Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 7

ь Это есть случай, когда в подинтегральную функцию неизвестная функция явно не входит. Следовательно, искомая кривая должна удовлетворять уравнению: <1<,,(у, х') = С. Перейдем к функции гт: б<., = х'~„,--',-, + Г= Г(у,у') — у'Г„, (1<,у) = С. Это и есть искомое диференциальное уравнение для определения неизвестной функции у(х). Уравнение Эйлера мы получим, продиференцировав левую часть по х. 3 а меч ание. При этом выводе мы еще неявно воспользовались одним допущением: в ранее разобранном случае мы получили уравнение Эйлера в предположении, что нсхомая кривая есть олнозначная функция х, обладающая непрерывной производной.

Таким образом, чтобы наш вывод уравнения Эйлера для разбираемого случая был корректен, нужно еще допустить, что разрешение нашей задачи лается функцией у (х), обратная которой однозначна нли, то же самое, что у(х) есть монотонная. Покажем, что от втой гипотезы легко освободиться. В самом деле, в силу доказанного каждый участок кривой у=у(х), где у' зло, должен удовлетьорять уравнению Эйлера. Нам остается, следовательно, показать, что все эти участки соответствуют одним и тем же значениям произвольных постоянных интеграла.

Но это последнее вытекает вз того, что в точке, где один участок переходит в другой, начальные данные совпадают. Общий случай. Познакомимся теперь вкратце с аналогичным выводом уравнения Эйлера в общем случае. Мы остановимся лишь нэ главной идее вывода и все детали отбросим. Итак, пусть у=у(х) дает максимальное значение интегралу у= / с'(х,у,у') «х.

Рассмотрим, как и в предыдущем частном случае, семейства полигонов П„с вершинами (х<,у,) (< =О, 1, 2, ..., и), где абсциссы х, вершин а< — а и ординаты концов уо и у„фиксированы, х,,— х,.= Ьх=— На совокупности полигонов Пь определим функцию 3„= ~Г(х„у„у<'), где У< ь< — У< У< Ь 36 пе вход от экстеемгмов еьнкций к влеилционным задачам 1гл.

Ч Как и в предыдущем случае, из членов суммы У„от у, зависят только мены у<+< — у» < г. (х,,уеу,') = Г (х<, у„ у» — х» Г(х~,,у» .. у,',)=Р(х»,, у,, ), причем »-й член содержит у, как непосредственно, так и через третий аргумент у<'. Отсюда: д''« 1, 1 ду, и, <' ЛР'„,< (хи уь у,') = Р„(х„у„у<')— где Для полигона П„, дающего минимум <„, имеем: д<„ — "=О (»=1, 2, ..., и — 1) ду, мли: а~„<(хьуьу, ) (36) В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях уравнение (36) можно записать в виде: Рж (х,, у„у,') = — <ч„д (х„у„у,'), (37) где х»=х +0(х — х»,),у,=у;+О()» — у»,), у',=у',,+0(у',— у' ).

Задачу отыскания кривой у=у1х), дающей экстр мум интегралуУ, мы будем рассматривать как предельную для отыскания полигона, дающего экстремум сумме 1„при л-+со, Ьх-+О. Переходя к пределу в уравнении (36), получим: Є— — Р'„= О. ~1 у»1х У Это уравнение Эйлера для кривой у =у(х), реализующей экстремум У. Вариация. Мы видели, что основным методом в теории экстремумов функций л <теременных было выделение диференциала функции, т.

е. главной линейной части приращения, и обращение этого диференциала тождественно в нуль в точках экстремума. Функционал <ч У= ~ г'(х,у,у')дх И б 3Ц НРОстейшАя зАдлчА ВАРиАцнонногО исчисления 37 мы рассматривали как предел функции от полигона П„: Ф 1 У„= ~) гт(х>,у„у>') Ьх (»,' — '+1 1). >=О В силу наших рассмотрений: Хд где Йу,— бесконечно малые приращения ординат нли (см. формула (37) настоящего параграфа]: сУ„= ~ ( Рж(хоуи у,') — — Р'„° (хо у„у,') ~Зу, Ьх. (38) Положим, что при и,' стремящемся к бесконечности, сумма У„стре- мится к интегралу У и сумма в правой части (38) — к интегралу ~ (р„— ~~ р„)'уй . (39) Выра>кение (39) для функционала л' есть аналог полного диференциала.

Оно называется вариацией функционала. Мы увидим ниже, что вариация есть в некотором смысле главная линейная часть приращения функционала и что уравнение Эйлера есть условие ее тождественного обращения в нуль. Метод Лагранжа заключался в создании алгорифма для определения вариаций от функционалов, т. е. в создании диференциального исчисления для функционалов. Конечно, в эпоху Лагранжа математика не обладала достаточно широким и общим понятием функции, при котором метод Лагранжа мог бы быть воспринятым именно так. Поэтому вплоть до новейшего времени понятие вариации определялось довольно формально, и вариационное исчисление занимало несколько изолированное положение в анализе. Пересмотр основных понятий анализа, более широкая точка зрении на понятие функции и основные орудия анализа позволили преодолеть эту изолированность.

