Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Согласно гл. Ч1, й 1, п' 1, для любого а~Я элемент а~ из М* единственным образом определяется элементом а; обозначим через з, эндоморфнэм х~-~ х — а" (х) а модуля М. Кроме того (см. там же), векторное 0-пространство 0чвМ является прямой суммой 0®Мь н векторного подпространства У(Н), порожденного Н, н Я есть система корней в У()г) (см. там же, определение 1). Элементы из И называются корнями корневой диаграммы Р, а эле. менты а из М* называются дуалыинми корнями.

Группа, порожденная автоморфизмами з, модуля М, называется группой Вейля диаграммы Р н обозначается через Ж'(Р). Ее элементы индуцвруют тождественное преобразование на Мь, а на У (И) — преобразования группы Вейля системы корней Я. гл. ~х. комплкгныв вкшвстввнные ггзппы ли Примеры. 1) Для любого свободного Е-модуля М конечного типа тройка (М, М, Я) является корневой диаграммой. 2) Если Р=(М, М», И) — корневая диаграмма, то пусть Мй — ортогональное дополнение к У (П) в М», и пусть Р" — множество дуальных корней для О.

Тогда 0=(М», ейй )Т) — корневая диаграмма, называемая дуальной к О. Для любого аеи)1 симметрия з"„множества М» является автоморфнзмом, контрагреднентным к симметрии з, множества М. Отображение ы»-»'ю ' есть нзоморфнзм (У(0) на йт(0'). Кроме того, УЯ") естественным образом отождествляются с пространством, сопряженным к векторному 14-пространству У ()1); тем самым П" отождествляется с системой корней, дуальной к Я. Если отождествить пространство, сопряженное к М*, с М, то диаграммой, дуальной к 0", будет Р. 3) Пусть (й, й) — редуктнвная расщепленная 41-алгебра Ли в М ~ й— дозволенная решетка (гл. ЧП1, $12, и'6, определение 1).

Пусть ̻— подгруппа в М, ортогональная корням расщепленной алгебры Ли (й, о), и пусть Я" — множество Н„агир(й, й). Тогда (М. М», Р") — корневая диаграмма, а (М*, Мй П(й, й)) — дуальная к ней диаграмма. 4) Пусть У вЂ” векторное пространство над 14 и П вЂ” система корней в У. Обозначим через Р (П) группу весов системы П, а через б (11) — группу радикальных весов этой системы (гл. Ч1, 4 1, п'9). Тогда (б(П), О, П) и (Р(Я), О, Я) — корневые диаграммы. Для того чтобы диаграмма (М, М»,5) была иэоморфна диаграмме вида (б(Я), О, Я) (соотв. вида (Р(!1), О, П)), необходимо и достаточно, чтобы модуль М был порожден системой 5 (соотв.

чтобы модуль М» был порожден системой 5"), Для любой подгруппы Х в Р (П), содержащей б (П), (Х, О, )2) является корневой диаграммой, и тем самым мы получаем с точностью до изоморфизма все диаграммы (М, М», 5), такие, что М»=О, т. е. такие, что 5 порождает подгруппу конечного индекса в М. Говорят, что корневая диаграмма (М, М», П) приведенная, если система корней Я обладает этим свойством (т. е. (гл. Ч1,4 1, и' 4) если соотношения а, () шр, )ш Е, 6=Ха влекут за собой Х»»1 или Х= — 1). Диаграммы из примеров !) н 3) приведенные.

У. Компактные группы Ди и корневые дмагралглгы В терминологии предыдущего пункта можно резюмировать важную часть результатов нз пп' 4 н 6 в следующей теореме: Твогвмх 2. а) (Х (Т), Х (Т/(Т() Р (б))), И (б, Т)) — приведенная корневая диаграмма; ее группа Вейля состоит из Х (ш), где шгп йт. Группа Х (С(б)) изоморфна факторгруппе группы Х (Т) по подгруппе, порожденной системой П(б, Т). б) (Г (Т), Г (С (б)»), П" (б, Т)) — приведенная корневая диаграмма, ее группа Вейля состоит из Г(ю), где жги )У. Группа я~ (б) изоморфна факторгруппе группы Г (Т) по подгруппе, лорозсденной системой !с (б, Т).

