Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 13

6Г',) — группу автоморфизмов аффинного ГЛ.!Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ пространства 1, порожденную группой йт н сдвигами 1,! х «» х+у для у я щФ(6,.Т) (соотв. для уе=Г(Т)). Пусть ю(и%у, уев Г (Т), а(НЯ (6, Т) и и еиЕ. Тогда Ге (Н«, «) Н», л (т (Н«, «) Н» «+ (»). Отсюда получаем, что ю (С) есть камера для любой камеры С н любого элемента юеи(т и ге(А) — альковдлялюбогоальковаА и любого геен%У;.

Отметим, что если отождествить Х (Т)®)( с 1» прн помощи изоморфизма (2П() 'б, то альковы алгебры Ли 1 и группа йт, являются соответственно альковами и аффннной группой Вейля, ассоциированными с системой корней Д(6, Т) (гл. М, $2, и' 1). Птедложение 2. а) Группа %Г, (соотв.

%т',) является полупрямым произведением группы йу на группу М (6, Т) (соотв, Г (Т)). Подгруппа (тл группы %Г', нормальна. б) Группа йт (соотв. %У,) действует просто транзитивно на множестве камер (с(ютв. альковов). в) Пусть С вЂ” камера, а А — альков. Тогда С (соотв. А, соотв. А) является фундаментальной областью относительно действия группы %Г в1 (соотв. группы йт, в 1, соотв. группы %Г, в 1 — 1,) . Если х я 1„а элемент Ге еи ен йт, таков, что ге (х)=х, то м=)д. г) Для любой камеры С существует единственный альков А, токаи, что А (: С и ОенА. Для любого алькова А существует единственный элемент у(на(6, Т), ~акой, что уеиА.

Если юеийт и уенГ(Т), то м(«м '=1 (у и ю(ты '1, '=Г»(,) „для Ге (у) — у Ан М (6, Т); это тут же влечет за собой а), Остальные утверждения предложения следуют из гл. (Г(, $1, и'5, и $2, пп' 1 н 2. Следствие 1. Пусть А — альков алгебры Ли 1, а А — его замыкание, и пусть Нл — стабилизатор А в йт',. а) Группа %У', является нолупрямым произведением Нл на йт,. б) Экспоненциальное отображение А — Т и каноническое вложение Т-«6 индуцируют при переходе к факторгрупном и к подмножествам гомеоморфизмы А/и Т/ УГ 6/(и( (6), А/Нл Т,/УР 6,/(и( (6), Пусть ю'(нйт",, тогда ю'(А) — альков алгебры Лн 1, н существует (предложение 2б)) единственный элемент м из %7„такой, что гв(А) м'(А), т. е.

такой, что ге «ю'щНл. Поскольку подгруппа Ж, нормальна в йт,', получаем а). Каноническое вложение А в 1 индуцирует непрерывную биекцию О". А -«-1/%7, (предложение 2в)), которая является гомеоморфизмом ввиду компактности А. Так как подгруппа йт, нормальна в %7;, группа Нл дей- г $ ь. клдссы сопгяженности 57 ствует каноническим образом в 1/)ге(А 16., сйар. 1, р.

55) ~) н 1/91'; отождествляется с факторгруппой (1/йг,)/Нд. Отображение 9 перестановочно с действием группы Нд н, следовательно, индуцирует при переходе к фактоРгРУппам гомеомоРфнэм А/Нд-ь1/ИГ;. Таким обРазом, отобРажение ехрг индуцирует гомеоморфиэм 1/Г(Т) на Т и тем самым гомеоморфнзм 1/ 97; на Т/ Ю. Отсюда и нз следствия 1 предложения 5 $2, и' 4, получаем утверждение 6). Замечания.

1) Группа Н, естественным образом отождествляется с Г (Т)/Ф(6, Т) и, следовательно, с группой н~ (О). Таким образом, если группа 0 односвязна, Нд состоит лишь из единичного элемента. 2) Пусть хгцА; тогда ехр лги Т„и, следовательно, Х (ехр х)в= Т. Для того чтобы элемент ехр х был вполне регулярным (и" 1, замечание), необходимо и достаточно, чтобы ы (х) чих для любого нееди пичного элемента, ы ~ ИГ,'.

Согласно следствию 1, это з начит также, что й (х) ~х для любого неединнчного элемента Ь ~ Нд. В частности, если группа 6 односвязна, то ЯоЯ=Т для любого 1гнТ„и любой регулярный элемент из 6 вполне регулярен. 3) Специальными точками для 97, (гл. Ч1, $2, и' 2) являются такие элементы х нз 1, что 6 (а) (х) а 2а 2 для любого а ~ Р (О, Т) (там же, предложение 3), т. е.

такие, что ехр яС (6) ($4, и' 4, предложение 8). Для любого такого элемеата х и произвольного элемента м гн В' имеем щх — хьнФ(6, Т) (гл. Ч1, $1, и' 9, предложение 27), так что стабилизаторы элемента х в (г', н в Ф", совпадают. Пусть 5 — множество специальных точек для А; нз сказанного выше н из следствия 1 вытекает, что группа Нд действует в 5 свободно и что экспоненциальное отображение индуцнру. ет бнекцию 5/Нд на С (6).

