Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 14

Разлагая этот базис в объединение орбит группы, порожденной автоморфизмом мы приходим к случаю, когда Т=Ю" н ф — автоморфизм (гн..., г„) ~ (гь..., г, г~). В этом случае неподвижными тачками автоморфизма р являются точки (г,..., г), гее0, образующие связную подгруппу в Т. ПРедложеиие 3. Пусть и — автоморфизм еруппы Ли 6, и пусть х — точка из 6, неподвижная относительно и. а) Существует такой элемент а иэ я, неподвижный относительно й (и) и Ай х, что элемент х ехр а регулярен. б) Существует регулярный элемент й из 6, неподвижный относительно и, который коммутирует с х. Пусть Н вЂ” группа неподвижных точек автоморфизма и, 5 — максимальный тор в 2(х)ПН н К вЂ” связная компонента единицы группы 2 (5)()2(х).

Тогда К вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6; с другой стороны, ввиду следствия б теоремы 2 из $2, п'2, существуют максимальные торы в 6, содержащие 5 и х; следовательно, К вЂ” подгруппа максимального ранга, содержащая 5 н х. Кроме того, К устойчива относительно и, поскольку этим свойством обладают 5 н х, Обозначим через т' множество неподвижных точек в К относительно и. Тогда 5~ УР~К()Н~ 2(5)П2 (х)ПН; следовательно, множество уь содержится в централнзаторе тора 5 в (2(х)ДН)ь.

Но группа (2 (х)Д Н)ь совпадает с 5 (там же, следствие б), откуда в конечном счете получаем ть=5. Из леммы! вытекает, что подгруппа К коммутатнвна и,таким образом, является максимальным тором ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ в 6 (поскольку она связна н имеет максимальный ранг). Она содержит 5 и х н совпадает со связной компонентой единицы группы 2 (5)() 2 (х); тогда утверждение а) следует из леммы 2. Полагая й=х'ехра. получаем утверждение б).

Следствие Пусть э — компактная алгебра Ли и ф — ее автоморфизм. В в существует регулярный элемент, неподвизсный относительно ф. Заменяя в на йгэ, можно предполагать, что в полупроста. Пусть 5— односвязная компактная группа Лн с алгеброй Ли э, н пусть и — такой автоморфнзм группы Ли 5, что Е(и)=ф, Из предложения 3 вытекает существование такого элемента а из в, неподвижного относительно ~р, что элемент ехр а регулярен в 5; в частности, а регулярен в э (п' 2, замечание 4). Теоэемх 1. Пусть и — овтоморфизм связной компактной группы Ли 6. а) Связная компонента единицы группы неподвилсных точек автоморфизма и содержит регулярный элемент группы Ли 6. б) Существует максимальный тор К в 6 и камера в С (К), устойчивые относительно и.

в) Если 6 односвязна, то мнозсество неподвигкных относительно и точек связно. Утверждение а) есть частный случай при х=в предложения 3. Предположим теперь, что 6 односвязна, и докажем утверждения б) и в). Пусть х — элемент из 6, неподвижный относительно и, и пусть и — регулярный элемент в 6, неподвижный относительно и и коммутирующий с х (предложение 3). Централизатор К элемента у является максимальным тором в 6 (п'2, замечание 2), устойчивым относительно и н содержащим х и д. Согласно следствию 3 предложения 2 из п' 2, существует единственный альков А в Е (К), такой, что уенехр (А) и ОАНА.

Поскольку элемент д неподвижен относительно и, альков А, а следовательно, и камера в Е (К), содержащая А, неподвижны относительно Е(и). Это доказывает б); кроме того, множество точек в К, неподвижных относительно и, связно (лемма 3) и содержит х и е, откуда следует в) (Общ. топ., 1968, гл. 1, $11, и' 1 предложение 2). Остается доказать утверждение б) в общем случае. Но если Р (6)— универсальная накрывающая группы Р(6) и(: Р(6)- 6 — канонический морфизм, то существует автоморфизм и группы Р(6), такой, что ) и=иь), Если К вЂ” максимальный тор в Р(6) н С вЂ” камера в Е(К), устойчивая относительно и (согласно уже доказанному, такая камера существует), то существуют ($2, и' 3, замечание 2) единственный мансимальный тор К в 6 и единственная камера С в Е (К), такие, что К=) '(К) и С =Ь (1) ' (С), откуда сразу получаем, что К и С устойчивы относительно и. Утверждение б) доказано в общем случае.

Следствие 1. Предположим, что я~ (6) есть Х-модуль без кручения. $ К КЛАССЫ СОПРЯЖЕННОСТИ а) Пвнтралиэатор любого элемента группы Ли 6 связгн. б) Два коммутирующих элемента группы Ли 6 принадлгясат одному максимальному тору. Согласно следствию 3 предложения 11 нз 4 4, п' б, группа Р (6) односвязна. Имеем 6 С(6)5.Р(6).

