Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 8

Для этого частного случая доказательство очевидно. Пусть 1: 5- 5' — морфиям торов. Тогда линейные отображения Х О): Х(5')- Х(5) н Г Щ: Г (5) — Г(5') сопряжены друг к другу: для любого а'еиХ (5') и любого Хя Г (5) (Х Щ(а'), Х) = (а', Г(Д(Х)). Пяедложенне 4. Пусть 5 и 5' — два тора.

Обозначим через М(5, 5') группу морфизмов из 5 в 5' (как групп Ли). Отображения Х Щ и 1 н Г Щ являются групповыми изоморфизмами из М (5, 5') на Нагие(Х(5), Х(5)) и Нагих(Г(5), Г(5)) соответственно. Если 1 — морфизм групп Ли из 5 в 5', то гомоморфизм ХО) является не чем иным, как гомоморфизмом, двойственным к 1 в смысле Спектр. теор., гл. П, $1, и' 7. Отображение»р Р 4 из Ногпе (Х (5'), Х (5)) в М(5,5'), определенное гам же, является обратным к отображению ХЩ из М(5,5') в Ногпе(Х(5'),Х(5)). Таким образом, последнее отображение биектявно.

Если отождествить Г (5) (соотв. Г (5')) с сопряженным Е-модулем к Х(5) (соотв. к Х(5')) (предложеиие 3), то Г(о совпадает с гомоморфизмом, сопряженным к Х О), откуда следует доказываемое предложение. Замечания. 1) Пусть 1: 5 — 5' — морфизм торов.

Змеевидная диаграмма (А1у., с)»ар. Х, $1, п' 2), ассоциированная с (1), дает точную последовательность О-» Кег Г Щ» Кег Ь Щ-» Кег Г-» Сойег ГЩ-». СойегБЩ- Сокег(- О. (4) В частности, предположим, что морфизм1 сюръективен и имеет конечное ядро »т'. Тогда нз точности последовательности О-»»т'-» 5- 5'- О, где»' — каноническое вложение, получаем, что гомоморфнзм Б Щ биективен. Из точности последовательности (4) следует изоморфизм»»»'— -». Сокег Г Щ, откуда получаем точную последовательность О Г (5)-М. Г(5') )У О. (Б) Ю »с системз котнан Зб Кроме того, согласно теореме 4 нз Спектр. теор., гл. П, 4 1, п' 7, последовательностьть О Х(5) ЮХ(5)хьоХ(й()- О (6) точна. 2) Согласно предложению 4, отображенне 1» Г(7)(2п() нз М(0,5) в Г (5) является нзоморфнзмом. Если аеп Х (5)= М(5, (1) н (емМ (б, 5), то композиция а ° г»в м ((), 1)) есть эндоморфнзм и» и', где (а.

Г())(2ги)). В дальнейшем будем отождествлять М(б, ()) Х(0) с Х, так что элемент г нз 2 будет соответствовать эндоморфнзму и ~ и'. Во введенных обозначениях а ° (=(а, 1" (7)(2ш)). се»5 3) С точной последовательностью Π— Г (5) — Е (5) — 5 - О ас. соцннрован нзоморфнзм группы Г (5) на фундаментальную группу тора 5, называемый в дальнейшем каноническим. Для любого морфнзма торов ): 5- 5' гомоморфязм Г(0 отождествляется при помощи канонических нзоморфнзмов Г (5) — и» (5) н Г (5') — я~(5') с. гомоморфнз мои п»(1): п»(5)- и»(5'), полученным нз 1. Это, в частности, дает другую интерпретацию точной последовательностн (6) (см. Тор. ееп., с)»ар.

Х1). 4) Гомоморфнзмы Х-модулей б: Х (5) -1- Ноше(Е (5) „С) н»л Г (5)— Е (5)1с1 (» получен нз каноннческого вложения Г(5) в Е (5)) продолжаются до нзоморфизмов векторных С-пространств и:С®Х (5) -~- Ноше(Е (5)1ст С), о: С Е Г (5) - Е (5)(ст В дальнейшем этн нзоморфнзмы будем называть каноническими. Отметим, что еслн продолжить по С-линейности спаривание между пространствамн Х (5) н Г(5) до бнлннейной формы «, Ъ на (С®Х(5))Х Х(С ® Г (5)), то (и (а), е (Ь)) =2ш «а, Ь д».

3. Веса линейиого представления В этом пункте буква Ь обозначает поле 11 нлн С. Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство над Ь н р: б- бЕ (У) — непрерывное (а следовательно, вещественно-аналнтнческое, гл. 1Н, 4 8, п' 1, теорема 1) представление связной компактной группы Лн б в У.