4 ». системА кОРней в) Если огоясдествигь каждый из 2-модулей Х (Т) и Г (Т) с сопряженным к другому Тп' 2, предложение 3), го каждая из предыдуи<ик корнееыл диаграмм отождествляется с дуальной диаграммой к другой, Обозначим через О» (б, Т) диаграмму (Х (Т), Х (Т/(ТП 0 (6))), <Т(Г, Т)) и через 0 (О, Т) диаграмму (Г(Т), Г(С(б)ь), 1«(б, Т)); говорят, что зто соответственно коиграеариангная диаграмма н коеариангиая диаграмма группы Ли 6 (относнтельно Т). Примеры. 1) Если группа Ли б полупроста и имеет ранг 1, то 0'(О, Т) и О, (б, Т) обязательно изоморфны одной из двух диаграмм Лз=(2, О, (2, — 2)), Л| =(2, О, [1, — Ц).

Если группа Ли б изоморфна Ь«) (2, С), то диаграмма 0„(0, Т) изоморфна Л< (поскольку б односвязна); следовательно, 0»(6, Т) нзоморфна Ль Если группа б изоморфна БО(3, 1«), то диаграмма О, (Г, Т) изоморфиа Л< (поскольку С(0)=(Ц)„ а значит, 0»(0, Т) нзоморфна Ль 2) Если 6 н О' — две связные компактные группы Лн с макснмальнымн тарами Т и Т' соответственно н если О» (б, Т)=(М, Мь, 1«) н 0»(6', Т') (М', Мь, 1«'), то 0»(ОХ 6', ТХ Т') отождествляется с (Мф ЕМ', Мь<НМ», ))01!'). Аналогичное утверждение имеет место для ковариантных диаграмм. 3) Пусть Ф вЂ” замкнутая подгруппа в Т, центральная в 6, и пусть (М, Мь, <Т) — контравариантная диаграмма группы О относительно Т.

Тогда контравариантная диаграмма группы Ли О/<<< относительно Т/(У отождествляетси с (М', Мь, г!), где М' — подгруппа в М, состоящая из таКИХ Л, Чта А(<«)=(Ц Н М»=М ПМ» 4) Аналогично пусть У вЂ” конечная коммутативная группа, и <р: л<(б)- й< — сюръективный гомоморфизм. Пусть О' — накрывающая группы Лн О, ассоциированная с зтнм гомоморфизмом. Это связная компактная группа Ли, причем й< — ее центральная подгруппа (Тор.

уея., СЬар. Х!), а 6 естественным образом отождествляется с 0'/)У. Пусть Т'— максимальный тор в 6', являющийся прообразом Т. Если (Р„рь 5)— ковариантная диаграмма группы Ли 6 относительно Т, то ковариантная диаграмма группы Лн б' относительно Т' отождествляется с (Р', Рь, 5), где Р' — ядро гомоморфнзма ф ! (б, Т): Р-» У (см. п'б, предложение !! ), а Рь Р»ПР', Замечания. 1) Пусть с — центр алгебры Ли йс.

Тогда с =Ь (С (6))<сг Имеют место следующие соотношения между диаграммами группы Лн 6 относительно Т и системами дуальных и прямых корней редуктивиой расщепленной алгебры Ли (яс, «г): а) Канонический нзоморфнзм С ® Г (Т) иа «с индуцирует биекцию С ® ®Г(С(б)ь) на с н биекцию 1®1! (О, Т) на 2н<.1< (йо «с). б) Канонический нзомоРфизм С ЕРХ (Т) на пРостРанство «о сопРЯженное к «о индуцирует биекцню С<3Х(Т/(ТП0(б))) на ортогональное дополнение к «СПй«(в)с н биекцню 19)) (6, Т) на )Т(йо «г). ГЛ.

СХ. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН 2) Предположим, что 6 — полупростая группа Лн. Обозначим через )с (соотв. )с) систему корней )с(6, Т) (соотв. йе(6, Т)), так что нмеют место следующне включення: Ц(Р) ~ Х(Т) с РЯ Ц()Т) с: Г(7) с: Р()1") Конечные коммутатявные группы Р (И)/9 (Я) н Р ()т)/с) ()с).

находятся в двойственности (гл. Ч1, 4 1, п' 9). Если через М обозначить группу, двойственную к конечной коммутатнвной группе М, то нз сказанного ранее получаем канонические изоморфизмы Г(Т)/Е()Г)-п, (6), Р()Т)/Г(Т)- С(6), Р ()с)/Х (7) -~- (пс (6))", Х (Т)/сг Я) -Р (С (6))". В частностн, произведение порядков групп пс (6) и С (6) равно индексу связности системы )с (6,1) (гам же). Пусть теперь 6' — другая связная компактная группа Лн и Т'— макснмальный тор в 6'. Пусть 1: 6 -~- 6' — нзоморфнзм групп Лн, такой, что 1(У)= Т'; обозначнм через гг нзоморфнзм между Т н Т', определяемый нзоморфнзмом г. Тогда Х(гг) есть нзоморфнзм 0*(6', Т') на Рь(6, Т), обозначаемый через 0*()), а Г(ГГ) — нзоморфнзм Р (6, Т) на 0 (б', Т'), обозначаемый через 0 ()).