Пусть ла6; положим к=ио, где иеи тм С(6)5 н о таР (6). Тогда Е (х) *С (6)5. Ео!в1(в). Согласно теореме 1в), группа Хр<о1(о) связав; следовательно, и Х (к) связна, откуда следует а). Согласно следствию 3 теоремы 2 из 4 2, п' 2, Е (х) есть объединение максимальных торов в 6, содержащих х, откуда получаем утверждение б). Слпдствив2. Пусть à — компактная подгруппа в Ап( (6), обладающая следующим свойством: (ч) Существуют такие элементы иь ..., и„из Г, что для любого ! замыкание Г; подгруппы в Г, порозгдгнной элементами иь ..., и„будет кормиле. ной подгруппой, причем Г =Г. Тогда существует максимальный тор в 6, устойчивый относительно действия подгруппы Г.

Проведем доказательство нндукцией по размерности группы Лн 6. Без ограничения общности можно предполагать, что и~чь!й; тогда подгруппа Н, состоящая нз неподвижных относительно и~ точек, отлична от 6 н устойчива относительно действия группы Г. Кроме того, ввиду компактности группы Г образ Г в Ап( (Нг) является факторгруппой группы Г н, следовательно, также удовлетворяет условию (5). Согласно предположению индукции, существует максимальный тор 5 в Н, устойчивый относительно Г. Централизатор /( тора 3 в 6 связен (4 2, п' 2, следствие 3) и устойчив относительно Г; это максимальный тор в 6, поскольку Н, содержит регулярный элемент группы 6 (теорема 1а)), который сопряжен некоторому элементу из 3 (там зсг, следствие 4). Следствии 3. Пусть Н вЂ” группа Ли и à — компактная подгруппа в Н. Пргдполозсим, что группа Нг компактна, а подгруппа Г удовлетворяет условию (*) иэ следствия 2.

Тогда существует такой максимальный тор Т в Нг, что Г~Уэ(Т). Сладствик4. Любая нигьпотгнтная яодгруппа в компактной группе Ли содгрзсится в нормализаторг некоторого максимального тора. Пусть Н вЂ” компактная группа Ли, а У вЂ” ннльпотентная подгруппа в Н, Тогда замыкание Г подгруппы М также является ннльпотентной группой (гл.! П, $9, п' 1, следствие 2 предложения 1), и достаточно доказать (следствие 3), что Г удовлетворяет условию ( ° ). Но Гэ — ннльпотентная связная компактнан группа Лн; следовательно, она является тором ($1, и' 4, следствие ! предложения 4), н существует элемент и~ из Гг, порождающий подгруппу, плотную в Гг (Тор. йеп., СЬар.

Ч1 1, р. 8). Конечная группа Г/Го ннльпотеитна, н существуют элементы йь ..., й,щГ/Го, порождающие Г/Гг и такие, что подгруппа в Г/Гт, порожденная элемента- Гл 1х. коипкктные вешественные ГРуппы ли мн (йз, ..., и,), нормальна прн г=2... и (А(я., с)Гар. 1, р. 73, Гп 1, р. 76, 1)ь 4). Тогда если элементы иь ... и„являются представнтелямн элементов из, ..., и„в Г, то последовательность (ип ..., и„) обладает требуемым свойством. Лримвр. Положим С 0 (», С). В дальнейшем ми покажем, что подгруппа диагональных матрнц в С является максимальным тором в С, а ее нормалнзатор совпадает с множеством мономиальных матриц (Алг., 1962, гл.

П, $6, п' 5) в группе Ли С. Отсюда получаем, что если Ф вЂ” невырожденная положительная эрмнтова форма на конечномерном комплексном векторном пространстве У и à — ннльпотентная подгруппа в О (Ф), то существует базис в пространстве У, в котором матрицы элементов группы Г мономиальны (теорема Блихгфвльдга). 4. Отображения (б/Т) Х Т -~ б и (б/Т)ХА -Р б, Отображенне (и, () Р-~ я(д ' нз СХТ в С индуцирует при факторизация морфнзм аналнтическнх многообразий ): (С/Т)Х Т вЂ” С, который сюръективен (4 2, п' 2, теорема 2).

Прн ограниченна 7 индуцирует сюръектнвный морфизм ),: (С/Т)ХТ, — С,. Взяв его композицию с 1двггХехрг, получим также сюръектнвные морфнзмы ф: (С/7)Хà — С, ~р,. '(С/Т)ХГ -Р Сп наконец, еслн А — альков в Г, то ~р, индуцирует сюръективный морфизм фл: (С/Т)ХА 6,. Определим правое действие группы )у' в С/Т следующим образом. Пусть Гвен%' и ия С/Т. Обозначим через и представитель элемента Гв в Ив(Т) н через и представитель элемента и в С.

Тогда образ элемента пв в 6/Т ие зависит от выбора а и д; обозначим его через и.ГР. Относительно этого действия группа (У действует в С/Т свободно: в введенных обозначениях предположим, что и.в=и; тогда яа~йТ п, следовательно, агнТ и Ге=1. Определим правое действие группы (У в (С/Т)Х Т по формуле (и, 1)гв=(иГв, гв '(1)), ияС/Т, ГКНТ, иен йт, н правое действие группы В", в (С/7)ХЕ цо формуле (и, к).м=(илв, ы ' (к)), ияС/Т, кепс, ыя Нг,', где м — образ элемента м в факторгруппе (г",/Г (Т)= Ф; $5. КЛАССЫ СОПРЯЖЕННОСТИ Если А — альков в 1 и НА — подгруппа в (т", сохраняющая А, то при помощи ограничения получаем действие группы НА на (6/Т)ХА.