Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дан некоторый класс функций у(х). Мы скажем: л'[у(х)) есть функционал от функции у(х) нашего класса, если каждой функции у(х) отвечает некоторое значение у[у(х)). Поскольку геометрически функции одного переменного изображаются линиями, то функционал от них иногда называется функцией линии. Пример !. Рассмотрим совокупность всех неврерывных функций у(х), заданных на отрезке а(х (Ь. л [у(х)] = / у(х)»тх (2) в есть функционал от у(х); каждой функции у(х) отвечает определенное значение з'(у(л)). Этот функционал геометрически означает площадь, ограниченную кривою у =у(х), осью Ох н ордннзтзмн х = а, х = Ь.

пягиход от зкстгкмтмов етнкций к влгилцнонным задачам (гл. Ч 2О Подставляя в равенство (2) вместо у(х) коикретныз функпии, мы будем получать соответственные значения У [у (х)]. Положим для опрзделенности а=О, а=1: т У]у(х)] = / у(х) дх. 1 1 Если у (х) = х, то У[у (х)] = Х[а] = / х ~(х = — . 2 о 1 1 еслиу(х) =х', тоу[у(х)] =у[х] = / х Мх= —; 3 о 1 если У(х)= —, тоУ1( — 1= Гт — =1п (х+1) ~ =1п2; х+1 ' (х+11 .l х+ 1 ]з о 1 1 если у(х) = 1+ха' ~1+хе] „г 1-)-хт ~з 4 , то/ ~ 1= г —,=агс1нх~ е Пример 2.

Другим примером фучкцнонала является длина кривой у = у(х). Будем попрелснему считать а = О, Ь = 1; рассмотрим совокупность всех непоерывных функций у(х), обладающих непрерывной первой производной. Подставляя в выражение 1 у [у (х)] — / ~/ ] -[-укт ф» вместо у(х) определенные функции, получим определенные числовые значения для у[у(х)]. Например, если у(х) = х, у'(х) = 1. 1 у[у(х)] =У[х] = / )Г2»(х = р 2. ех -]-е ж Если у(х) =, (цепная ливия„) то 2 1 ,[ ";-.— ~ ( е 1 ]'~Г .г *-, "..= е ев+е в ея — е л]т е — е =./ 2 2 ]з 2 о Можно было бы привести целый ряд других примеров функционааов.

5 27[ ФУНКЦИОНАЛ В настоящей главе> когда мы будем говорить о „всех кривых", мы безоговорочно предполагаем, что мы ограничиваемся кривыми, аналитически выражаемыми уравнениями: у=у(х), где х изменяется на некотором промежутке а (х ( Ь, а у(х), обладает непрерывной первой производной. Экстремум функционалов. Уже с самого начала возникновения анализа бесконечно малых наряду с задачами об экстремумах функций и переменных появился целый ряд геометрических, механических и физических задач на отыскание экстремумов функционалов. Рассмотрим, например, следующую задачу: среди всех плоских >сривых, соединяющих две заданных точки А (хэ,уэ) и В(х„у,), найти ту, для которой длина принимает наименьшее значение. Аналитически зта задача гласит: среди всех функций у=у(х), таких, что у (хе) — уо у (хг) — у> найти ту, для которой з' [у (х) [ = / [> 1 + у э йх принимает наименьшее значение.

Мы знаем, что искомая кривая, дающая минимум длины, есть пря- молинейный отрезок, соелиняющий точки А и В или, переводя на анах, литический язык: з [у(х)] = / У~1+у йх достигает минимального хо значения, если функция у(х) есть у (х) =уз+ й(х — хо), где й= — ' . х, — хь Задача о брахистохроне. Исторически первой задачей, возбудив- шей к себе общий интерес среди математиков, была задача о брахи- стохоне, поставленная Иваном Бернулли: среди всех кривых, соединяю- ьдих две данные такси А и В, найти ту, по которой тяжелая точка, двигаясь из >поч>си А, под влиянием силы тнлсести попадет в крат- чайший срок в точку В'). Проведя вертикальную плоскость, проходящую через точки А и В, ограничимся плоскими дугами, соединяющими зти точки.

Примем за ось Ох горизонтальную прямую, а ось Оу направим вертикально вниз. Тогда точки А и В будут иметь соответственно координаты (а, 0) и (Ь, у,). Если тяжелая точка движется из А без начальной скорости, то ее скорость о связана с ее ординатой у следующим соотношением: оэ= 2ду, где д — ускорение силы тяжести, или о= )> 2ху. >) Мы здесь естественно предполагаем, что А в В не лежат ва одной вертикальной прямой.

Если бы А я В лежали на одной вертикальной прямой, то решение>> задачи являлась бы эта прямая. 12 пвэвход от экстгвмтмов эвикций к влеилционным злдлчлм [гл. 'гГ Пусть у=у(х) есть уравнение кривой, по которой движется точка из А в В. Скорость движения точки: ае гг1 +у'г йх о= — = где й1 — элемент времени. Отсюда: У1+у~г ах ~ 1+у.ь гй (3> о тс2уу Интегрируя (3), получим время Т, потребное для покрытия пути из точки А до точки В по кривой у=у(х): ь Т вЂ” а' (3') .У Г' 2яу (х) а Очевидно, Т есть функционал, зависящий от функции у (х). Требуется найти функцию у(х) [или, что то же самое, кривую у=у(х)]„ для которой Т принимает наименьшее значение.

Решение этой задачи мы дадим в следующем параграфе. Принцип Ферма. Задача о брахистохроне аналитически родственна следующей физической задаче другой природы: в прозрачной среде с переменной оптической плотностью даны две точки А и В, требуется определить траекторию луча света, идущего от точки А к точке В.