Определим комплексное векторное пространство У н непрерывное отображенне р: б - 01.(У) следующим образом: если Ь=С, положнм (7= У, р=р; если 4= 11, положим У= Уб то~да р будет компознцней р н канонического гомоморфнзма бЕ(Ч) -~ бЕ(У). гл. ~х. хомпхктных взшхствгнныз гттппы ли Для любого ьепХ (О) через Ух (С~ обозначим векторное надпространство в т', состояшее из векторов ош т', таких, что р (у) о=у' о для любого утп 0 (см. гл. Ч11, $1, и' 1). Тогда (там же, предложение 3) сумма пространств т'х(0) (где ь пробегает множество Х(0)) прямая.

Кроме того, верна Лзммх 1. Если С коммутативна, то У вЂ” прямая сумма пространств У,(0) д й Х(0). Поскольку представление р полупросто ($ 1, п' 1), достаточно доказать лемму в случае простоты р. В этом случае коммутант 2 множества р (С) в Епд (т) состоит нз скаляров (А18., свар. ЧН1, $3, п' 2, й. 1). Гомо. морфием р, следовательно, факторизуется по подгруппе Сь.!т группы 01. (т), и существует элемент ) шХ (О), такой, что т' 'тг(0). Оптедзлгние 1. Весами представления р груням С относительно максимальноео тора Т в С называются элементы к из Х(Т), такие, что Ух (Т)Ф0. Через Р(р, Т) илн Р(р), если это ие вызывает недоразумений по поводу выбора тора Т, обозначается множество весов представления р относительно Т.

Согласно лемме 1, ® У„(Т). хи го, т1 Пусть Т' — другой максимальный тор в 0 н у — элемент из О, такой, что (1п( у) Т Т' ($2, п'2, теорема 2), Для всех кшХ(Т) р(8)()А.(Т)) 'т',(Т'), где Х' Х(1п1 у ')(Ц. (8) Следовательно, Х (1 п( у) (Р (р, Т"1) = Р (р, Т). (9) Группа Вейля Ф'=%'о(Т) действует слева иа 2-модуле Х(Т) по правилу юь Х(ю '). Для 1епТ, кеиХ(Т), вен йт, имеем 1 '=(ю '(1))'. Птедложхниз 5.

Множество Р(р, Т) устойчиво относительно действия группы Вейля йу. Пусть нгяМв(Т), и пусть гв — класс элемента и в йт. Для ьгпХ (Т) имеют место равенства р (н) (Рх (Т)) = Р х (Т) и Йгл Ун»(Т) Йгв 'т;(Т). Из формулы (9) для Т'=Т, у=н следует, что множество Р(р, Т) устойчиво относительно и. Более того, р(н) индуцирует изоморфизм Ух(Т) на т' х(Т) (формула (8)), откуда вытекает доказываемое предложение. Птадложениз 6. Для того чтобы гомоморфиэм р: 0-» 01.

(т) был инъективен, необходимо и достаточно, чтобы множество Р (р, Т) порождало 2-модуль Х(Т). Ф С СИСТЕМА КОРНЕЙ 37 Для того чтобы гомоморфизм р был инъектквеи, необходимо и достаточно, чтобы его ограничение на Т было инъективиым (й 2, и' 6, предложение 9). Кроме того, поскольку канонический гомоморфизм О(.(У)- ОС(У) ннъективен, можно заменить р на р.

Тогда из формулы (7) следует, что ядро представления р, ограниченного на Т, есть пересечение ядер элементов из Р (р, Т). Таким образом, утверждение вытекает нз предложения 2 (и' 1). Линейное представление 1. (р) алгебры Ли 1 в п1(У) продолжается до гомоморфизма С-алгебр Ли ь(Р)' "с-' 91()т). Напомним, что с любым элементом Л из Х (Т) ассоциирована (п' 1) линейная форма 6(Х) на 1г, такая, что (ехр,х)х=е 'А""', хгпг.

(103 Наконец, напомним (гл. ЧП, $1, п' 1), что для любого отображения р: 1С- С через У„(тг) обозначается векторное надпространство в У. образованное такими векторамн о, что (Е(р)(и))(о)=р(и).и для всех с Тогда из формулы (7) и из предложения 3, гл. Ч!1, $1, и' 1, получаем ПРидложкнии 7.

а) Для любого ХыХ(Т) имеет место равенство УА (Т)= Уьси(тс) б) Отображение 6: Х (Т) — Ното(1с, С) индуцирует биекцию Р(р, Т) на множество весов пространства У относительно гс. Отметим к томУ же, что если опРеделить действие йг на го сопоставляя каждому элементу гв из (Р эндоморфнзм Е (тв)с алгебры 1о то отображение 6 будет согласованно с действием Ят на Х (Т) и иа Ногпс(то С).

