Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Ч111, 4 4, н'3), и пусть ул — компактная вещественная форма алгебры Лн в ($3, и' 2, теорема !). Пусть 6~ — односвязная вещественная группа Ли с алгеброй Ли, изоморфной йц тогда 6, компактна ($ 1, и'4, теорема 1). Пусть Т,— максимальный тор в 6Н Согласно теореме 1, диаграмма 04(6Н Т,) изоморфна (Р()7), О, 1!). в) Пусть Те — тор размерности, равной рангу Ме. Тогда диаграмма Р' (То, То) нзоморфна (Ме Ме, И), а диаграмма 0* (6~ Х Тм Т, Х Те) изоморфна Р' (пример 2). г) Пусть, наконец, Ф вЂ” конечная подгруппа в Т~ Х Ты ортогональная к М.

Полоагнм 6 =(6|Х Те)/Ы, Т=(Т~ Х Тг)/А/. Тогда 6 — связная компактная группа Лн, Т вЂ” максимальный тор в 6 н Р (6, Т) изоморфна Р (пример 3). Схолия. 7(лассификация связных компактных групц Ли с точностью до изоморфизма сводится к классификации приведенных корневых диаграмм. Полупростые связные компактные группы Ли соответствуют тем приведенным корневым диаграммам (М, Ме, Я), для которых Мг= О.

Задание такой диаграммы эквивалентно заданию приведенной системы корней Я в векторном пространстве У над 4) и такой подгруппы М в У, что 6 (И)4: ~ М с Р (17). ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЛГЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН Замечание 3. Пусть Т' — другой максимальный тор в 0 и В (соотв. В') — базис системы корней Я (6, Т) (соотв. Я (О', Т')) (гл. Ч1,4 1, п' 5, определение 2). Существуют такие элементы уев 6, что !п!'!( переводит Т в Т' и В в В', и все эти элемеиты лежат в одном классе по модулю 1п1 (Т) (поскольку Т и Т' сопряжеиы, можно предполагать, что Т Т', и достаточно примеиить замечание 4, л' 5, и предложение 9, п' 4, из гл.

Ч!, $1). Отсюда следует, что изоморфизм Т иа Т', полученный из !п1 й, ие зависит от выбора й; в качестве следствия получаем аиалогичиое утверждение для Р, (1п1 у) и Р' (1п1 у). Таким образом, перефразируя щц1абз п1л1апд!з замечание 2 из гл. Ч!И, 4 5, п' 3, определим канонический максимальный тор в группе Ли О, каиоиические ковариаитиые и коитравариаитиые корневые диаграммы этой группы Ли, .... 10. еэвтоморййизжы связной комаактмой группы /Ти Обозиачим через АН1(0) группу Ли автоморфиэмов группы 6 (гл. 1И, $ !О, п" 2), а через Ал((6, Т) замкнутую подгруппу в Ал1(6), состоящую из таких элементов и, что и (Т)= Т.

Известно (4 1, и' 4, следствие 5 предложеиия 4), что связная компонента единицы группы АН1(6) есть подгруппа !п1(6) внутренних автоморфизмов. Обозначим через !п1е(Н) образ в !л!(0) подгруппы Н группы 6. Пусть Р— ковариаитиая диаграмма группы 6 отиосительио Т; обозиачим через АН1(Р) группу ее автоморфизмов, а через УР(Р) ее группу Вейля. Отображение и Р,(и) является гомоморфизмом Ац1(6, Т) в Ап1 (Р).

Из предложения 15 (л'9) иепосредствеиио получаем Птедложенне 17. Гомоморфиэм Ап1(6, Т) -~ Ал1(Р) сюръектиеен и его ядром является 1п1е(Т). Отметим, что Ал((6, Т)()1П1(6)=!П1е(НО(Т)) и что образ группы 1п1е (Не (Т)) в Ал( (Р) есть йу (Р) (и' 5, предложение 10) . Из предложения !7 получаем иэоморфиэм Ац((6, Т)/(Ац! (6, Т)П!П1(6))- Ац1 (Р)/йу(Р). Кроме того, Ац1(6)=1п1(6) Ал1(0, Т). Действительно, если и прииадлежит группе АН1(6), то и (Т) — максимальный тор в 6 и, следовательно, сопряжен с Т; таким образом, существует виутреииий автоморфизм э группы Ли 6, такой, что э (Т) = и (Т), т.

