Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 9. Компактные вещественные группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 4

Максимальные торы в 6' являются образами максимальных торов в 6 при отображении 1. Если ядро отображения !' центрально в 6 (например, дискретно), то максимальные торы в 6 являются в точности прообразами максимальных торов в 6' при отображении 1'.

б) Пусть Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6. Любой максимальный тор в Н являетсл пересечением с Н некоторого максимального тора в 6. в) Пусть Н вЂ” связном замкнутая нормальная подгруппа в 6. Максимальными торами в Н являются пересечения с Н максимальных торов в 6.

а) Пусть Т вЂ” максимальный тор в 6. Тогда Е (Т) — подалгебра Картана алгебры Лн Е(6) (и'2, теорема 2а)); следовательно, Е (1(Т))— ГЛ. 1Х. КОМПАКТНЫЕ ВЕШЕСТВЕНИЫЕ ГРУППЫ ЛИ 18 подалгебра Картана алгебры Ли Ь (б') (гл. Ч11, $2, и'1, следствие 2 предложения 4). Отсюда вытекает, что 1'(Т) — максимальный тор в б' (и' 2, теорема 2а) ). Если подгруппа Кег Т центральна а б, то она содержится в Т (следствие 2 теоремы 2), т. е.

Т=[ ' (1 (Т)). Обратно, пусть Т' — максимальный тор в б'. Покажем, что в 6 существует такой максимальный тор Т, что г'(Т) = Т'. Пусть Т, — максимальный тор в б. Тогда г (Т,) — максимальный тор в 0' и существует элемент й'ш б', для которого Т'=у' ) (Т ) у' ' (теорема 2б)). Если элемент дгя б таков, что 1(у)=у', то для Т=уТ~ у ' имеем Т'=) (Т), Т=) ' () (Т)). б) Пусть 5 — максимальный тор в Н.

Тогда 5 — тор в б, и, следовательно, существует максимальный тор Т в б, содержащий 5. Пересечение ТТ(Н вЂ” коммутативная подгруппа в Н, содержащая 5 и, стало быть, совпадающая с 5 (и' 2, замечание 2). в) Согласно предложению 2в) иэ $1, п'3, Ь(б) является прямым произведением Ь(Н) на некоторый идеал. Подалгебры Картана алгебры Лн Ь (Н) являются, следовательно, пересецеииями с Ь (Н) подалгебр Картана алгебры Ли Ь (0).

Для любого максимального тора Т в б пересечение ТЛИ содержит максимальный тор 5 в Н, и, стало быть, 5 Т() Н (п' 2, замечание 2). Замечания. 1) Предложение 1 непосредсгаеиие обобщается на связные группы с компактной алгеброй Лн. В частности, если 6 — связная группа Лн с компактной алгеброй Лн, то подгруппы Картана в 6 (см, замечание 3, и' 2) являются ие чем иным, как прообразамн (отиоснтельно канонического гомо. морфнзма нз 6 на Ай (6)) максимальных торов связной компактной группы Ли Ай (6). 2) Пусть 6 — связная компактная группа Ли, б (6) — универсальная накрывающая группы 6 (6) н Н Б (6) -» 6 — морфазм, наляющнйся компоэн.

цней канонических морфнэмов нз 6 (6) на 6 (6) н нэ 6 (6) в 6. Тогда отображение Т| ) '(Т) естьбиекцня множества максимальных торов в 6 иа множество максимальных торов э 6 (6). Обратная бнекцня ставит в соответствие максимальному тору Т в Д (6) махснмальнйй тор С(бй Т(Т) в 6. 4. Подгрунны максимального ранга Рангом связной группы Ли б называется ранг ее алгебры Лн, обозначаемый через гп б. Согласно теореме 2а), ранг связной компактной группы Ли равен обшей размерности ее максимальных торов. Пусть 0 — связная компактная группа Ли и И вЂ” замкнутая подгруппа в б.