Предположим теперь, что й К. Обозначим через о сопряжение в У относительно У, определяемое по правилу о(х+гу)=х — гу для х, у из У. Для любого комплексного векторного надпространства Е в У ианменьщим К-пространством в У, содержащим Е, будет надпространство Е+ +о (Е). В частности, для любого )гщХ (Т) существует вещественное векторное надпространство У(Х) в У, такое, что подпространство У(Х)1С1 в У совпадает с УА(Т)+ Р г (Т) (отметим, что о (УА(Т))= Р А(Т)). Имеем У(Х) = У ( — Х), и надпространства У()г) суть изотипные компоненты представления группы Т в пространстве У, полученного нз р.

4. Корин Корнями группы Ли О относительно тора Т называются ненулевые веса присоединенного представления этой группы Ли. Множество корней группы Ли 0 относительно Т обозначается через 1с (О, Т) или просто через )7, если это не вызывает недоразумений. Согласно предложению 6, отобра- жение 88 ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ В:Х(Т) (ЧЕРЕЗ гь ОбОЗНаЧаЕтея ПрсетраНСтВО, СОПряжЕННОЕ К КОМПЛЕКЕНОМу ВЕК. с торному пространству Ес) осуществляет биекцию множества Й (О, Т) на множество корней к (йо гс) расщепленной редуктивной алгебры ли (йо 1 ) (гл. Ч111, $2, п' 2, замечание 4). Если для любого ащК положить В"=(ас) (Т)=(ас)ьм1("с) то каждое надпространство й" одномерно над С (там же, теорема 1).

Имеем йс=ГОФ Е й- аое (12) Для каждого агнК Обозначим через У (а) двумерное надпространство в й, такое, что У(а)1с>=й'+й . Тогда ненулевыми изотипиыми компонентамн в й относительно присоединенного представления группы Т будут 1 и поднростра истаа У (а). Пусть К вЂ” квадратичная форма, ассоциированная с формой Киплинга алгебры Лн й. Тогда она отрицательна ($1, п' 3, предложение 1) и ее ограничение К (а) на У (а) невырожденио и отрицательно. Для любого элемента Г из Т эндоморфнзм Ад Г сохраняет форму К(а), откуда получаем морфизм групп Лн ь„: Т вЂ” ь $0(К(а)). Стало быть, существует единственный изоморфизм р„. 11 -ч 80(К(а)), такой, что ь =р ьа. Действительно, пусть Х вЂ” ненулевой элемент пространства й", н пусть У вЂ” образ Х при сопряжении в йс относительно й.

Тогда увей, и, полагая Ц=Х+у, У 1(Х вЂ” у), получаем базис (Ц, У) в У (а). В базисе ((г, У) матрица зндоморфизма пространства У (а), задаваемого Ай К ГгнТ, есть с йе (Г") — 1т (Г") х~ 1щ (г ) йе (г") / откуда следует утверждение. Согласно следствию 2 теоремы 2 из $2, п'2, подгруппа С(0) содержится в Т. Поскольку группа С (О) является ядром присоединенного ПРедложение8.

тгусть Я (и) — подгруппа в х (т), порожденная корнями группы Ли О. а) Центр С (О) грувлы Ли 0 есть замкнутая подгруппа в Т, совпадаюГцая с пересечением ядер корней. Каноническое отображение Х (Т/С(0)) -ь Х(Т) инъективно, и его образ есть О (К), б) Компактная группа С(0) изоморфна группе, двойственной к дискретной группе Х (Т)=' Я (К) (Спектр. Теор., гл. П, $1; и' 1, определение 2). в) Для того чтобы центр С(0) состоял из единичного элемента, необходимо и достаточно, чтобы подгруппа Я (К) совпадала с Х (Т). г Ф К СИСТЕМА КОРНЕЙ 39 представления, то она будет пересечением ядер корней и, стало быть, ортогональным дополнением группы !)(Я) в Х(Т). Тогда предложение следует из Спектр. теор., гл. П, 4 1, и'7, теорема 4, н п' б, теорема 2.

Пгедложеиие 9. Любой автоморфизм группы Ли 6, индуцирующий единичный автоморфизм на Т, имеет вид 1п! 1, гдг сгпТ. Предположим сначала, что С (6) сводится к единичному элементу; это значит Х(Т)= Я ()т) (предложение 8). Пусть! — автоморфизм группы Ли 6, индуцнруюший единичный автоморфнзм на т, и о=). (!)с. тогда ив автоморфизм алгебры Ли Вс. Индуцирующий единичный автоморфизм на !с. Согласно предложению 2 аэ гл. Ч!П, $ б, и' 2, существует единственный гомоморфизм 8: 1;! ()с) — С', такой, что ф индуцирует на каждом 8' гомотетню с коэффициентом 8(а). Поскольку ~р сохраняет вещественную форму В алгебры Ли Вс, то он коммутнрует с сопряжением о в Вс относительно В.