Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 9

Е. Жуковским свойство эллиптических орбит. Время, в течение которого планета, пршпягиваемая солнцем, помеигенным в обок усе Р, пробегает дугу АВ эллиптической траектории„ равно постоянному множителю —, помноженному на действие при а ' движении планеты по той же дуге, если бы солнце было расположено в другом фокусе (И. Е. Жуковский, Собрание сочинений, т. 1, стр. 355).

где г, = 2а — г есть радиус-вектор точки эллиптической орбиты по отношению к другому фокусу эллипса. Поместим теперь притягивающую точку в другой фокус нашего эллипса и рассмотрим движение по той же эллиптической орбите. При таком перемещении притягивающего центра роли радиусов-векторов г и г, при этом переменятся, и в силу формулы 151) мы получим для скорости о, нового движения: 46 пвгвход от экстгвмгмов эвикций к вкгилционным задачам [гл. Ч о Наша задача приводится таким образом к следующей: среди функций х=х(з), у=у(з), периодических с периодом 7 и удовлетворяющих условию (53), определить те, для которых интеграл Я принимает наибольшее значение. Разложим х и у в ряды Фурье '): 1 'ю Г 2кл 2кл х= — — ао+ т [а„соз — з+Ь„з!и — з~ я Г )> 1 ъ-~ l 2кл 2вл у= — со+ т [с соз — г+Ы з!и — — — з! 2 21[,к ю г ) 3 (54) где а„, Ь„, с„, ۄ— неизвестные коэфициенты Фурье; отсюда: ~Кг ъч / 2кл .

2тл 2гл 2кл — — — а з!и — г+ — --Ь соз — — -- з~ с!з к~а ! г и Г + г ь г!у ът Г 2кл 2кл 2кл 2кл л — д ! — — с 5!и — 3+ — Н соз — 8). Г ь (55) Для дальнейших выкладок заметим две формулы из теории рядов Фурье. Если а„(л=О, 1, 2,...) и р (1=1, 2,...) суть коэфициенты Фурье интегрируемой в квадрате функции г(х) с периодом Х и если 7„и оь — коэфициенты Фурье функции о (х) с тем же периодом 7, то / р-(х)1з ! ~о [ Ъ~~( в [ я гя) (56) е 3 — ! У(х) р(х)~2х= — цоТо+ ~ (а 7„+г ок). 2 Л 1 о Выразим теперь через коэфициенты Фурье интеграл Я.

В силу (54), (55) н (57) получим: Я = и ~, л (а„Ык — Ь„ск). (53) (57) Кроче того, в силу условия (53), ! 1 [( — ')з+( —.".) "=' (59) о Отсюда, выражая интеграл (59) через коэфициенты Фурье, в силу (55) и (56) получим: У = — "' — ~ лв(а„в+ Ь„в+ с„я+ а'„в). (60) т) Мы допускаем, что функции х (з) и у (х) обладают непрерывными производнымн, удовлетворяющими условию Ли~шица. Эти гипотезы относительно х (з), у(в) нужны для того, чтобы иметь возможность разлагать их в ряды Фурье. В конце мы покажем, что зти гипотезы не повлияют на общность решения.

При этих обозначениях площадь о области, ограниченной кривой (52), выразится интегралом: б ЗЗ) метод счетного множества пзгвмвнпых 47 Пользунсь полученными формулами (58) и (60), вычислим разность между площадью круга, ограниченного окружностью длины 1, и площадью Я: — — Я= — ' ~~~~~ па(а„з+ Ь в+ с„з+ г1„з) — я ~~1 п(а„а'„— Ь„с„) = = — У ',(па„— а'„)з -',— (пЬ„+ с„)е+ (пз — 1) (с„'+г1„)з'1) О. Знак равенства достигается только прн а,— а', = О, Ь, +с,= О, а„= = Ь„= с„= г(„= 0 (п = 2, 3, 4,...

), т. е. когда х= — аз+а, созз+Ь,з1пз, 1 2 1 у= — са — Ь, сова+а, з1п з. 2 Следовательно, искомая кривая есть окружность: Итак, среди всех замкнутых кривых данной длины б х=х(з),, у=у(з), удовлетворяющих отмеченным выше условиям непрерывности, окружность ограничивает наибольшую площадь. Покажем, что от введенных условий непрерывности функций х'(г) и у' (з) можно освободиться.

В самом деле, допустим противное, что среди всех линий данной длины 1 существует линия, ограничивающая Р плошадь о, ) 4 . Тогда, очевидно, можно построить аналитическую кривую длины 1 и ограничивающую площадь, как угодно близкую к Юы Р т: е. плошадь большую, чем —, но это противоречит доказанному 4г. ' раньше, что всякая аналитическая кривая длины 1 ограничивает пло- Р щадь, меньшую — .

чг. 3 а и е ч а ни е. Можно рещение разобранного примера строить несколько иначе: доказать сначала, что искомая кривая выпукла, и отсюда показать, что лля всех кривых, среди которых могут быть кривые, дающие максимум Б, законно писать разложение з ряды Фурье. Крыло наименьшего индуктивного сопротивления. Допустим, что з пространстве, наполненном идеальной несжимаемой жидкостью, поступательно двигается тело (крыло аэроплана конечного размаха), обладающее плоскостью симметрии, причем скорость движения оо есть величина постоянная, параллельная плоскости симметрии крыла. Выберем ортогональную систему координат, неразрывно связанную с телом: плоскость уОя будем считать расположенной в плоскости симметрии, ось Оу имеет направление ое.

