формами. б) Группа 1г1(а) действует транлитивно на множестве компактных (соотв.

расщепляемых) вещественных форм алгебры Ли а. Пусть 5 — подалгебра Картана алгебры Ли а. Тогда (а, 5)— расщепленная полупростая алгебра Лн (гл. Ч!П, 4 2, п' 1, замечание 2), обладающая снстемой Шевалле (Х,) (гл, ЧП1, $4, п' 4, следствне предло. ження 5). Часть а), такнм образом, следует нз предложення 2. Пусть В— компактная вещественная форма алгебры Лн а. Покажем, что существует вен!п1(а), такой, что о (а)=в. Пусть1 — подалгебра Картава алгебры Лн щ тогда 1!с, — подалгебра Картана алгебры Ли а.

Поскольку группа !п1(а) действует транзитнвно на множестве подалгебр Картава алгебры Лн а (гл. ЧП, $3, п' 2, теорема 1), то доказательство сводится к случаю 1<с, —— 5. Так как форма в компактна, собственные значения эндоморфнзма ад В для птнг чисто мннмы (4 1, п' 3, предложение 1). Следовательно, корнн ы ен Я отображают 1 вгм, а значит, 1=15ь.

Тогйа, согласно предложенню 3 (п' 2), существует такой о~1п! (а), что о (а,)=в, откуда следует утвержденне б) в случае компактных форм. Пусть, наконец, Гп~ и тпт — две расщепляемые вещественные формы алгебры Лн а. Существуют разметкн (Гаь йь Вь (Х,')) н (Гпт, йт, Вь (Х')) (гл. Ч1П, $4, п' 1), которые очевндным образом продолжаются до разметок е~ н ет алгебры Лн а. Автоморфнзм алгебры Ли а, который переводит е1 в еь переводнт т1 в Гпт, такнм образом, достаточно прнменнть предложение 5 нз гл.

ЧП1, $5, п 3, чтобы доказать существование элемента и нз АП1ь(а)=!п1(а), такого, что и (т~) =тпт. $ а. кОмпАктные ФОРмы АлгеБР ли Замечание. Позже ны получим общую классификацию вещественных форм комплексной полупростой алгебры Лн. Следствие 1. Пусть й и й' — две компактные вещественные алгебры Ли. Для того чтобы и и й' были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы комплексные алгебры Ли й!с! и И'!с> были изоморфны. Необходимость условия очевидна. Обратно, предположим, что Н(с) и й'!с! изоморфны. Пусть с (соотв. с') — центр алгебры Ли й (соотв.

й') и а (соотв. з') — производная алгебра алгебры Ли н (соотв. н'). Тогда с!с) и с'!с! являются соответственно центрами алгебр Ли й!с! " 9 <с! и, следовательно, изоморфиы; из этого вытекает, что коммутативные алгебры Ли с и с' изоморфны. Аналогично а!с, и з'!с! изоморфны, а значит, согласно теореме !б), изоморфны и алгебры з и з', являющиеся компактными вещественными формами двух изоморфных комплексных полупростых алгебр Ли. Следствие 2. Пусть а — комплексная алгебра Ли.

Следующие условия эквивалентны: (1) а редуктивна. (П) Существует компактном вещественная алгебра Ли й, такая, что а изоморфна йс. (11!) Существует компактная группа Ли 6, такая, что а изоморфна ! (П)!сг Согласно определению 1 из $1, п'3, условия (й) и (й) эквивалентны и из них следует условие (1).

Если а редуктивна, то она яв. ляется прямым произведением коммутативной алгебры, которая очевидным образом обладает компактной вещественной формой, и по. лупростой алгебры, которая также обладает компактной вещественной формой согласно теореме 1а), Следовательно, (1) влечет за собой (и).

Следствие 3. Пусть а~ и аа — две комплексные полупростые алгебры Ли. Компактными вещественными формами алгебры Ли а~Хат являются произведения у~ Хйь где (В.— компактнал вещественная форма алгебры Ли а; для 1= 1, 2. Действительно, существует компактная вещественная форма В (соотв. йа) алгебры Ли а~ (соотв. аа); тогда у|Хйа — компактная вещественная форма алгебры Ли а| Хаа Следствие вытекает из теоремы 1б), примененной к аь аа н а1Хаа. В частностя, из этого следствия 3 получается, что компактная вещественная алгебра Ли й проста тогда н только тогда, когда комплексная алгебра Ли й!с! проста. Тогда говорят, что Н вЂ” алгебра Ли типа А„ или В„,...,если н!с! — алгебра Ли типа А„ или В„,....