е. такой, что е ' иепАН1(0, Т). Отсюда вытекаег, что группа Ац1 (6)/1п1(0)отождествляется с группой АН1 (6, Т)/(Ал((0, Т)П!п1(6)), и, влачит, лрииимая во виимаиие сказанное ранее, мы приходим к точной последовательиоств ! -е 1п1 (6) -~ Ал( (6) -~ Аи1 (Р)/(Р (Р) -~ 1. (15) В качестве следствия получаем Птедложеине 18. Группа АН1(6)/!п1(0) иэоморфна группе Ап1 ( Р)/ йт (Р). гг ! 4 снстемх котнти Предположим, в частности, что группа Ли 6 полупроста. Тогда группа Аи1(С) отождествляется с подгруппой в А (В(6„Т)) (гл. Ч1. 9 1, и' 1), состоящей из таких элементов и, что и(Х(Т))с:Х(Т), а подгруппа йГ(6) отождествляется с йт(Я(6, Т)). Следствие.

Если группа 6 односвязна или если С(6) состоит из единичного элемента, то группа Ап1(6)/!п1(6) иэоморфна группе автоморфизмов графа /(мякина системы Я (6, Т). Это вытекает нз сказанного выше и из следствии предложения ! гл. Ч1, $4, и' 2. Теперь мы покажем, что расширение (16) допускает сечения. Для любого ае=)1(С, Т) обозначим через У(а) такое двумерное векторное подпространство в й, что у(а)1с! —— й"+й ". Обозначим через К квадратичную форму, ассоциированную с формой Киплинга алт гебры Ли й. Оптвдвлвнив 3.

Разметкой пары (6, Т) называется пара (В, (О„) в), где  — базис системы В (6, Т) (гл. т'1, Э 1, и' 5, определение 2) и где Ю для любого аги — такой элемент пространства т(а), что К (О,)= — 1. Разметкой группы Ли 6 называется задание максимального тора Т в 6 и разметки пары (6, Т). Лемма 3. Пусть Вь — базис системы В (6, Т). Группа 1п1о (Т) действует просто транэитивно на множестве разметок пары (6, Т), имеющих вид (Вь,(Щ ае,/ Для любого ачиВь обозначим через К(а) ограничение на У(а) квадратичной формы К.

Действие Т на У (а) определяет морфизм ы: Т -ь $0( К(а)). В и' 4 было показано, что $0(К(а)) отождествляется с 1) таким образом, что ы отождествляется с корнем а. Поскольку Вь— базис системы Я, то это базис и 2-модуля 6 (й), порожденного корнями, следовательно, Вь — базис подмодуля Х (Т/С (С)) в Х (Т). Отсюда вытекает, что морфизм, являющийся произведением морфизмов ы, индуцирует изоморфизм Т/С(С) на произведение групп $0 (К(а)), которое действует просто транзитивно на множестве разметок пары (6, Т), первая кампонента которых есть Во. Птедложвние 19. Группа 1п1(6) действует на множестве разметок группы Ли 6 просто транэитивно. Пусть е=(Т, В, (Щ) и е' =(Т', В', (Щ) — две разметки группы 6.

Существуют элементы й нз С, такие, что (1п1 и) (Т)= Т', эти элементы лежат в одном классе по модулю Уо (Т). Следовательно, можно предполагать, что Т=Т', и остается доказать, что существует единственный элемент из 1п1о(Уо (Т)), переводящий е в е'. Согласно замечанию 4 из гл. !/1, Э 1, и' 5, ГЛ.!Х КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН существует единственный элемент ю из (У (В), такой, что 1и(В)=В'.

Поскольку Ят (Я) отождествляется с й/е (Т)(Т, существует элемент и щ Фе (Т), такой, что ю =1п1 и, и и однозначно определяется по модулю группы Т. Таким образом, можно предполагать, что В=В', и остается доказать, что существует единственный элемент из 1п1е(Т), переводящий е в е', а это есть ие что иное, как лемма 3. Следствие. Пусть е — разметка пары (6, Т), и пусть Š— группа аетоморфизмое группы Ли 6, оставляющих на месте е. Тогда АН1 (6) является полупрямым произведением Е на 1п1(6), а Аи( (6, Т) — полупрлмым произведением Е на 1П1(6)()АН1(6, Т)=1п1е()те(Т)). Действительно, любой элемент из АН1(6) переводит е в некоторую разметку группы Ли 6. Согласно предложению 19, любой класс в АН1 (6) по подгруппе !п1(6) пересекается с Е и притом только по одной точке, откуда следует первое утверждение.

