Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 5

Подставляя эти выражения в (16), мы получим диференциальное уравнение первого порядка для определения искомой траектории. Получаемое при этом диференциальное уравнение имеет довольно громоздкий вид, мы его здесь приводить не будем. Фактическое определение траектории по заданным С, тл„ те„ лучше определять непосредственно иа (16). Приведем в заключение одну форму уравнения (16), воторая имеет интересную механическую интерпретацию.

з 30) эламвитлвнов гашения изопявимзтгичяских злдлч 2б Продиференцируем соогиошени (16) по 1; получим: Ыт . Ии и созе — — зшо — = О. ас ' сй (177 Обозначим через а направление оси самолета, а через д направление„ перпеядикулярное к а, и пусть тв, и явь †проекц тв иа эти направления. Будем иметь: и = С+ тв.. Отсюда: а'и агв, дв, иа дм„, йе сп да ае да дм, всозо= — 'зш да У но так как — ' = О, то дгеа дев, де℠—: — "=совр: ( — з1пф.

да ' дЬ Отсюда: дю, а =в дЬ ' й 30. Элементарное решение некоторых изопериметрических задач Задача о тяжелой цепи. Покажем сейчас, что аналогичными предельными переходами могут быть весьма просто решены задачи, которые приводятся к так называемой изопериметрической задаче вариациоиного исчисления. Как простейший пример разберем задачу на определеиние форм равновесия тяжелой гибкой иерастяжимой нити, закрепленной своими концами.

Задача определения формы равновесия такой нити сводится к определению такого ее положения, которое дает самое низкое положение ее центра тяжести. Ограничимся нитями, расположенными в вертикальной плоскости хОу, причем за ось Ох принята горизонтальная прямая. Мы приходим к следующей задаче: среди всех плоских линий (нитей) данной длины, концы которых лежат в заданных точках А(хе,уе) и В(хоуь), определить ту, у которой ордината центра тяжести минимальная. То обстоятельство, что мы ограничиваемся линиями данной длины, есть следствие условия иерастяжимости нити. дм„ ь) †" — есть производная ге„ в взпразлеиии а.

да аи Таким образом если подставитЬ в (17) найденное выражение лля— Ф си и если через а = — обозначить угловую скорость вращения самолета, Фт Ю то уравнение (17) примет вид: 26 пятаков от вкстгвмгмов егнкций к вавньционным алданам 1гл. Ч Ордината У центра тяжести линии у=у(х) есть функционал, кото.рый выражается формулой: и> У= — / у$Г 1+у'~ Нх, Ж> У (18') (19) Кроме того, обозначая через х> абцнссу г'-го щарнира, очевидно, будем иметь: х — х.

= Лз соз ю .. (19') Отсюда, деля почленно (19) н (19'), получим: Заставим теперь Ьз стремиться к нулю; тогда, обозначая через у(л) уравнение искомой кривой, будем иметь: где о — угол между касательной н осью Ох, или 1 соя >г = У 1-1-.г>е Уравнение (20) в пределе перейдет в: Полагая: — — =а н Т > > у =и> получим: и' = я у' 1+ ие. х> .Мы приходим к окончательной формулировке задачи.

Среди всех линий у=у(х), соединяющих точки А и В и удовлетворяющих условию (18'), найти ту, для которой функционал у достигает минимума. Подобного рода задачи называются изоиерииетрическими (слово „нзопериметрическая" означает „равнодлинная"). Рассмотрим сначала приближенно гибкую нить как шарнирный по.лигон с н звеньями. Обозначим через Лз длину отдельного звена многоугольника. Пусть лбз = ! †дли нити. Сохраняя обозначения, принятые при решении примера на равновесие шарнирного многоугольника, будем иметь (см. 9 16, задача 2): и> ья 1я~у. „— 182.= — — = — й —.

э 301 элвмвнтьенов Решение нзопвтиметвнческих задач 27 Решая последнее дифереициальиое уравнение, получим: и = зп а (х + С ), откуда у = / и йх = — вп а (х + С,) + Ся . Мы получим таким'образом уравнение цепной линии (черт. 7), зависяшее от трех параметров. Эти три параметра можно определить, пользуясь тремя начальными условиями задачи: 1) длина нити равна 1, 2) и 3) кривая проходит через две заданные точки А и В. Изопернметрнческая задача в узком смысле.

Среди замкнутых линий данной длины определить линию, ограничивающую наибольшую площадь. Для решения будем считать приближенно замкнутую линию и-угольником. Как было показано в первой главе, в этом случае абсолютный Экстремум достигается, когда и-угольник есть Л правильный. Рассматривая поставленную задачу как предельный случай (при и -+ ао) решен- а иой, естественно считать, что искомая линия будет предел правильных и-угольников с данным периметром, когда число звеньев неограниченно растет, т. е. искомая линия есть окружность.

