Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 8

2 Подставляя выражение у' в уравнение (42), получим: у = а )/ 1 + зйз вр = а сй а. (43) Этим самым мы выразили у через а. Попытаемся выразить также х через а. Для этой цели продиференцируем по х равенство (43): у =азпа —. пч аг По условию у' = зп а, следовательно: а — = 1. Й~ ах Отсюда х= ар+ р, где р — новая произвольная постоянная. Таким образом общий интеграл уравнения Эйлера в параметрической форме примет вид: х=ар+ р, у = а с'и а х — я у= а с'и —. « Уравнение (44) показывает, что семейства экстремалей есть семейства кривых, полученных из цепной линии у=сйх путем ее подобного преобразования с центром подобия в начале координат (а есть коэфициент подобия) и поступательного перемещения в направлении оси Ох (р есть величина смешения).

Пользуясь отмеченным выше свойством подобия всех кривых, изображающих общий интеграл уравнения Эйлера, легко дать простой геометрический прием для определения двух произвольных постоянных из условия, что экстремаль должна проходить через две заданные точки А и В. Займемся определением а. Пусть значение а, соответствующее искомой кРивой, Равно ае. Обозначим чеРез Те кРивУю У х — с'и— «« «« и через Т, кривую 7= спх. Обозначии, кроме того, через А, и Вь точки кривой ты соответствующие (при подобном преобразовании) точкам А и В кривой тв.

41 ф 32) пРилОжения Пусть теперь Се и С, †точ пересечения пряных АВ и А,В, с осью Ох. В силу подобия те и Т, (центр полобия — в начале координат), с одной стороны: ве 1 АВ (45) АгВ1 с другой стороны, в силу того же подобия точна С, получится как пересечение с осью Ох геометрического песта точек, делящих внешним АВ образом в отношении =. отрезки прямых, параллельных АВ и заклю- СВ ченных между точкзми кривой т,. Таким образом построив указанное геометрическое место точек, иы найдем точку С,; ' проведя через нее параллель прямой АВ, мы найдем в пересечении с т, точки А, и В„ а отсюда по (45) — значение ае.

Значение р определится сразу из условия прохождения кривой через данную точку А (или В). Пусть хе< хг Проведем через А параллель оси Ох. Эта параллель Х пеРесечет кРивУю У=аесЬ вЂ” в двУх точках: (се, т)е) и (со тй). Считав ае 1е < Ц„очевидно, получим: го = хо — ~о х у=а сЬ— а (46) проходила через точку А (хе> уе). Для этой цели возьмем какую-нибудь кривую сеиейстза (46), например: у = сЬ х, (47) 1) Для дальнейшего будет существенно отметить, что яостроеяиае вами ° мше геометрическое место точек есть кривая вогнутая. з) Геометрическое место точек касается осн Ох.

где ре есть значение р, соответствующее искомой кривой. Имея значение ее, значение второй произвольной постоянной р можно всегда определить и притом единственным образом. При определении и возможны три случая '): 1. Через А и В возможно провести две крьвые семейства; в этом случае минимальную кривую можно определить, вычисляя интеграл вдоль каждой из этих кривых, искомая кривая будет та, вдоль которой интеграл будет иметь меньшее значение.

2. Через А и В можно провести одну, и только одну, кривую семейства; здесь искомая кривая определяется единственным образом з). 3. Не существует кривой семейства (45), проходящей через А и Вс в этом случае среди линий у=у(х) нет кривой, дающей минимум рассматриваемого интеграла: зздача неразрешима. Разберем подробно все эти случаи, предполагая, что точки А и В расположены симметрично относительно оси Оу. Йтак, допустим, что х, = — хе и у, =ус; тогда р =- О, и наша задача сводится к выяснению, в каких случаях возможно определить константу а так, чтобы кривая 42 пкеаход от экстеемгмов ехнкций к влеилционным задачам [гл. Ч и проведем к этой кривой касательные через начало координат: О Т и ОТ„как указано на прилагаемом чертеже 10: ОТ: у=Ьх, ОТ,: у = — Ьх.

Пусть точка М(а, Ь) и М'( — а, Ь) суть точки касания. Любая кривая семейства (46) получается из кривой (47) путем ее подобного преобразования с центром подобия в начале координат. Отсюда заключаем, что каково бы ни было а, кривая (46) целиком расположена внутри вертикального угла ТОТ, и касается прямых ОТ и ОТ, в точках М,(аа, аЬ) и М, ( — иа, аЬ).