Если Н свяэна, то гп Н(гп б (поскольку максимальные торы в Н являются торами в 6). Согласно теореме 2в). подгруппа Н связно и имеет максимальный ранг (т. е. ранг, равный ге 6), когда она является объединением максимальных горов в б. Из предложения 1 тут же выводится ПРедлОжеиие 2. Луста ): б -» б' — сюръекгивный морфиэм связных компактных груня гуи, ядро которого лежит в центре. Отображения И»» ) (Н) и И' »» Г ' (И') являются биекциями, устанавливающими взаим- 1 т. мАксимАльные тОРы компАктных ГРупп ли 19 но однозначное соответствие между мноясеством связныл замкнутыл подгрупп максимального ранга в 6 и аналогичным множеством для 6'.

ПРедложение 3. Пусть 6 — связная компактная группа Ли и Н вЂ” ее связная замкнутая подгруппа максимального ранга. а) Компактное мноясество 6/Н односвязно. б) Гомоморфизм п~ (Н) -ь п~ (6), полученный из канонического вложения Н в 6, сюръективен. Поскольку Н связна, имеем точную последовательность (Тор. йеп., с)тар. Х1 ')) я~ (Н) — я~ (6) -ь я~ (6/Н, е) — О, где е — образ в 6/Н единичного элемента группы 6. Так как 6/Н связна,» из этого сразу же получается эквивалентность утверждений а) и б). С другой стороны, если 1: 6'-ь 6 — сюръективный морфизм связных компактных групп Ли, ядро которого лежит в центре, то безразлично, доказывать ли предложение (в форме а) ) для 6 нли для 6' (предложение 2). Таким образом, можно сначала заменить 6 на Ай (6), т.

е. предположить, что 6 полупроста, а потом заменить 6 иа ее универсальную накрывающую ($1, и' 4, следствие 2), т. е. предположить, что 6 односвязна. Но тогда утверждение б) тривиально. ПРедложение 4, Пусть 6 — компактная группа Ли, Н вЂ” связная замкнутая подгруппа в 6 максимального ранга и М вЂ” нормализатор Н в 6. Тогда Н имеет конечный индекс в М и является связной компонентой единицы группы М. Действительно, алгебра Ли подгруппы Н содержит подалгебру Картана алгебры 1. (6). Согласно следствию 4 предложения 4 из гл, тт(1, $2, и' 1, Н есть связная компонента единицы группы М.

Поскольку М компактна, Н вЂ” группа конечного индекса в М. Замечания. 1) Любая интегральная подгруппа Н в 6, такая, что га Н=гп 6, замкнута. Действительно, предыдущее доказательство показывает, что Н вЂ” связная компонента единицы своего нормализатора, который является замкнутой подгруппой в 6. 2) В обозначениях предложения 4 любая замкнутая подгруппа Н' в 6, содержащая Н и такая, что индекс (Н'.Н) конечен, нормализует Н и, следовательно, содержится в М; аналогично нормализатор группы Н' содержится в М. В частности, М является своим собственным нормализатором. ~) Ссылка Тор, йеп., сиар. Х1, означает гл. Х1 французского издания, которая готовится к печати. 20 гл.!х.

Компхкгные Ввшвстэенныв ГРуппы лн б. Группа Вайля Пусть 6 — связная компактная группа Лн н Т вЂ” макснмальный тор в С. Обозначим через Мо(Т) нормалнзатор Т в 6; согласно предложению 4 (п' 4), факторгруппа И(о(Т)/Т конечна. Обозначнм ее через Иго(Т) нлн Ит(Т) н назовем группой Вейля максимального тора Т в 6 нли группой Вейля группы С относнтельно Т. Поскольку группа Т коммутатнвна, действие )т' с (Т) на Т, порожденное внутренннмн автоморфнзмами группы Лн С, прн переходе к факторгруппе индуцирует действие, называемое каноническим, группы Иго(Т) на группе Лн Т. Согласно следствию 6 теоремы 2 нз п' 2, это действие является точным: гомоморфнзм Иго(Т) -ь Ап1 Т, который ему соответствует, инъектиэен.

Если Т' — другой максимальный тор в С н если элемент й~ 6 таков, что 1п16 отображает Т иа Т' (п'2, теорема 26) ), то 1п1д индуцирует изоморфнзм аз группы Иго(Т) на группу Ига(Т) и аг(э)(21й ') дз(1)й для всех зсн И'о(Т) н всех гсн Т. Птедложеннв 5. а) Любой класс сопряженных элементов э 6 пересекается с Т. б) Пересечения классов сопряженных элементов е С с тором Т являются орбитами группы Вейля.

