Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 5

~) Здесь, как н в книге «Многообразия. Сводка результатов», термин „аррйсакоп ргорге" перезоднтсн как «собственное отображение» (з отличие ог «Общей топологии», где он переведен кзк «совершенное отображение»).— Прим. ргд. ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 6. Максимальные торы н подъем гомоморфизмоа Пусть С вЂ” связная компактная группа Ли, а Т вЂ” максимальный тор в 6. Рассмотрим производную группу Р (6) группы 6 и ее универсальную накрывающую 0(6); пусть р: 0(С) — 6 — морфизм, являющийся композицией канонических морфизмов 0 (6) - Р (6) и 0 (6) - 6. Тогда 0 (6) — связная компактная группа Ли ($1, п' 4, следствие 2 предложения 4); кроме того, прообраз Т тора Т прн отображении р является максимальным тором в 0(6) (и' 3, предложение !).

Леммь 2. Пусть Н вЂ” группа Ли, /г! Т -» Н и /: 0 (6) -» Н вЂ” такие морфизмы групп Ли, что для всех !гн Т имеем /г (р (!)) =/(!). Существует единственный морфизм групп Ли /: б — Н, такой, что /ор = / и что ограничением / на Т является /г. Положим 8=6(бь). Согласно следствию ! предложения 4 из $1, п' 4, морфнзм групп ЛН йы ЯХР(6)-» 6, такой, чтой(г, х)=г ' р(х), является накрытием; его ядро состоит из пар (г, х), таких, что р (х)=г и, следовательно„хенр '(Я)сТ. Поскольку морфизм (г,х)»+/г(г )/(х) из ЯХ Х 0 (6) в Н переводит Кег у в (е), существует морфизм / из 6 в Н, такой, что /ьр=/ и /(г)=/т(г) для гщХ. Имеем также /(1)=/т(!) для !енр(Т).

Поскольку Т Х.р(Т), ограничение / на Т совпадает с /г. ПРедложение 8. Пусть С вЂ” связная Компактная группо Ли, Т— максимальный тор в б, Н вЂ” группа Ли и йы Е (6) — Е (Н) — гомоморфиэм алгебр Ли. Для того чтобы существовал морфизм групп Пи /: 6-» Н, такой, что Е (/)=1р, необходимо и достаточно существование такого морфизма групп Ли /т: Т-» Н, что Е(/г) ф)Ь(Т); тогда /т — — /!Т. Если /: б -» Н вЂ” такой морфнзм групп Ли, что Е (/) =1ь, то ограничение /г морфизм а / на Т является единственным морфнэ мам из Т в Н, таким, что Ь(/г)=ГР!Ь(Т). Обратно, пусть /г: Т-» Н вЂ” морфиэм групп Ли, такой, что Е (/т) = ф ! Ь (Т).

Пусть 0 (6) и р обозначают то же, что и в начале пункта; отображение Е (р) индуцирует изоморфизм Е (0 (6)) на производную алгебру Лн Ь алгебры Ли Е(6). Существует морфизм групп Ли /: О(6)-»Н, такой, что Е(/) (41!Ь) ь Е(р) (гл. П1, $6, п' 1, теорема 1). Морфизмы !»»/(1) и 11 /г!р (()) иэ Т в Н индуцируют один и тот же гомоморфизм алгебр Ли, а следовательно, совпадают. Применяя лемму 2, мы видим, что существует морфизм /: 6 -» Н, такой, что Ь (/) и а совпадают на Ь (Т) н Ь. Поскольку 1. (6)=Ь+Е (Т), то Е (/)=а. Пгедложеиие 9. Пусть 6 — связная компактная группа Ли, Т— максимальный тор в б, Н вЂ” группа Ли и /: 6 -» Н вЂ” морфизм. Морфизм / инъвнтиввн тогда и только тогда, когда гго ограничение на Т инъвктивно. Действительно, согласно теореме 2 (п' 2), нормальная подгруппа Кег / в 6 состоит из единичного элемента тогда и только тогда, когда ее пересечение с Т состоит из единичного элемента. $ 3.

КОМПАКТНЫЕ ФОРМЫ АЛГЕБРЛН 2З й 3. Компактные формы комплексных полупростых алгебр Лн 1. Веп)ественные уторлеы Если а — комплекснаЯ алгебРа Ли, то символом а!К) (или пРосто ае) обозначается вещественная алгебра Ли, полученная ограничением поля скаляров. Если и — вещественная алгебра Ли, то символом й1с) (или просто йс) обозначается комплексная алгебра Ли С®„й, полученная расширением поля скаляров. Имеет место биективное соответствие между гомоморфизмами вещественных алгебр Ли и -ь а е) и гомоморфизмами комплексных алгебр Ли й1с! — а, а именно если 1: и — ь а)е) и и: и с!-ь а— отвечающие друг другу гомоморфизмы, то ) (х) = у (1 ®х) и у (Л® х) = Л! (х) для всех хеий, ЛеиС. Опгеделение 1. Пусть а — комплексная алгебра Ли. Вещественной формой алгебры Ли а называется всякая вещественная подалгебра и в а, являющаяся К-структурой на векторном С-пространстве а (А 1у., саар.

П, р. 119, бе1. 1). Это означает, что гомоморфизм комплексных алгебр Ли й1с1- а, ассоциированный с канонической инъекцией, биективен. Вещественная подалгебра и в а, следовательно, является вещественной формой алгебры Ли а тогда и только тогда, когда подпространства и н )й вещественного векторного пространства а являются взаимно дополнительными. Сопряжением в а относительно вещественной формы и называется отображение а: а -ь а, такое, что а(х+1у)=х — )у, х, ущй.

