Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 7

Поскольку группа 0(О) компактна, то о(О) — компактная вещественная алгебра Ли. Положим 80(О)=0(О)П83.(У); это замкнутая подгруппа конечного индекса в 0(О) (индекса 2, если й(ш Учьб), н, следовательно, ее алгеброй Ли тоже является о (О). Если У=К" и Π— стандартная квадратичная форма, для которой канонический базис в К" ортонормнрован, то вместо 0 (О), $0 (0), а(О) пишут 0(л, К), 80 (л, К), о(п, К). Элементамн из 0(л, К) (соотв, о(п, К)) являются матрицы АКНМ,(К), такие, что А.'А=( (соотв.

А = — 'А), которые называются оргогональными (соотв. антигиммггричными). Пусть У,с> — векторное С-пространство, полученное из У, и Я<с> — квадратичная форма на Уэст полученная из О. Отождествнм 91(У)1с) с 91(У~с1); тогда алгебра Ли о(О)1с) отождествляется с алгеброй Ли о (О~с1) — это очевидно, поскольку отображение х»» х*+х из 91 (У<с)) в себя С-линейно. Поскольку о Я<с1) — алгебра Ли типа В„, если й)щ У= =2л+1, л.=-1, и типа Р., если й(щ У=2п, п)3 (гл.

ЧП1, 9 13, пп'2 и 4), то получаем Пгедложгиие 5. Любая компактная простая аеи(есгвгнная алгебра Ли типа В„, пй:1 (слота, типа Р„, л) 3) иэоморфна алгебре Ли о (2л+ +1, К) (соотв. о(2п, К)). зо ГЛ 1Х, КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ б. Кажлаитмыв группы ранга 7 Согласно Тор. уел., сйар. Ч!11, р.

5, ргор. 3, р. б, ргор. 4, р 7, гегп. 4, топологическая группа $0 (2, С) изоморфна топологической группе $з кватернионов с нормой 1, и факторгруппа группы $0(2, С) по подгруппе Я, состоящей из матриц Тх и — 1ь изоморфна топологической группе $0(3, К). Отметим, что Š— центр группы $1) (2, С).

Действительно, поскольку Н= К.$з, любой элемент. лежащий в центре группы $з, лежит в центре К алгебры кватериионов Н и, следовательно, принадлежит группе из двух элементов $ХПК=( — 1, 1]. Паедложение б. Любая лозулростая компактная вещественная алгебра Ли ранга 1 изоморфна эи(2, С) и о(ЗГ К). Любая связная лолупростая компактная группа Ли ранга ! изоморфна группе Ли $0(2, С), если она односвязна, и группе Ли $0(3, К) в противном случае. Первое утверждение вытекает из следствия предложения 4 и из предложения Ь. Поскольку группа Ли $1) (2, С) гомеоморфна группе $з (Тор.

уеп., сйар. Ч1!1,. р. 7, ген. 4), а значит, односвязна (Тор, деп., сйар. Х1), любая односвязная полупростая компактная группа Ли ранга 1 изоморфна $0 (2, С); любая связная неодносвязная полупростая компактная группа Ли ранга ! изоморфна факторгруппе $0 (2,С) по подгруппе группы Я, состоящей не только из единичного элемента, т. е. группе $0 (3, К). Замечание. Из сказанного выше следует, что $0 (2, С) односвязна и что группа п1 ($0(3, К)) имеет порядок 2. Далее мы покажем, что эти результаты соответственно обобщаютсн на группы $0 (л, С) (л) !) и $0(л, К) (л~)3) (см.

также 4 3, упражнение 4 и 5). Напомним (гл. ЧП1, 4 1, и' 1), что каноническим базисом в э1(2, С) называетсн базис (Хе, Х, Н), где Х,=(„','), Х =( ',,"), Н=(,' ',). Тогда, полагая О=Х,+Х =( ',,'), Ч=((Х,— Х )=(' '),;Н=(' ') получаем базис (11, Ч, ГН) в эи(2, С), также называемый каноническим. Имеем (ГН, О]=2Ч, ]ГН, Ч]= — 2О, ]с1, Ч]=21Н.

(! 3) Если через В обозначить форму Киллинга алгебры Ли эи(2, С), то не- сложные вычисления дают В(а(1+ЬЧ+сГН, а' Б+Ь'Ч+с'(Н)= — 8(аа'+ЬЬ'+се). (!4) ! 1 е системА кОРней 81 Таким образом, если мы отождествим эи (2, С) с кз при помощи кзнонического базиса, то присоединенное представление группы $11 (2.