С точки зрения современного анализа вариационное исчисление есть диференциальное исчисление функций более общей природы. Более тонкое и глубокое исследование основных соотношений анализа позволило как раз также возродить в широкой степени методы долагранжевского вариационного исчисления. Лля нас эти методы суть аппроксимативные методы.

Мы аппроксимируем более сложные математические объекты более простыми; в данном случае функционалы функциями конечного числа переменных. Решая задачу для функций конечного числа переменных и анализируя изменение ее решения в процессе предельного перехода, мы получаем возможность подойти к предельной задаче в тех случаях, когда непосредственное ее решение тоудно н даже практически невозможно. На протяжении этого тома мы подобными аппроксимативными методами будем заниматься лишь эпизодически. 38 пввзход от экстезмтмов эвикций к вленлционным задачам (гл.

Ч Особый случай. Если Р,, не равно тождественно нулю, то ураза' пение Эйлера есть уравнение второго порядка и его общий интеграл содержит две произвольные постоянные, выбирая которые мы можем, вообще1 говоря, найти искомую экстремальную кривую.

Рассмотрим сейчас случай, когда Г,,=О. в и В этом случае подинтегральная функция Р будет, очевидно, линейной функцией от у'. г' = М(х,у) +у'Ф(х,у). (40) Уравнение Эйлера примет вид; дМ,дМ вЂ” +у' — — — 1Ч= О, ду ду дх или после сокращений: дМ дМ ду дх' (41) /= У(М вЂ” Чу ) ~х, если за класс допустимых линий принять совокупность вс х кривых класса С,: у=у(х) (а ( х ( Ь). Например, для интеграла l= / (у' вш —..у — (х+ а)в ) с~х о уравнение (41) дает: 2 (у+ х) = О. 2 Вдоль этой кривой интеграл 1 принимает значение -=. Нетрудно ног.

казать, что это будет максимальное значение интеграла. В самом деле, 1 мп у( г у' гйп ау Ых = г в1п яу г1у = — (сову (0) — сову (1)) ( —. 1 2 у1о> Заметим, однако, что уже для интеграла 1 .У = / (у' гйп еу — (х+у)е ) с1х ( ~ а ~'( д), о Если полученное соотношение не удовлетворяется тождесгвенно, то оно определит в плоскости хОу некоторую, вполне определенную кривую, которая в общем случае через две фиксированные рами точки А и В проходить не будет — поставленная нами задача вариационного исчисления не разрешима. В разбираемом случае уравнение (41) может дать решение задачи на разыскание экстремума интеграла ь 39 9 32! ПРИЛОЖЕНИЯ уравнение (41) для которого имеет внд: у= — х, не даст ни максимума ни минимума.

В самом деле, меняя кривую у= — х в е близости от точки х=1 на конечную величину, интеграл 1 — )'(х+у)эбх изменится на величину порядка е, тогда как интеграл о 1 Ру' е1п Яусс может при этом измениться на величину конечную. ь Мы допустили, что соотношение (41) не выполняется тождественно; допустим теперь, что (41) есть тождество. В таком случае подинтегральное выражение (М+1ту') Ых = М бх+ 1тс(у есть полный диференциал †значен интеграла зависит только ог координат начала и конца кривой у =у (х) и не зависит от пути ингеграции — задача вариационного исчисления теряет смысл. 9 32. Приложения Задача о наименьшей поверхности вращения.

Среди всех кривых: у =у(х) ]у(х) и у'(х) непрерывны], имеющих концы в заданных точках А(хо,уь) и В(х„уг) (черт. 9), требуется определить кривую, которая при вращении ее около оси Ох образует Поверхность ма)нимальной площади. Эта задача является частным случаем обшей задачи разыскания минимальной поверхности, проходящей через заданный контур или через данную систему контуров. Физически эта задача приводит к определению формы жидкой пленки, натянутой на данный контур. Обозначим через у =у (х) произвольную кривую, удовлетворяющую отмеченным условиям. Как известно, площадь 8 поверхности, образованной вращением этой линии около оси Ох, выражается интегралом: И1 Я = я / у )Г1 +у'"- Ых. Черт. 9.

Так как подинтегральная функция явно от х не зависит, то уравнение Эйлера нашей задачи ичтегрнруется в квадратурах. Первый интеграл будет: уl ~ — у ~ ' =у у'1-'-Уе — Уу — =- а, 1+у е где а — произвольная постоянная, или, после упрощений: у=я]у1 — 11'1 (42) . 40 пвввход от экстгвмямов фгнкций к влгилционным задачам [гл. Ч Ради сокращения выкладок при интегрировании этого уравнения воспользуемся искусственным приемом: введем новую переменную чл ет+г '" = — — — — — = з'п в.