Пеедложенне 1. а) Пусть и — вещественная форма алгебры Ли а и а — сопряжение в а относительно и. Тогда а =!бе а (Ля+ну) = Ла (х)+ ца (у), (а (х), а (у))= а [х, у) (2) для Л, р гиС, х, у~а. Для того чтобы элемент х из а принадлежал и, необходимо и достаточно,'чтобы а (х) =х. б) Пусть а: а — а — отображение, удовлетворяющее условиям (2). Тогда множество и неподвижных точек отображения а является вещественной формой алгебры а, а а — сопряжением в а относительно и. Доказательство очевидно.

Отметим, что если через В обозначить форму Киллинга алгебры Ли а и если и — вещественная форма этой алгебры Ли, то ограничение В на и является формой Киплинга алгебры Ли и. В частности, В принимает вещественные значения на у Ху. Предположим, что е редукгиена. Для того чтобы вещественная алгебра Ли и была компактной, необходимо и достаточно, чтобы форма, полученная ограничением В на и, была отрицательной ($1, п' 3). В этом случае говорят, что и является компактной вещественной формой алгебры Лн а. ГЛ. !Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГРУППЫ ЛИ 2.

Вещественные формы, ассоциированные с системой Шевалле В этом пункте рассматривается расщепленная полупростая алгебра Ли (а, Ц над полем С (гл. ЧШ, 4 2, и' 1) с системой корней )с (а, (В) = =Ю н система Шевалле(Х„)ь»этой алгебры Лн (гл. Ч1П, 4 2, и' 4, определение 3).

Напомним (см. там же), что линейное отображение В: а -ь а, которое совпадает с — 1д» иа () н переводит Х в Х „для всех а~В, является автоморфнзмом алгебры Ли а. С другой стороны (таи же, предложение 7), если а, В, а+ — корни, то (Х„, Хв)= йв.,в Х„„н (3) где Ав„вы!(ь н (4) й(-., -в=й(ь, в. Обозначим через ()ь вещественное векторное надпространство в (т, состоящее нз таких Н вн (т, что а (Н) вп 14 для всех а щ)1. Тогда (вь является Й.структурой на комплексном векторном пространстве (), для всех аы ~)1 имеем Р(„, Х )вн()ь н ограничение формы Кнллннга В алгебры а на ()ь невырожденно н положительно (гл. Ч111, 4 2, и'2, замечание 2).

Кроме того, В(Н, Х„)=0, В(Х„, Хв)=0, если а+()чьО, В(Х, Х )(О (5) (гл. ЧП1, 4 2, и' 2, предложение ! н п' 4, лемма 3), ПРедложенне 2. а) Вещественное векторное яодяростраисгво аь= =В»+ ~ 1(Х в а является вещественной формой алгебры а с подалггбаы» рой Картами (Вь, Пара (аь, (Вь) является расщепленной полупросгой вещественной алгеброй Ли с системой Шгваллг (Х„). б) Пусть о — сопряжение в а относительно ав. Тогда П.В = В о. Множество а, неподвижных точек отображения а 0 Нвляется компактной вещественной формой алгебры Ли а, и 1()ь — подалгебра Каргина алгебры Ли аь.

Часть а) сразу следует нз предыдущего. Докажем б). Поскольку а 0 и 0 а — два полулинейных отображения нз а в а, совпадающих на аь, то оин совпадают всюду. Тогда отображение а В удовлетворяет условиям (2) из и' 1 н, следовательно, явлнется сопряжением в а относительно вещественной формы а, состоящей нз таких х»и а, что оьВ (х) =х (предложение 1).

Положим для пснр и Х +Х, о,=1(Մ— Х „). (б) Тогда векторное Рх-пространство а, порождается 1(вь, и, и,. Более точно, если выбрать камеру С системы корней )с, то $ О. КОМПАКТНЫЕ ФОРМЫ АЛГЕБРЛИ «оЕ ~ (~по+ ~оо)' е+ <с! Очевидно, что й!о является подалгеброй Картаиа алгебры Ли а„, и остается доказать, что ограничение иа а, формы В отрицательно. Поскольку 1»о и различные подпространства Ви„®ВО, ортогональиы относительно В, см. (5), ограничение В на 1»о отрицательно, и мы получаем В(и„и„)=В (Р, о ) 2В(Х„, Х,)(0, В (и„, о )=О, (8) ' (в трех последних формулах, как обычно, считается, что Ут о=0, если у+ +б не корень).

Отметим, что ~ Ви„ вЂ” вещественная подалгебра алгебры Ли а, которая является не чем иным, как аойа.. Пусть 6 (В) — группа радикальных весов системы Я (гл. о'1, $1, п' 9). Напомним, что с любым гомоморфизмом у: 1;!(В)- С* ассоциируется элементарный автоморфизм /(у) алгебры Ли а, такой, что /(у) (Ь) Ь для Ьон» и /(у) Х,=у(а) Х„(гл. тЛ!1, $5, п' 2). ПРедложение 3. Пусть 9 — компактная вещественная форма алгебры Ли а, такая, что 9 П» 1»ь Существует такой гомоморфизм у: О(Я) -о Во+, что 9=/(у)(п„).

Пусть т — сопряжение в а относительно 9. Тогда, согласно предположению, г (х)=х для ха1»о, и, следовательно, т (х)= — х для хон»о. Для всех аяЙ и всех Ья»о Из этого вытекает, что [Ь, т (Х )] — а (Ь) т (Х ) для всех Ьон»о, а следовательно, и для всех Ьоц». Таким образом, существует элемент с,онС*, такой, что т(Х„)=с„Х,. Поскольку [Х„, Х,]оп»о, то [г(Х,), т(Х „)]= = — [Х„Х,] и, значит, с .с,=1; аналогично из формул (3) и (4) получаем, что с,+в=с„св, если а, (1, а+(! являются корнямн.