С) определит гомоморфизм $0 (2, С) — $0 (3, й) (см. ниже). Кроме того, отметим, что й1Н вЂ” подзлгебрз Кзртвиз в ви (2, С) и что соответствующий ей максимальный тор Т в группе 5() (2, С) состоит из /а ОТ дизгонвльныхмвтриц ~ ), где аа= 1, з экспоненцизльное отобрзже- ~0 а)' ние . ехр: к(Н-» Т переводит хН для хенй( в мзтрнцу ~ ) и, следовв / ехр (х) 0 0 ехр (-х) тельно, имеет ядра Х.К, где К вЂ” элемент из эи (2, С), определяемый рв- венством 2п1Н (2п( 0 ) (15) Кроме того, центр группы $(1 (2, С) состоит из единицы и ехр(К/2).

Положим 0=~ ) я$$/(2, С). (16) Согласно и' 5, $1, гл. И11, 0~=( ), (1Й10)1=1 1, 1ЕБТ, (17) (АОО)Х+=Х, (АОВ)Х =Х, (АаЕ)()=(), (Абе)Ч= — )1.(18) /а От Наконец, для Г= ~ -)тпТ имеем ~0 а) (Ад 1) Хе=а' Х+, (Ат( 1)Х =а т Х, (Ад 1) Н=Н, (19) (Ад Т) () = не (а ) 11+1тп (а ) Ъ', (Ад Т) ч'= — 1|п (а ) (1+йе (а ) У.

(20) $ 4. Система корней, ассоциированная с компактной группой В параграфах с 4 по 8 через б обозначается связная компактная группа Ли, а через Т вЂ” максимальный тор в 6. Через 0 (соотв. 1) обозначается алгебра Ли группы Ли 6 (соотв. Т), через Ос (соотв. 1с) — алгебра Ли, полученная из 0 (соотв.

1) комплексификацией. Через йр обозначается группа Вейля группы Ли 0 относительно Т ($2, и' 5). ГЛ !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ г. Группа Х(Н) Пусть И вЂ” компактная группа Лн. Через Х (И) обозначим (коммутатнвную) группу непрерывных гомоморфнзмов нз Н в топологнческую группу С'. Согласно теореме 1 нз гл. Ш, $8, и' 1, элементами группы Х (Н) являются морфнзмы групп Ли. Для любого а ~Х (Н) дифференциал а есть й-линейное отображение 6 (а): 6 (Н)-~ ° 6(С*). Впредь мы будем отожде. стал ять алгебру Лн группы С* с С таким образом, чтобы экспоненцнальное отображение для СР совпадало с отображением г Рч. е' нз С в С*. С любым элементом а нз Х(Н) ассоциируется элемент ?.(а)ыНогпа(6(И),С); обозначим символом 6(а) элемент нз Ногпс(6(Н)<сг С), который ему соответствует (т.

е. такой, что его ограничение на 6 (Н) <: С (Н)<с! совпадает с 6(а)). Для любого хен6(И) н любого аенХ(И) а (ехрн х)=ег! П ! ввиду функторнальностн экспоненцкального отображения (гл. Ш, $6, и' 4, предложение 10). Обычно мы будем считать, что группа Х (Н) адднтнвна. В этом случае элемент а(д) нз С" обозначается через у". Тогда справедливы формулы й +У=у'уг, утнИ, а, ЬЕПХ(Н) (е х р в х)' = е "> ", к ~ 6 (Н), а ~ Х (Н). Поскольку группа Н компактна, элементы нз Х(И) принимают значения в подгруппе 1) =1) (1, С) комплексных чисел, по модулю равных 1. Таким образом, Х (Н) отождествляется с группой непрерывных (нлн аналктнческих) гомоморфнзмов нз Н в 1).

Из этого вытекает, что для любого а ~ ~ А (Н) значения отображення 6 (а) лежат в подпространстве В1 пространства С, а следовательно, 6(а) отображает 6 (Н) в В. Если группа И коммутатнвна, то группа Х (Н) является не чем иным, как (дискретной) двойственной группой к Н (Спектр. теор., гл. Н, 4 1, и' 1).