Пусть й~ С; согласно теореме 2 из п' 2, существует элемент Исн С, такой, что йенИТИ ', откуда следует а). Согласно определению группы Вейля, два элемента, прниадлежащне одной орбите группы (т'с(Т) в Т, сопряжены в С. Обратно, пусть а, Ь вЂ” два элемента из Т, сопряженные в С. Существует элемент ИенС, такой, что Ь=ИаИ '; применяя следствие 7 теоремы 2 (п'2) с А (а),з 1п! И, Т' Т, видим, что сушествует элемент й~ С, такой, что 1п1 Ий отображает Т в Т н а на Ь. Класс элемента Ид в (т'о (Т) отображает' тогда а на Ь, откуда следует предложение.

Следствии 1. Каноническое вложение Т э 6 определяет при переходе к факторгруппе гомеоморфизм Т/Иго(Т) на пространство 6/1п1(6) классов сопряженных элементов в С. Действительно, это непрерывное и биективное отображение между двумя компактными пространствамн (см. Общ. топ., 1969, гл. Ш, $4, п' 1, следствие ! предложения 2). Следствие 2.

Пусть Š— подмноясестео а С, устойчивое относительно внутренних аетоморфизмое. Для того чтобы Е было открыто (соотв. замкнуто, соотв. плотно) в 6, необ~одимо и достаточно, чтобы Е() Т было открыто (соотв. замкнуто, соотв. плотно) э Т. Это вытекает нз следствия ! н из того, что канонические отображения 7'-~. Т/ ууо (Т) и С -ь 6/1п( (6) являются открытыми (Оби!. топ., 1969, гл.

1П, 4 2, п'4, лемма 2). 2! $2 МАКСИМАЛЬНЫЕ ТОРЫ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ Обозначим через я алгебру Ли группы Ли 6 и через 1 алгебру Ли группы Ли Т. Действие группы йга(Т) в Т определяет представление, называемое каноническим, группы )У'в(Т) в векторном 11-пространстве 1. Ппедложеиие6. а) Все орбиты группы 6 в я (для присоединенного представления) пересекаются с 1. б) Лересечеяия орбит группы 6 с 1 являются орбитами группы Цго(Т) в 1, Утверждение а) следует из теоремы ! (и' !). Пусть х, у — два элемента нз 1, принадлежащие одной орбите группы Аб (6), и пусть Ьем ~ 6 таков, что (Аб Ь) (х)=у. Применяя следствие теоремы 1 (и' 1) для и= =(х), и= Ад Ь, 1' =1, видим, что существует реп 6, такой, что Аг( Ьу отображает 1 иа 1 н х в у.

Таким образом, ЬдгнНо(Т) (гл. 111, 4 9, и'4, предложение 11), и класс элемента Ьд в Уув(Т) переводит х в у, откуда следует предложение. Следствие. Каноническое вложение 1 в й определяет при переходе к факторалггбрам гомгоморфизм 1/%'о (Т) ма й/Ад (6). Обозначим через / это отображение; оно непрерывно и биективно (предложение 6). Имеет место коммутативная диаграмма ! — й 1/)Ро (Т) ~ й/Аб (6) где р и д — отображения перехода к факторалгебре, а 1 — каноническое вложение. Поскольку! и д — собственные отображения (Общ.

гоп., 1968, гл. 1, $10, и' 1, предложение 2, 1969, гл. П1, $4, и' 1, предложение 2в) и отображение р сюръективно, то / — собственное ~) отображение (Общ. гоп., 1968, гл. 1, $10, п' 1, предложение 5) и, следовательно, гомеоморфизм. Пгедложение 7. Пусть Н вЂ” замкнутая подгруппа в 6, содержащая Т. а) Обозначим через Яуц (Т) подгруппу Н„(Т)/Т в Яуо (Т); группа Н/Н» изоморфна факторгруппг й/н(Т)/У!Гв (Т). б) Для гого чтобы группа Н была связной, необходимо и достаточно, чтобы любой элемент из (т'о(Т), имеющий представителя в Н, принадлежал йуя (Т). Утверждение а) вытекает нз следствия 8 теоремы 2 (и' 2), а утверждение б) есть частный случай а).