Косда а меняется от нуля ло оо, точка касания М скользит по лучу ОТ от начала коорлинат в оо, и семейство кривых (46) заполняет весь угол ТОТ, так, что через каждую точку, лежащую строго внутри угла, проходят две кривые семейства, и через кажтт дую точку на луче ОТ вЂ” одна кривая. Из этих геометрических построений непосредственно следует, что если точка А, а следовательно и В, расположены вне угла ТОТ„ уо ( /гхо, то задача решения не имеет. Если А находится на >Та Ь[ ОТ (уе — — Ьхе), то можно провести кривую семейства (46) и притом только одну.

Наконец, если А находится внутри угла ТОТ„то через точки А и В проходит а две кривые семейства (46); в этом случае Черт. 10. можно убедиться непосредственным под- счетом, что интеграл будет иметь меньшее значение, если взять ту из этих кривых, которая соответствует большему значению а, это можно обнару>кить совсем просто, если хе бесконечно мало, а уе конечно. В самом деле, тогда кривая семейства (46), соответствующая меньшему значению а, при вращении образует поверхность площади 2куее, а кривая, соответствующая большему значению, при вра>цении образует поверхность площади 2яхеуе (и в том и другом случае пренебрегаем бесконечно малыми высших порядков); уо — конечно, хо — бесконечно мало, следовательно, 2аУоа >2кх„Уе.

В предыдущих примерах при любом расположении точек А и В вариационные задачи имели вполне определенные решения, на данном примере мы обнаруживаем впервые случай, когда эта задача не имеет решения. Дадим вкратце объяснение этому явленио. Итак, допустим, что точки А и В находятся вне угла ТОТ, (черт. 11). Опустим из А и В перпендикуляры АА, и ВВ, на ось Ох. Если теперь вращать ломаную АА,В,В около оси Ох, то мы получим поверхность, состоящую из двух вертикальных кругов площади 2куез.

При гипотезе: уе < Ьхе можно доказать, что какова бы ни была линия 7., ф 32] ПРИЛОЖЕНИЯ оа =й( — '+й) (48) оаа 2 где А= — —— го Черт. 11. В силу принципа Мопертюи-Эйлера орбита в исследуемом движении есть зкстремаль интеграла / ~/ — +Ь с(в= / 1,à — +й ° 1Гге+г'"йу (г'= — ) Так как подинтегральное выражение не зависит явно от э, то уравнение Эйлера принимает вид: га)/ '+й =С, )Гге+ г'е откуда аа+С,=С / . =агссоз йг Ст — г г '1/2 + ага — С-' г ТГ!+ ЛСТ С, С, — постоянные интегРации.

Окончательно приходим к уравнению траектории: Движение совершается по коническому сечению с зксцентриситетом е = ]/ 1 -+ ЬС'. В зависимости от начальной скорости оо мы имеем соединяющая А с В и отличная от ломаной АА,В,В, площадь поверхности, образованной вращением 1. около оси Ох, будет всегда больше 2еуов и, с другой стороны, как бы мало ни было число е)0, всегда можно провести кривую, обладающую непрерывно вращающейся каса. тельной так, что плошадь соответствующей поверхности будет меньше 2ЯУОЕ+е.

Таким обРазом кРиваЯ, РешающаЯ РазбиРаемУю задачУ, выражается в ломаную АА,В,В и не может содержаться в семействе экстремалей, состоявшем из кривых с непрерывно вращающейся касательной, что вполне согласуется с приведенным выше критерием возможности решения. Планетное движение. Рассмотрим систему двух точек, взаимодействующих по закону ньютоновского тяготения. Считая одну точку неподвижной, исследуем движение подвижной точки. Переходя к полярным координатам (г, ~), мы выразим потенциал ньютоновского тяготения в виде — (д — постоянная); обозначим чег а рез оо начальную скорость и через го начальный радиус-вектор движущейся точки. Тогда: 44 пвввход от экстевмумов етнкций к влеилционным задачам 1гл.

Ч случай эллиптической, параболической или гиперболической орбиты При воя( —, й( О, е(1 — случай эллиптической орбиты; 2э го при воя= —, й= О, е=1 — случай параболической орбиты; 2н го цри о з > —, й > О, е > 1 — случай гиперболической орбиты. 2н го ' В случае эллиптической орбиты мы найдем большую полуось а эллипса из формулы: Со 1 — ег Л "оо . е. — = — — — = — й.

- гбо) го К Полуось а полностью определяется начальным положением го и начальной скоростью оо, не завися от направления этой скорости. Направление начальной скорости, как видно из предыдущих формул, не влияет на то, будет ли наша орбита параболической, эллиптической или гиперболической. Из 148) и 150) следует: 151) Скорости движений по эллиптической орбите в случаях притягиваюигей массы, помегценной в различных фокусах, обратно пропорциональны. Сравнивая выражения для времени Т и для действия У прн движении по дуге траектории: Т=/ ~, сг= / ойв, получим найденное И.