Если И коммутатнвна н конечна, то группа Х (Н) отождествляется с конечной двойственной к Н группой И (Н)=Ногох(Н, 4)/л) (где в соответствии с А!у., с)тар. 1?Н, р. 2?. ех. 1, группа (г/Х отомгдествляется с подгруппой в СР прн помощн гомоморфнзма тт-~ ехр (2ПИ)), Для любого морфизма 1:И- Н' компактных групп Лн через Х()) обозначается гомоморфнзм а~ а 1 нз Х(Н') в Х(И). Если К вЂ” замкнутая нормальная подгруппа компактной группы Лн Н, то имеет место точная последовательность Х-модулей 0 — ~ Х(Н/К) ч- Х(Н)- Х(К). ПРедложение 1.

Для любой компактной группы Ли Н группа Х(Н) является г;модулем конечного типа, причем свободным, если Н вЂ” связная группа Ли, Т С СИСТЕМА КОРНЕЙ Предположим сначала, что Н связка. Любой элемент из Х (Н) равен единице на производной группе Р (Н) группы Н, откуда следует изоморфнэм Х (Н/Р (Н)) -Р Х (Н). Но группа Н/Р (Н) коммутатнвна и связиа, а значит, является тором, и группа Х(Н/Р(Н)) является свободным Е-модулем конечного типа (Спектр.

теор., гл. П, й 2, и'1, следствие 2 предложения !). В общем случае иэ точности последовательности О Х (Н/Нь) -Ф Х (Н) Х (Нь), где Х (Нь) — свободный Е-модуль конечного типа, а модуль Х (Н/Нь) коне- чен, вытекает, что Х (Н) — модуль конечного типа. ПРедложение 2. пусть н — коммутатиеная компактная группа ли и (аАм,— семейство элементов иэ Х(Н). Для того чтобы а; порождали Х (Н), необходимо и достаточно, чтобы пересечение Кег а; состояло лиши иэ единичного элемента. Согласно теореме 4 нз Спектр. теор., гл. П, 4 1, и' 7, ортогональное дополнение к Кег а; есть подгруппа А~ в Х (Н), порожденная аь Тогда (там же, следствие 2 теоремы 4) ортогональное дополнение к П Кег а, есть подгруппа в Х (Н), порожденная подгруппами Аь откуда следует предложение.

2. эталонам группа тора Ядро экспоненциального отображения Е(5) — ~ 5 называется узловой группой тора 5 и обозначается черэ Г (5). Это дискретная подгруппа в Е(5) ранга, равного размерности 5. Далее, Гс-линейное отображение КЭ е Г (5) — Е (5), которое является продолжением канонического вложения Г(5) в Е (5), биективно. Это отображение индуцирует при переходе к факторгруппам иэоморфиэм К/Х®х Г(5)- 5. Например, узловая группа Г(4)) группы 1) есть подгруппа 2к(2 в Е (1)) =Ф. Для любого морфизма торов 1: 5 — ь 5' через Г (7) обозначим гомоморфизм Г (5) — ь- Г (5'), полученный из Е (1).

Имеет место коммутатнвная диаграмма 0 -~ Г (5) -~- Е (5) — 4 5 -+. 0 г ю) цл~ О Г(5') Е(5') ' 5' О Пусть ачнХ(5). Применяя только что сказанное к морфнзму из 5 в Ц, определяемому отображением а, видим, что С-линейное отображение б (а): Е (5)1с1 — С иэ и' 1 переводит Г (5) в 2ьиЕ. Определим Х-билинейную форму на Х(5)ХГ(5), полагая (а, Х) = — б(а)(Х), агиХ (5), ХЕЙГ (5). 1 (2) 2 Н.

Втрбаяи 34 ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ЗЕШЕСТЗЕННЫЕ ГРУППЫ ЛН Пяедложение 3. Билинейная форма (а, Х) > ( а, Х) на Х (5) Х Г (5) нгвырождгниа. Напомним (А(у., сйар. 1Х), что, согласно определению, это означает, что линейные отображения Х(5)- Нагие(Г(5), Х) и Г(5)- Ногпх(Х(5), Е), ассоциированные с этой билинейной формой, биектнвны. Нетрудно заметить, что если утверждение предложения верно для двух торов, то оно также верно для их произведения. Поскольку любой тор размерности и изоморфен 0", то доказательство сводится к случаю 5= = 11.