Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 10

Согласно теореме ! из и' 2, $ б, гл. Ч, эндоморфизм с алгебры Ли 1 не имеет собственных значений, равных 1. В качестве следствия получаем, что Отображение 7. (1,) сюръективно, так же как и морфизм 7',. Значит, любой элемент из Т является коммутатором двух элементов из 6, и, применяя теорему 2 иэ п'2 $2, получаем требуемое утверждение. б. Фундаментальная группа В следующем предложении через ! (6, Т) обозначается гомоморфизм Г (Т) в я( (6), полученный композицией канонического изоморфизма Г(Т) на и( (Т) (и' 2, замечание 3) и гомоморфизма п~ ((), где 4 — каноническое вложение Т-» 6. ПРедлОжение 11.

Гомоморфиэм 7 (6, Т): 1' (Т) — а я1 (6) сюръективен. Его ядро является подгруппой Ф (6, Т) в Г (Т), порожденной семейст- ВОМ уЭЛОВЫХ ВЕКтарае (К,)а я(О Рт Гомоморфизм ( (6, Т) сюръективен, согласно предложению 3 (4 2, и' 4). Обозначим через А (6, Т) утверждение «ядро гомоморфиэма 7" (6, Т) порождено векторами К,», которое нам нужно доказать. Рассмотрим следующие случаи: а) Группа Ли 6 односвяэна.

Пусть р: йс-» 61(У) — линейное представление алгебры Ли йс в конечномерном комплексном векторном пространстве У. Ограничивая это представление на й, мы получим представление й в вещественном векторном пространстве У(а1 Поскольку 6 односвязна, существует аналитическое линейное представление я группы Ли 6 в пространстве У(аг такое, что р=7.

(и). Применяя предложение 7 из и' 3, получаем, что образ 6(Х(Т)) группы Х(Т) в (ас содержит все веса представления р в У. Это утверждение справедливо для любого представления р алгебры Лн йс. Из теоремы 1 п' 2 $7 гл. Ч1П вытекает, что 6 (Х (Т)) 44 Гл. !х. компкктные Ввпжственные ггуппы ли содержит группу весов системы б(Я), которая по определению есть множество таких лен!с, что й(Нь1ю) енЕ для всех атил, или таких, что ь(К„) ен2пЯ для всех аяН. Таким образом, группа Х(Т) содержит все элементы ь из Х(Т)®(г, такие, что (к, К,) гн2 для любого агн гнР. по двойственности из этого следует, что группа Г(т) порождена узловымн векторами К, откуда получаем утверждение А (6, Т). б) Группа Ли 6 есть прямое произведение односвязной группы Ли 6' на гор 5. В этом случае Т является прямым произведением некоторого максимального тора Т' в 6' на 5, Г(Т) отонгдествляется с Г(Т'))(Г (5), я~ (6) — с я~ (6'))(и, (5) и 1(6, Т) — с гомоморфизмом, получаемым композицией ( (6',Т') и 1(5, 5).

Так как гомоморфизм 1(5,5) биективен, каноническое отображение Г(Т')- Г(Т) биективно отображает Кег)(6', Т) иа Кег1(6, Т). Кроме того, векторы К принадлежат алгебре Ли производной группы 6' группы 6 и, следовательно, образу Г(Т'), откуда сразу получаем, что А (6', Т') влечет за собой А (6, Т). Таким образом, в силу а) утверждение А (6, Т) доказано. в) Общий случай. Сушествует сюръектнвный морфизм с конечным ядром р: 6'-» 6, где 6' является прямым произведением односвязной группы на тор ($1, п'4, предложение 4).

Если Т' является прообразом Т в С' (Т' — максимальный тор в 6' согласно предложению 1 из п' 3 4 2) и если У вЂ” ядро р, то имеют место точные последовательности 0- Ф-» 6'-» 6-» О и О-»М-» Т'». Т-» О, откуда получаем коммутативную диаграмму б точными строками (п'2, замечание 1, и Тор. уеп., саар. Х1) 0- Г(Т) — Г(Т) — М- 0 Хо,гэ) Хв.г14 ыет О п~(6 ) п,(6) М О Из змеевидной диаграммы (А!у., сйар.