Эта задача сводится к задаче на разыскание экстремума функционала на основании так называемого принципа Ферма: из всех кривых, соединяющих точки А и В, траектория луча спета есть линия. распространяясь вдоль которой свегп придет из А в В в кратчайтий 'срок. Остановимся на плоском случае. Примем за плоскость распространения света плоскость хОу. Пусть хе, уо и х„ у, суть координаты точек А и В, а у =у (.т), хо (х ( х, есть некоторая кривая, соединяющая эти точки.

Повторяя рассуждения, приведенные в предыдупгем примере, получим: время 7 распространения света вдоль кривой у =у (х) из А в В выражается интегралом: Т= — ) У йх; 1 о )х,у (х)) этим самым задача определения траектории луча света сводится к определению линии, для которой функционал принимает наименьшее значение. Предмет вариационного исчисления.

Решение отдельных задач на отыскание минимума или максимума функционалов привело к созданию новой математической дисциплины — вариаиионного исчисления. В этой главе мы покажем, каким образом, отправляясь от задач на разыскание экстремума функций многих переменных, можно предельным переходом подойти к решению задачи на разыскание экстремумов функционалов.

$28] элемвнтавнов Решение някотовых ваяиационных задач 13 % 28. Элементарное решение некоторых вариационнык задач Уо <У <Уз+ и =Уй (5) эта полоса ограничена прямыми, параллельными оси Ох и проходя- щими через точки А и В. Разобьем прямыми у=то+я (~=1 2, и 1) И и нашу полосу (5) на и горизонтальных полосок (черт.

1): Уо+' — (У<Уз+ „— (1=8 1 * и — 1). (5') . и (1+1)и .Заменим мысленно данную среду распространения света, с непрерывным изменением скорости света, средой "Я„ со скачкообразным изменением скорости света, именно: в пределах ю'-й плоскости (5'), 1=0,1..., и — 1, скорость света ту, будем считать постоянной и равной ~он о(уо+ и). Задачу':)распространения света в среде Я мы будем рассматривать как предельную задачу распростране- Черт. 1. ния света в среде 3„, когда и неограниченно растет.

Задача распространения света в оредеж„ есть задача на разыскание минимума функции (и†1)-го переменного; эта задача была нами решена в й 15, пример 4. В примере 4 й 15 мы уже определили путь луча света в среде, в которой оптическая плотность; а следовательно и скорость, менялись только скачками. В основу решения был как раз положен принцип Ферма. Мы нашли, что в этом случае луч света представляет собою по- лигон. Разобранная задача, однако, не исчерпывает задач, встречаю- щихся в физике и астрономии на определение пути луча света.

Часто приходится иметь дело с средами с непрерывно меняющейся плотностью. В этом случае путь луча будет кривая с непрерывно вра- В(тьу) . Распространение света. Решим поставленную в предыдущем параграфе задачу о траектории луча света, распространяющегося в плоскости хОУ и идущего от точки А(хо,уо) к точке В(х„у,). Ограничимся пока случаем, когда скорость о непрерывно зависит от у: о= о (у). Будем обозначать через Я нашу плоскую среду распространения света. Построим в плоскости хОУ горизонтальную полосу ширины у, — уо — — Ь: 14 пвввход от экстгвмхмов эвикций к влгилционным задачам [гл. ~Г (6) Условие минимума Т„ (см.

Я 15): соз Ч, е, (7) где л,— угол наклона 1-й стороны полигона к оси Ох; л не зависит от 1. Условие (7) определяет полигональную траекторию светового луча. Перейдем теперь к пределу, когда и-+ со. От скачкообразного распределения плотностей и скоростей света мы перейдем к непрерывному их распределению; полигоиальные траектории перейдут в криволинейные, выражаемые уравнениями у =у(х); время Т движения света по траектории выразится вместо суммы (6) интегралом: Т= г 1х; l п(д) Т есть предел соответственных Т„. Будем считать, что при этом предельном переходе полигональная траектория среды 3„, дающая минимум Т„, переходит в криволинейную траекторию среды Я, дающую минимум Т; при этом направления сторон полигоиальной траектории переходят в направления касательных к криволииейнсй траектории.

При этих гипотезах условие минимума (7) для Т„перейдет в условие минимума для Т: с05 ч и (у) — = 7г = сопьй щающейся касательной. Примером такой задачи может служить задача определения пути, который проходит луч света от светящейся точки, например звезды, до нашего глаза.

Этот путь будет криволинеен, ибо плотность атмосферы меняется непрерывно с высотой. Для большей простоты примем, что поверхность земли есть плоскость (кривизна земли мала по сравнению с толщиной атмосферы). Введем систему координат. За начало координат примем положение глаза. Светящаяся точка пусть расположена в плоскости хОу, ось Оу направим вертикально вверх, ординату светящейся точки обозначим через л.

Пусть теперь о(х,у) есть скорость распространения света в точке с координатами х,у. Эту скорость будем считать заданной функцией от х и у, причем будем предполагать, что о (х, у) есть непрерывнав функция от х и у . По принципу Ферма траектория луча света в Я„есть полигон, двигаясь по которому луч, исходящий из точки А, достигнет в кратчай- 1И ший срок точки В. Стороны полигона соединяют прямые у=уз+в л (1 + 1! л и у=уз+ „ . Обозначим через х, абсциссу 1-й вершины этого 1и х полигона (с ординатой уе+ — [, получим для времени Т„движения света по полигону выражение: Если у =у(х) есть уравнение искомой траектории, то 1 соз о= У1+д"' Уравнение (7) перейдет в диференциальное уравнение: 1 =й= сопзй о(у) У 1+у'ь (8у Полученное диференциальное уравнение с разделяющимися переиенными решается в квадратурах; его общий интеграл будет иметь вид: /' "-' +с, (8'д где С в константа интеграции.