Если Г~Т н еслн положить д=) 1п1 Г= =(1™ГЯ) 7, то Р (в)=0 О), 0„(а)=0~(1). ПРедложенне 15. Пусть ср — изоморфизм Р* (6', Т') на Ре (6, Т) (соотв, Р (6, Т) на Р (6', Т')). Сущестеуег изоморфизм 1: 6- б', такой, что 1(Т)=Г и ср=0*(/) (соотв. ц=Р„(()). Если (, и (т — деа таках изоморфизма, то существует элемент Г из Т, такой, что (э=1, е 1п( Е Второе утверждение сразу следует нз предложеяня 9 (п' 4); докажем первое утверждение, например, для коварнантних диаграмм.

Обозначнм через 0' (соотв. У) алгебру Лн группы Лн 6' (соотв. Т'), а через 9'с (соотв. Ус) ее комплекснфнкацню. Согласно теореме 2 (1) нз гл. ЧП1, 4 4, п' 4, СУщеСтвУет нзомоРфнзм ф: ус -~- 0'о котоРый отобРажает Тсв Ус н нндУцнРУет на Г(Т)с=ге заДанный нзомоРфизм ф. 'Г(Т)-Р Г(Т). Тогда 0 н ф ' (0') — две компактные вещественные фоРмы алгебРы Лн йо котоРые имеют одно н то же пересечение 1 с гс.

Согласно предложенню 3 нз 4 3, и' 2, существует внутренннй автоморфнзм 0 алгебры Лн Ео нндуцнрующнй тождественное преобразование яа Сс н такой, что 0(9)=ф '(9'). Заменяя ф на ф е 0, можно предполагать, что ф отображает 0 в й'. Кроме того, согласно предложению 4 нз п' 2, существует едннственный морфнзм )г: Т-э.

Т', такой, что Г()г)=ср. Тогда ограниченна ср на 1 есть Е((т), н ввиду предложения 8 нз $2, и' 6, существует едннственний морфнзм 1: б -~- 6', нндуцнрующий (г на Т н ф на йс. Применяя сказанное выше к ср ' н ф ', можно построить морфнзм, обратный к морфизму 1, который, следовательно, является нзоморфнзмом. Далее, 0„(1)=Г (Гт)=ф, откуда следует доказываемое предложенне. $ е снстемх кОРнеЙ Отметим, что если Т и Т' — два максимальных тора в 6, то диаграммы 0* (6, Т) и Р' (6, Т') изоморфны (если элемент я~ 6 обладает свойством у Тй '=Т', то!п1п является нзоморфнзмом 6 на 6, отображающим Т на Т') Обозначим через Р'(6) класс диаграмм, изоморфиых диаграмме 04 ( 6, Т). (см. Тй. епз., сЛар П, р. 47); это корневая диаграмма, которая зависит только от группы Ли 6 и которую называют ее контравариантной диаграммой. Аналогично определяется коварнантная диаграмма 0,(6) группы 6, откуда получаем Следствие.

Лля того чтобы связные компактные группы Ли 6 и 6' были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы диаграммы Р4 (6) и 0*(6') (соотв. Р, (6) и О, (6')) были равны. Пгедложение 1б. Для любой приведенной корневой диаграммы Р существует связная компактная группа Ли 6, такая, что Р'(6) (соотвг 0 (6)) изоморфна О. а) Эаменяя, если нужно, Р на дуальную диаграмму, мы приходим к построению такой группы 6, что Р* (6) нзоморфна О. Положим Р= =(М, Ме, 14); тогда Я®М является прямой суммой 41 ®Ме и векторного надпространства У()7), порожденного системой )7. Кроме того, поскольку дуальные корни принимают целые значения на М, проекция М в У(1с) параллельно 41 8 Ме содержится в группе весов Р (1г) системы )7, так что М вЂ” подгруппа конечного индекса в М4ЕР Я). Обозначим через Р' диаграмму (Мо чг Р ()7), Мо )7) б) Пусть в — полупростая комплексная алгебра Лн с канонической системой корней, изоморфной Я с: С® У()7) (гл.