Х. р 4, ргор. 2) сразу следует, что А (6', Т') влечет за собой А (6, Т), откуда в силу б) пояучаем доказательство всего предложения. Следствии!. Для того чтобы С была односвязна, необходимо и достаточно, чтобы семейство (К )„я <о О порождало Г (7). Следствив2. Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6, содержащая Т. Тогда имеет место точная последовательность О -~- М (Н, Т) -~- М (6, Т) -» я~ (Н) -» я, (6) — » О.

Это следует из предложения 2 из А1д., с!гар. Х, р. 4 (змеевидная диаграмма), примененного к коммутативной диаграмме О» М(Н, Т)-»- Г(Т)- я,(Н)-» О 0 — Н(6, Т)-~. Г(Т) п,(6)-»О 1 ь система корнея Замечание. Можно показать (см. упражнение 2 вз $5), что группа ят (О) равна нулю. Тогда вз точности предыдущей воследовательвостн получаем взонорфвзм группы лз(0/Н) ва группу У(0, Т)/Н(Н, Т). Следствие 3. Гомоморфиэм л1 (О (О)) ч.

л~ (0), полученный из влоясения Р (6) в б, индуцирует изоморфиэм л~ (О(6)) на подгруппу кручения групаы л~ (6). Действительно, Т() В (6) — максимальный тор в 0 (0) ($2, п' 3, предложение 1в) ). Из точности последовательности О -» Г (Т() гг (О)) -» Г (Т) -» Г (Т/(Т(1 О (0))) -» О и иэ предложения 11 вытекает точность последовательности Π— » л~ (В (6)) -» л1 (6) -» Г (Т/( Т() В (6))) -» О, откуда, принимая во внимание то, что группа л| (В (6)) конечна, а группа Г (Т/(ТП 0 (О))) свободна, получаем доказываемое следствие.

, 7. Подгруппы максимального Ранга Напомним (гл. т1, 4 1, и' У), что подмножество Р в Ю=Н(0, Т) называется замкнутым, если (Р+Р)П/(~Р, и симметричным, если Р= = — Р. Предложение 12. Пусть Я' — множество связных замкнутых подгрупп в б, содержащих Т и упорядоченных ао включению. Отображение Н г Н (Н, Т) является сохраняющей порядок биекцией иэ Я' на мнозсество симметричных замкнутых подмножеств иэ )г (6, Т), упорядоченных по включению. Если НгнЯ', то Е(Н)<с1 ЯвлЯетсЯ пРЯмой сУммой гс н и" длЯ ае ж Н (Н, Т). Поскольку Е (Н)1с1 — редуктивная подалгебра в йо то подмножество Н (Н, Т) в У обладает требуемыми свойствами (гл.

УИ1, 4 3, и' 1, лемма 2 и предложение 2). Обратно, если Р— подмножество в )Т, обладающее этими свойствамн, то 1счт ~ О» — подалгебра Ли в йс (там ясе), »» Р которая является рациональной над 14 (п'3) н, следовательно, имеет внд (з где й — некоторая подалгебра Лн в и. Пусть Н(Р) — интегральная подгруппа в 6, определяемая подалгеброй х.

Она замкнута (4 2, и'4, замечание 1). Отсюда получаем, что отображения Н н. Н (Н, Т) н Рт Н (Р) сохраняют порядок и обратны друг к другу. Следствие!. Число замкнутых подгрупп в О, содержащих Т, конечно. Пусть Н вЂ” такая подгруппа, тогда Нз~уг и множество эе конечно. Кроме того, Н вЂ” подгруппа в Фо(НН, содержащая Н», а подгруппа Но (Нд/Нз конечна ($2, и' 4, предложение 4 и замечание 2).

48 гл. ~х. компьктныи ващнствииные гнтппы ли Слидствие 2. Пусть Н вЂ” связная замкнутап подгруппа в 6, содержащая Т, и пусть )т'о(Т) — стабшшзатор в %то(Т) подмножества Н (Н, Т) мноэхества Н. Группа Фо(Н)/Н изоморфна факторгруппе йуо ( Т)/ йув (Т). Из предложения 1 ($2, и* 3), примененного к подгруппе Фо (Н), вытекает, что Фо (Н)/Н изоморфна тРн ел (Т)/ Фн(Т) где через йтн !в>(Т) обозначается множество элементов из Ууо(Т), представители которых в Фо(Т) сохРанают Н. ПУсть пеиНо(Т), и пУсть тг — класс элемента и в Уео(Т).