При этих условиях наше тело при движении будет испытывать со стороны жидкости определенное воздействие. В силу симметрии мы можем считать, что равнодействующая всех сил давления жидкости на крыло расположена в плоскости уОя. Обозначим через Р слагающую этой силы по оси Оя и через Π— по оси Оу. 48 пвбвход от экстеямгмоз эвикций к вевииционным задачам [гл. Ч Компонента Р называется подьемной силой крыла, а компонента ьс — лобовым сопротивлением. Как показали исследования Жуковского, Чаплыгина, Прандтля и др., можно (считая жидкость идеальной и несжимаемой, следовательно, пренебрегая трением) дать теорию возникновения этих сил Р и ф теорию, достаточно хорошо согласующуюся с экспериментом.

Мы сейчас дадим нужные для дальнейшего две основные формулы этой теории. Обозначим через С контур, полученный от пересечения границы обтекаемого тела плоскостью, параллельной уОе и отстоящей от нее на расстоянии х. Пусть теперь о =о (х, в) есть скорость жидкости в точке, принадлежащей С„, относительно крыла. Назовем циркуляцией Г скорости о жидкости вдоль контура С следующий интеграл: Г = [ и соз 0 бв = Г (х), где о!в есть элемент дуги контура С„а О есть угол, образованный скоростью и с положительным направлением (в сторону возрастания в) :кривой С, ') в соответствующей точке. Имеем: Г ( — х) = Г (х), где Р— размах крыла: разность между максимальными и минимальными значениями х точек крыла. При этих обозначениях подъемная сила Р (по теореме Жуковского) будет равна; Р=Р в!о / Г(х) бх, (61) слагающая <~: 1 г — Г (х) бх 4е (62) ! ! — — ! г где р — плотность жидкости.

Выражение Щ вычисляемое по формуле (62), носит название индуктивного сопротивления крыла (здесь не учитывается трение). После сделанных вводных замечаний поставим задачу: катгм должно быть распределение циркуляции Г(х) вдоль крыла, чтобы при данной подьемной силе индуктивное сопротивление крыли было минимальным? !) Направление движения по С есть положительное, когда, двигаясь в етом яапразлении, мы обходим С, по часовой стрелке, если при этом на контур смотреть с положительной стороны осн Ох. 49 % ЗЗ) МЕТОД СЧЕТНОГО МНОЖЕСТВА ПЕРЕМЕННЫХ Введем новое переменное 0: 1 х= — 1С050 2 (О (О <я). Обозначим через Г,(0) функцию, в которую при этом перейдет Г (х): Г (0)=Г ( — Усовб). В силу отмеченных выше свойств функции Г имеем: Г, (я — О) = Г, (О). Полагая Г ( — О) = — Г (0), разложим функцию Г, в ряд Фурье '): Г, (0) = А, в!п О+ Аз в!и ЗО +...

Подставляя в (61), получим: / /' т. Р= рео — у в!НО(А,Е!НО+А я~30+...)Ю= — 'Урн~АМ 0 Отсюда: ОР А = — —. тфо Таким образом можем считать коэфициент Фурье А, заданным, нам нужно определить коэфициенты Ав, Аа,... так, чтобы Я было минимальным. Выразим 1~ через этн коэфициенты; для этой цели положим: 1 0 = — т' сов р. 2 Будем иметь: а% =,у Ыр=(Ат совф+ЗАЕ сов ЗВ+...) бр. Подставляя это выражение в (62) и пользуясь легко получаемой формулой: / ' — 00/ +/ бр— сов Ле Ив /' ф /' сов ЛР— сов лз я в!и ЛО = с05 МО сов Р— сов О,т сов Т вЂ” сов О ',т сов о — сов О в!и О о получим: / — „' = .

(А, япО+ ЗАЕ вшЗО+...), !) = — р / (Ат япО+ ЗАЕ яп ЗО+... )з т!О = — яр(Ат~+ЗАзв+...) 1 /' 1 о нли = — + — '(З 4з'+ ЗАЕ'+ ). тв ров т) Пользуясь замечанием, сделанным при решении предыдущей задачи, мы будем искать решение задачи, не нарушая его общности, среди функций Г (О) таких, что как Г (О), так и Г' (О) разлагаются з сходящиеся ряды Фурье. 50 пзтзход от экстгзмтмов еэнкций к вагилционным злллчлм (гл.

1( Таким образом: 2Рт 0)~— вРр ц Минимальное значение лля (;) получим, если положим Аз = Аь =... = 0; в этом случае: Г (х) = — юп () = — у 1 — —. хз . 4Р . 4Р Г 4 "етое 'Ч'соо Таким образом наивыеоднеашая форма крыла соответствует эллиптическому распределению циркуляции. В этом заключается теорема Мунка. Метод Рнцв. Описанный способ нахождения функций, реализующих экстремум, приводит к задаче решения системы бесконечного множества уравнений с бесконечным множеством неизвестных, задаче, вообще говоря, чрезвычайно трудной. Метод Рица позволяет находить приближенное решение задачи путем сведения ее к системе конечного числа уравнений с конечным числом неизвестных.

Пусть требуется найти экстремум (для определенности в минимум) функционала у (у), где у=у (х) †некотор класс функций, представляемых в виде рядов: у (х) = ~~, арс(х); с=г а,— некоторые вещественные коэфициенты, ом оз,..., ою ... — некоторая последовательность функций (обычно ортогональная). Рассмотрим и — параметрическое семейство функций: л у(") (х) = ~, арс(х), с=! разлагаемых в конечные ряды по функциям ос (х).