Второе утверждение доказывается аналогично. Замечание. Пусть 6 и 6' — две связные номпактные группы Ли, и пусть е=(Т, В,(О„)) и е' =(Т', В',(О'ы)) — разметки групп Лн 6 и 6' соответственно. Пусть Х вЂ” множество изоморфизмов 6 на 6', переводящих е в е'. Отображение 1Р-ь Рь ()) (соотв. Р, Щ) является биекцией Х иа множество изоморфнзмов Р*(6',Т') на Р'(6,Т) (соотв. Р, (6, Т) на Р„(6', Т')), переводящих В' в В (соотв.

В в В'). Это сразу следует из предложения 15 и леммы 3. $5. Классы сопряженности Обозначения $ 4 сохраняются. 1. Регулярные алименты .Согласно следствию 4 теоремы 2 из 4 2, и' 2, регулярные элементы у группы Ли 6 можно охарактеризовать одним из следующих свойств: а) Подалгебра в и, состоящая из неподвижных элементов относительно преобразования Ад д, является подалгеброй Картана. б) 2(у)ь — максимальный тор в 6.

Множество регулярных элементов группы Ли 6 открыто и плотно в 6. На протяжении этого параграфа через 6, (соотв. Т,) обозначается множество элементов группы Ли 6 (соотв. Т), регулярных в 6. Для того чтобы элемент у из 6 принадлежал Т„необходимо и достаточно, чтобы Х(у)ь совпадал с Т. Любой элемент из 6, сопряжен к некоторому элементу из Т, ($2, и' 2, теорема 2).

Для того чтобы элемент 1 из Т принадлежал Т„необходимо н достаточно, чтобы для любого корня агар (6, Т) выполнялось условие 1 Ф1, следовательно, Т- Т, является объединением подторов Кег а„где а пробегает й(6 Т). 1 Ь. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННОСТИ Пгедложенне 1. Положим к = бпп б.

Существует компактное вещественно-аналитическое многообразие У размерности н — 3 и аналитическое отображение йп У вЂ” б, образ которого есть 6-6,. Пусть игцН (6, Т); положим У =(б/2 (Кег а)) Х(Кег и), и пусть ~р„— морфизм нз У в б, такой, что для любого ля 6 и любого 1ЕИКег а имеем Ч~„(ц, 1)=ага ' (через д обозначается класс элемента и по модулю 2 (Кег а)). Тогда У,— компактное вещественно-аналитическое многообразие размерности дпп У,=д)щ 6 — д!т 2(Кег а)+дпп Кег и= =л — (бпп Т+2)+(йщ Т вЂ” 1)=л — 3 ($4, и' 5, теорема 1), ф,— морфизм вещественно-аналитических многообразий, а образ ~р состоит из элементов группы Лн 6, сопряженных к некоторому элементу из Кег а.

Тогда в качестве У достаточно взять сумму многообразий У, а в качестве ф — морфизм, индуцирующий ~„на каждом У . Замечание. Назовем вполне регулярными такие элементы и группы Ли 6, что 2(п) является максимальным тором в б. Если йеиТ, то д вполне регулярен тогда и только тогда, когда м(п)чьд для любого иееднничного элемента ю нз %'о(Т) ($4, и'?, предложение 14) . Таким образом, множество вполне регулярных элементов группы Ли 6 является открытым всюду плотным в ней подмножеством ($2, п'5, следствие 2 предложения 5).

2. Каггераг и альковы Обозначим через 1, мнои(ество элементов хе1, таких, что элемент ехр х регулярен, т. е. принадлежит Т,. Для того чтобы элемент х нз 1 принадлежал 1-1., необходимо и достаточно, чтобы существовал такой корень аяН (6, Т), что 6(а) (х)я2я1 Х. Для каждого корня иеиН(6, Т) и каждого целого числа н обозначим через Н, „множество таких хгц1, что 6(а)(х) 2шя. Множества Н „называются сингулярными гикерплоскосгями в 1, а 1- 1, есть объединенве сингулярных гиперплоскостей. Альковами алгебры Ли 1 называются связные компоненты множества 1„а камерами — связные компоненты дополнения в 1 к объединению сингулярных гиперплоскостей, проходящих через начало координат (т. е. гиперплоско- стейнН„,с=Кег 6 (а), аеиН(6, Т)). Имеем Г (?)~1- 1,.

Через Н (б, Т) обозначим подгруппу в Г(Т), порожденную узловыми векторами ($4, п' 5). Согласно предложению 11 нз $4, и'6, факторгруппа Г(Т))Н(6, Т) отождествляется с фундаментальной группой группы Ли 6. Наконец, через йт обозначим группу Вейля группы Лн 6 относительно тора Т, рассматриваемую как группу автоморфизмов группы Ли Т и алгебры Ли 1, а через (р; (соотв.