Согласно предложению 11 из гл. !П, $9, п'4, и нормализует Н тогда н только тогда, когда (Ай и) (!. (Н)) =Т. (Н). Отсюда и из предложения 3 (п'3) следует, что подмножество Я (Н, Т) в Н устойчиво относительно и. Следствие доказано, Замечание 1. Группа УР~~(Т) является также стабилизатором в йго(Т) подгруппы С (Н) группы Т. Это следует из предложения 8 (п' 4). Птедложеине 13. Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в б максимального ранга и С вЂ” ее централизатор.

Тогда С содержит центр группы /Ти 6, а Н является связной компонентой единицы централ и- затора подгруппы С. Пусть 5 — максимальный тор в Н. Поскольку центр группы б содержится в 5, он содержится в С. Положим Е=2(С)ь. Это связная замкнутая подгруппа в б, содержащая Н; следовательно, она имеет максимальный ранг, н ее центр равен С. Обозначим через Нн и Я системы корней относительно 5 в Н н !. соответственно. Тогда спраиелливо включение Ннсуь<:Н(6, 5). Так как С(Н)=С(1), то из предложения 8 (п'4) вытекает равенство ЦЯ„)=Я(Нь).

Кроме того, Я(Нн)()Нь — — Нн (гл. Ч1, 4 1, п' 1, предложение 23), откуда Яв=Н, и Н=/ (предложение !2). Замечание 2. Будем говорить, что подгруппа С группы Ли б корневая, если существует максимальный тор 5 в 6 и подмножество Р в Н (б, 5), такие, что С= ( ( Кег а. Из предложения 13 и из леммы 2 п* б вытекает, ьпт что отоброзсение Н ь-ьС(Н) порозгдает биекцию множества связных замкнутых подгрупп максимального ранга на множество корневых подгрупп группы Ди 6.

Обратная бнекция есть отображение Сьь-2(С)о. Слндствии Множество элементов дчиб, таких, что Т()уТу 'чь ~ С (6), является конечньлм объединением замкнутых аналитических подмногообразий в б, отличных от 6. Действительно, положим А,= Т Г) уТд ~. Тогда Т ~ Х (Аг) и уТу 'г=Х(Ае). Существует хеЯ(Ае), для которого хТх ' дТу '(4 2, и' 2, теорема 2), откуда вытекает, что бы(Я (Ае). Но(Т). Обозначим через зт конечное множество (следствие 1) замкнутых подгрупп в б, содержа- г 1 к систеь)й кОРней 47 птих Т и отличных от 6, и положим Х= (.) Н.Но(7).

Это — конечное И м.ч объединение замкнутых подмногообразнй в 6, отличных от 6. Если А»Ф чьС(6), то Х(Ае)ен.е и й принадлежит Х. Обратно, если йенНФо(Т), где Не=.е, то Аг содержит С(Н), и, следовательно (предложение 13), А Ф С(6). Пгвдложенив 14. Пусть Х вЂ” подмножество в Т, и пусть Н» — множество корней аенЯ (6, Т), таких, что а (Х)=(Ц. Труппа Яо (Х)/Хо(Х)в иэоморфна факторгруппе стабилизатора подмножества Х в йто(Т) по подгруппе, порожденной отражениями е для аенН». Положим В=Хо(Х). Поскольку подалгебра Лн й(Н)1с) совпадает с множеством точек в йо неподвижных относительно Ай (Х), то она является суммой 1с и тех й", для которых а (Х)=(Ц. В качестве следствия получаем равенство И(Нь, Т)=Нн так что группа УРн (Т) порождена отражениями з„для аыН».

Доказательство завершается применением предложения 7 из й 2, п 5, Ниже (4 Ь, о' 3, теорема 1) будет доказано, что если группа Ли 6 одиосвязаа, а Х вЂ” одна точка, то цеитрализатор Я (Х) свизея. 8. Корневые диаграммы Опгздвлвине 2. Корневой диаграммой (или просто диаграммой, если это ие вызывает недоразумений) называется тройка Р= = (М, Мь, Я), где (РКь) М вЂ” свободный Х-модуль конечного типа, а Мь — подмодуль в М, выделяющийся в нем прямым слагаемым; (РК,) Н вЂ” конечное подмножество в М; 17()Мь порождает векторное 0-пространство 0®М; (Рйп) для любого аснИ существует такой элемент а" иэ М"= Ноги»(М, Х), что а" (Мь)=0, а" (а)=2, а зндоморфизм »ьь х — и" (х) а модуля М сохраняет подмножество Я.