Согласно следствию ! этого пункта, две компактные простые вещественные' алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда они одного типа. ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ Ли 28 Пусть 0 — почти простая (гл. 111, 4 9, и' 8, определение 3) связная комплексная группа Ли. Говорят, что 6 — группа Ли типа А, или В„..., если ее алгебра Ли имеет тип А или В, .... Две односвязные почти простые компактные группы Ли нзоморфны тогда и только тогда, когда они одного типа. 4. Пример !т камиактмые алгебры Ли типа А„ Пусть У вЂ” конечномерное комплексное векторное пространство и Ф вЂ” невырожденная положительная эрмитова форма на У Унитарная группа, ассоциированная с формой Ф (см. А!у., с)тар. 1Х ') ),— это подгруппа 1) (Ф) группы СЬ (У), состоящей из автоморфизмов комплексного гильбертова пространства (У, Ф).

Это (вещественная) подгруппа Ли группы бЬ (У), алгебра Ли которой является подалгеброй и (Ф) вещественной алгебры Ли 8! (У), состоящей из эндоморфизмов х пространства У, таких, что хв = — х (гл. Ш, $3, п' 10, следствие 2 предложения 37), где через к' обозначается эндоморфнэм, сопряженный к к относительно Ф. Поскольку группа 1) (Ф) компактна ($1, и' 1), и (Ф) — компактная вещественная алгебра Лн. Аналогично специальная унитарная группа 30 (Ф)= =1) (Ф)ПЬЬ(У) — это компактная подгруппа Ли в ЬЕ(У) с алгеброй Ли эи (Ф) =и (Ф) Пэ! (У). Если У С" и Ф вЂ” стандартная эрмитова форма (для которой канонический базис в С" ортонормирован), то вместо 1)(Ф), 31)(Ф), и(Ф), эи(Ф) пишут 0(п, С), $0(п, С), и(п, С), эи(п, С).

Элементами из 1! (и, С) (соотв. и(п, С)) являются такие матрицы АшМ (С), что А.'А = т'„(соотв. А = — 'А). Их называют унитарными (соотв. аитизрмитовыми). Пггдложенне4, а) Компактными вещественными формами комплексной алгебрГН Ли э((У) являются алгебры ви (Ф), где Ф пробегает множество невырожденных пояожительнык эрмитовых форм па комплексном векторном пространстве У. б) Алгебры и (Ф) являются компактнььии вещественными формами алгебры Ли 61(У). Пусть Ф вЂ” невырожденная положительная эрмитова форма на У.

Для всех к~81(У) положим а (х) = — к' (где к* — эндоморфизм, сопряженный к х относительно Ф). Тогда а удовяетворяет условиям (2) предложения 1 из п'! н, следовательно, множество и (Ф) (соотв. Аи (Ф)) неподвижных точек отображения а в 81(У) (соотв. э! (У)) является компактной вещественной формой алгебры Ли 61(У) (соотв. э1(У)). Поскольку группа бЕ (У) действует транзитивно на множестве невырождениых положительных эрмитовых форм на У (А!д., сиар. !Х) н на множестве компактных вещественных форм алгебры Ли э! (У) (и'3, теорема 1, и гч.

Ч!П, $13, п' 1 (Ч11)), то предложение 4 доказано. ') Си, также Алг., !966, гл. 1Х, 4 6, п' 2.— Прим. перев. 29 $3. КОМПАКТНЫЕ ФОРМЫ АЛГЕБР ЛИ Следствие Любая простая компактная вги(гсгггнная алгебра Ли типа А, (и)1) изоморфна алгебре Ли зи(л+1, С). Действительно, любая комплексная алгебра Ли типа А, изоморфна э1 (и+1, С) (гл. Ч111, $13, п' 1). Замечания. 1) Имеем 91(У)=э((У)ХС.!Р, и(Ф)=эи(Ф)Х КАП И компактными вещественными формами алгебры Ли 91(У) являются алгебры зи(Ф)Х К а!и агн С*. 2) Если комплексную алгебру Ли а=э1(л, С) наделить расщеплением и системой Шевалле, введенной в гл.

ЧП1, $13, и' 1 (1Х), то в обозначениях и'2 а„=эи(л, С), аа=з1(п, С), а„Пао=о(л, К). б. Пример Пт компактные алгебры Ли тапа В„н В, Пусть У вЂ” конечиомерное вещественное векторное пространство и Π— невырожденная положительная квадратичная форма на Ортогональной грулпои, ассоциированной с 1) (А(у., сйар. 1Х), называется подгруппа 0 (О) в ОС (У), состоящая нз автоморфизмов вещественного гильбертова пространства (У, 1)). Это подгруппа Ли в ОС (У), алгебра Ли которой является подалгеброй о (О) алгебры Ли 91 (У), состоящей из эндоморфизмов х пространства У, таких, что х*= — х (гл. Ш, 9 3, п' 1О, следствие 2 предложения 37), где х* обозначает эндоморфизм, сопряженный к х относительно О.