Сладствив2. Пусть С вЂ” камера алгебры Ди 1 и С вЂ” ее замыкание. Канонические вдоэгения С вЂ” 1-~-9 индуцируют при переходе к фактор- пространствам гомеоморфизмы С- 1/Яг- 9/Аб(6). Канонические отображения С «-1 и 1 — 1/ЯГ являются собственными (Оби1. топ., 1969, гл. П1, $4, п' 1, предложение 2в) ).

Отображение С -ь -~-1/йг является непрерывным, собственным и бнективным (предложенне 2в)), а следовательно, гомеоморфизмом, откуда, принимая во внимание следствие предложения 6 из 9 2, п' 5, получаем следствие 2. Замечание 4. Обозначим через й„множество регулярных элементов алгебры Ли 9 (гл. ЧП, $2, п" 2, определение 2) и положим 1„=1Пйок о х~т де1(Х вЂ” адэх)=Хг' ' П (Х вЂ” 6(а)(х)); ьмл(е, 71 ~) См. также Адг., 1962, гл. 1, $7.— Прил. перев. ГЛ.

!Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ таким образом. Множество 1„состоит нз таких элементов х из 1, что б (а) (х)чь 0 для любого ачнЯ (6, Т), т. е. является обьединением камер в 1 (тем самым г,с=!ма). Из этого следУет, что С()г„е =С, откУда полУчаем гомеоморфизмы С- 1„ /Ят- Вы /Ай(6). Следствие 3. Предположим, что группа Ли 6 односвязна. Пусть й— регулярный элемент в группе 6.

Существуют максимальный тор 5 в 6 и альков А в Ь (5), единственным образом определяемые условиями йщехр(А) и ОяА. Можно предположить, что й принадлежит Т, ($2, п'2, теорема 2). Пусть х — элемент нз 1„такой, что ехр х=у, и пусть А' — аяьков алгебры Ли 1, содержащий х. Альковы А в 1, для которых йенехр (А),— это альковы А' — у для уен Г (Т); таким образом, наше утверждение следует из предложения 2г). 3. Автоморфизмы и регулярные элементы ЛеммА1. Пусть и — автоморфиэм группы Ли О и Н вЂ” множество его неподвижных точек. а) Н является замкнутой подгруппой в 6.

б) Если множество Нь центрально в 6, то группа Ли 6 коммутативна (и, значит, О=Т). Утверждение а) очевидно. Йля доказательства утверждения б) можно заменить О на П (О) (4 1, следствие 1 предложения 4), т. е, предположить, что 6 полупроста.

Тогда если множество Нь центрально в О, то Е (Н) (О), так что эндоморфизм Е (и) — !й алгебры Ли в биективен. Пусть ! — эидоморфизм многообразия 6, определенный формулой !(й) и(й) 'й для у~О, Он этален, поскольку, если йщО и хай, то Т(()(хй)=и(й) '(х— — Е (и) (х))й; и, значит, касательное отображение к ! в точке й биектнвно. Отсюда вытекает, что образ эндоморфизма !' компактен и открыт и, следовательно, ввиду связности 6, совпадает с 6. Пусть Š— разметка группы О (4 4, и' !О, определение 3) и и (Е) — ее образ относительно автоморфизма и.

Согласно предложению !9 из $4, п' !О, существует такой элемент Ь из О, что (1и! и) (Е)=и (Е). Пусть у~Π— такой элемент, что 6=1(д)= =и (й) 'й; имеем и 1п1 й=(1П1 и(й))*и=!П1 йь(1П(Ь) ' и, следовательно, разметка (1п1 й) (Е) устойчива относительно и. Если (1п1й) (Е) (Т~', В, (11,) е), то Х 6 енЕ (Н). Равенство Е(Н)=(0) влечет за собой В= И; следовательно, О=Т~ и группа О коммутативиа. Леммх 2. Пусть х — элемент из Т и 5 — подтор в Т. Если связная компонента единицы группы х (х)ДЕ(5) совпадает с Т, то существует такой элемент з из 5, что элемент хз регулярен. 1 Ь. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННОСТИ Для любого а из Н(6, Т) обозначим через 5„подмножество в 5, состоящее из таких элементов зщ5, что (хз) =1. Если в 5 не существует нн одного элемента з, такого, что хз регулярен. то 5 является объединением подмногообразнй 5, н, следовательно, совпадает с одним нз ннх.

Тогда существует такой элемент а из Н(6 Т), что (хз)"= =1 для любого зщ5; зто означает, что х"=1 и а~5=1, следовательно, 2(х)Д2 (5)~2(Кег и). Лемма доказана. Леммх 3. Предположим, что 6 односвязна. Пусть С вЂ” камера алгебры Ли 1, а и — такой автоморфизм группы Ли 6, что Т и С устойчивы относительно действие автоморфизма и. Тогда множество точек в Т, неподвижных относительно и, связно. Поскольку 6 односвязна, множество Г (Т) порождено узловыми векторамн К„(аенй(6, Т)) н, следовательно, допускает в качестве„ базиса семейство К, когда а пробегает базис В(С), определяемый камерой С (гл. У1, $1, п'10). Таким образом, осталось доказать, что если у — автоморфнзм тора Т, сохраняющий базис в Г(Т), то множество неподвижных относительно у точек связно.