Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 10

Для зтих функций /(у) вырождается в функцию конечного чиала переменных — именно коэфициентов а„аз, ..., а„: у(у ) =у(амаз,..., а„). Будем теперь искать среди функций у(")(х) ту, которая обращает У(у(")) в минимум, т. е. будем искать последовательность из п козфициентов: а > а,...,а„, дающих минимум функцииу(ан а,..., а„) (и) (и) (и) Числа а,(), а,(),...,а ьт) найдутся как решения системы п уравнений с и неизвестными: ((=1, 2,..., и). — =О да, Им отвечает функция: у )(х) = ~~'„а,сюос(х).

с=( Пусть п неограниченно возрастает. Естественно ожидать, что функции у )(х) при этом стремятся к функции у(х), реализующей минимум й зз] метод счетного множиствл пвгвмвиных 51 нашего функционала 1(у). Во многих задачах это на самом деле имеет место. Во всяком случае перед нами встают при этом следующие задачи: а) исследовать сходимость последовательности функций у"; Ь) в случае сходимости уэо(х) к некоторой функции у(х) доказать, что предельная функции у (х) реализует минимум У(у); с) если мы в качестве приближения к искомой предельной функции у (х) принимаем одну из функций уэй(х), то встает задача об оценке ошибки, т. е.

оценке разности ~у (х) — у~"~(х)~. Метод Рица нашел широкое применение как в теоретических исследованиях (ем., например, дополнение П!), так и в задачах приближен- мого нахождения экстремальной функции. Более подробно о нем— во втором томе, в главе, посвященной аппроксимативным методам вариационного исчисления. ГЛАВА Ч! ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ АНАЛИЗА В 34. Дополнительные замечания об экстремумах функционалов Общее замечание. В предыдущей главе мы находили необходимые условия того, чтобы данная линия давала экстремум некоторой функции от линии.

Методы, которыми мы решали подобные задачи, заключались в аппроксимации наших функций от линии функциями от конечного числа переменных, решении задачи об экстремуме для последних и переходе к пределу. Мы не устанавливали законность перехода к пределу, мы не рассматривали также вопроса, дает ли всегда предел экстремумов от аппроксимирующих функций искомый экстремум функции от линии, ибо это исследование выходило за пределы поставленной нами задачи. Такое исследование, будучи проведенным, дало бы нам не только диференциальное уравнение экстремали, но и аппроксимацию решения этого диференциального уравнения решением системы обыкновенных уравнений, т.

е. результат значительно больший; именно поэтому он связан с значительно более тонкими рассмотренкями, которыми мы займемся во втором томе. Для нашей более скромной задачи нахождения вида диференциального уравнения искомой экстремальной кривой путь этот несколько громоздок даже в простейшей задаче, если пожелать сделать его вполне строгим. При переходе к более сложным задачам эти его недостатки окажутся еще более заиетными. При решении вариационной задачи мы все время привязаны к функциям конечного числа переменных; у нас нет пока алгорифма, специфического для функционалов и поэтому более гибкого. Задача создания такого алгорифма была поставлена еще Эйлером и решена Лагранжем. Вместе с тем был найден .новый путь для развития вариационного исчисления.

Методы же Эйлера снова возродились сравнительно недавно, когда всплыли вопросы об аппроксимации решения вариационных задач. Суть метода Лагранжа заключается з том, что на функции более общей природы обобщаются те понятия, с помощью которых мы строили теорию экстремума функций конечного числа переменных, именно понятия диференциала.

Принцип, которым мы пользовались в этой теории: е точке вксвнремума диференциал равен нулю, обобщается на функционалы. Мы в дальнейшем избавимся от необходимости для каждой отдельной вариационной задачи или для каждого цикла задач возвращаться к апроксимирующим функциям. Геометризация теории функций конечного числа переменных тоже может быть перенесена в известной иере на теорию функционалов, как й 341 дополнитхльныв злмачлния ов экстввмэмлх еэнкционелов 33 мы это сделаем ниже. Мы построим „прострзнство", функция точки которого и будет функционалом. В ближайших параграфах мы обобщим некоторые основные понятия главы 1.

Допустимые линии. Пока мы начнем с более тщательной и строгой постановки задачи: найти линию, для которой некоторый функционал достигает экстремума. Очевидно, нужно прежде всего дать характеристику того семейства линий, на котором наша функция определена, среди которых ищется кривая, дающая экстремум. Такие линии называются допустимылиь линиями нашей вариационной задачи.

Задача наша будет формулирована следующим образом. Дан класс С допустимых линий, на которых определена функция У(Т) от линии т. Найти необходимые условия того, чгпобы для линии то нашего класса функпия У(Т) достигала минимума (соответственно максимума), т. е. чтобы У(т) )~1(то), где Т вЂ” любая другая линия этого класса 1для максимума У(Т) < 1(Го)). Определение класса допустимых линий меняется вместе с задачей.

В так называемой элементарной задаче вариационного исчисления допустимые линии были плоские кривые, соединяющие две заданные точки. В изопериметрических задачах, рассмотренных в 3 30, допустимые линии должны были обладать определенной длиной. Эти ограничения непосредственнно явствуют из условий задачи.

Кроме того, на допустимые линии мы налагаем еще ряд ограничений теоретико-функционального свойства, зависящих также от характера задачи. Бслн мы рассматриваем функции от линии, заданные интегралами /Р(х,у,у')бх, то мы должны требовать, чтобы подинтегральное выражение и интеграл имели смысл. Например, в класс допустимых линий подобной задачи, очевидно, не может попасть линия, не имеющая нигде касательной. Мы ограничимся пока для функций от линий, выражаемых интегралами /Г(х, у, у')бх, классом допустимых линий, состоящих нз линий у=у(х), где функция у(х) непрерывна вместе со своей первой производной.

В дальнейшем мы перейдем к классу допустимых линий, имеющих точки перелома. В томе 11 мы перейдем к задаче в ее наиболее общей трактовке. Рассматривая линии, заданные уравнениями у =у(х), где у(х)— однозначная функция, мы тем самым молча делаем еще одно ограничение на класа допустимых линий: последние пересекают прямые, параллельные оси Оу, только в одной точке.

Чтобы ивбавиться от этого ограничения, мы должны были бы перейти к параметрическому представлению уравнений кривой, что мы и сделаем ниже. Таким образом класс допустимых линий мы ограничиваем в двух направлениях: с одной стороны, ограничения теоретико-функционального характера (например непрерывность функции, изображающей линию и ее производных).

От этих ограничений в связи с обобщением понятия интеграла, длины кривой и т. п. можно частично отказаться н ставить аадачу в более общем виде. С другой стороны, мы делаем гипотезы, меняющие по существу характер задачи(например равенство длин допустимых линий в рассмотренной изопериметрической задаче).

Изменения Озовщение Основных понятий АнАлизА [гл. Ч1 б4 этих гипотез дают нам каждый раз новые задачи, требующие своих методов решения. Для сокращения письма в дальнейшем мы будем употреблять следующую терминологию. Мы скажем, что криваяу=у(х) (а (х (Ь) принадлежит классу Сд, если функция у(х) непрерывна вместе со своей первой производной при а (х (Ь. Мы скажем вообще, что кривая у=у(х) (а (х (Ь) принадлежит классу С„, если в закрытом интервале (а, Ь] функция у(х) непрерывна вместе со своими первыми н производными. Вполне аналогично мы введем понятие класса С, для кривых, заданных в параметрической форме: кривая принадлежит классу С„если она обладает непрерывно вращающейся касательной. За класс 0д(0„) мы примем непрерывные кривые, состоящие из конечного числа кусков кривых класса Сд(С„). ф 35.

Абсолютный и относительный экстремум Абсолютный минимум. В теории экстремумов конечного числа переменных мы различали экстремум абсолютный и экстремум относительный. Мы видели важность, такого расчленения задачи. Многие задачи на абсолютный экстремум решались до конца применением теорем Вейерштрасса и основного необходимого условия. Задачи на относительный экстремум удалось до конца решать рассмотрением второго диференциала, причем исследование второго диференциала было специфическим методом для задач на относительный экстремум. Аналогичное расчленение понятия экстремума мы произведем и для функций от линий. Мы скажем, что данная функция 1(у) от линии имеет в данном классе допустимых линий абсолютный минимум, достигаемый на кривой То нашего класса, если для любой кривой т нашего класса у(7) )~ ~(то).