Выше было отмечено, что приведенное рассуждение еше не дает полного решения вопроса, предельный переход должен быть дополнительно обоснован. Дадим для данной задачи полное решение. Докажем, что окружность действительно ограничивает наибольшую площадь. Допустим противное, что существует криваи 1. той же длины 1, ограничивающая большую площадь. Пусть а, — площадь, ограниченная окружностью длины 1, и аа — площадь, ограниченная кривой 1..

Пусть (21) а — а =а)0 а г— Строим два и-угольника длины 1: один Є— правильный н другой 1~„ с равными звеньями, получаемый из вписанного в кривую 1. многоугольника путем подобного растяжения. Выберем и настолько большим, чтобы е а плошадь а, полигона Р„отличалась от а, меньше, чем иа —, н пло- а Шадь аа полигона 11 отличалась от ая меньше, чем на —: И 2 а а — а 2 (22) а а — а ( —. ь Отсюда, сопоставляя (21) и (22), получим: а,' — а ' ) О, что невозможно, ибо в силу решенной раньше задачи а,') а ', 28 пвввход от экстгамьмов ьтнкций к влеиьцнонным зьдьчлм [гл.

Ч Допустимые линии. Нам задан некоторый класс функций (или линмй), для которых задан функционал. Эти линии называются допуслгижыми линиями. Мы ищем среди них ту, для которой функционал достигает наибольшего или наименьшего значения. . В вадаче о брахнстохроне допустимыми линиями были линии, оединявшие точки А и В. Возьмем другую, только что разобранную задачу.

Среди всех за.кинутых линий данной длины найти ту, которая ограничивает наибольигую площадь. Здесь допустимыми линиями являются замкнутые линии данной длины. Овал постоянной ширины. Введем следующее понятие: шириной в данном направлении данной выпуклой замкнутой кривой — овала — мы назовем расстояние между касательными к овалу, перпендикулярными данному направлению. Мы скажем, что данный овал имеет постоянную ширину, если его ширина в любом направлении одна и та же(черт. 8). Простейшим представителем овалов постоянной ширины является окружность. Легко показать, что окружность далеко не единственный овал, обладающий этим свойством; / существует целый класс овалов постоянной ширины.

Пользуясь данным определением, поставим следующую задачу: среди овалов Черт. 8. данной постоянной ширины определить овал наибольшей плошади. Эта задача дает нам новый пример из задач вариационного исчисления, когда на класс допустимых линий накладывается некоторое специальное ограничение. Эта задача, оказывается, редуцируется к 'разобранной нами выше изопериметрической задаче (в узком смысле). Для этой цели воспользуемся теоремой: ТЕОРЕМА БАРБЬЕ (ВагЬ|ег). Если овал илсеет постоянную ширину Ь, то длина границы овала равна кЬ.

Итак, пусть >е есть данный овал постоянной ширины. Проведем к этому овалу две параллельные касательные Е и ь'. В силу постоянства ширины овала, если мы овал ьс будем катить (без скольжения) по прямой Е, то прямая Е' будет все время оставаться касательной. Считая некоторое положение овала начальным, обозначим через В угол поворота овала при качении по Е, и пусть де †элеме дуги овала, а >в †уг, образованный элементом йв с перпендикуляром к А в начальном положении овала. Рассмотрим двойной интеграл 0 (е(Р, У= [ ) [соз(0+>ь)[йеаб [ где Ь есть длина овала. С одной стороны, имеем: У= / йч ~[сов'(8+ в)[ й, ь» й 3Ц пРОствйшля ЗАДАЧА ВлРнАцнонного исчисления 29 где !Соз(0-,'-р)~сЬ есть, очевидно, проекция элемента ь12 на некоторое фиксированное направление.

Следовательно, ь / ~ сов(0+О) ( ь12 0 есть удвоенная ширина овала в рассматриваемом направлении. Отсюда: 1= / 2Ььй= 4ИЬ. 0 С другой стороны: 2 ьм 2 1= / дг / 1соз(0+ ья)(ь10 = /4аз= 41. о о Таким образом действительно: 1= НЬ. Теорема Барбье позволяет нам заключить, что данный класс допустимых линий — овалы постоянной ширины Ь вЂ” принадлежит семейству Ь замкнутых линий постоянной длины ЯЬ.

Так как круг радиуса— 2 принадлежит к классу овалов постоянной ширины Ь и дает наибольшую плошаль среди всех замкнутых линий длины ЯЬ, то тем более он будет давать наибольшую площадь среди овалов постоянной ширины Ь. (См. И. Абельсон, Теорема Барбье, Метематич. просвещ. вып. 5). 5 31. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера Постановка простейшей задачи вариацнонного исчисления. Мы осуществили на частных примерах предельный переход от задач на разыскание экстремумов функций многих переменных к вариационным задачам. Этот предельный переход может быть без труда обобщен и распространен на ряд других задач вариационного исчисления.

Однако осуществление его для каждой отдельной задачи требует довольно громоздких рассмотрений; по этой причине естественно возникает вопрос, нельзя ли получить в общем случае признаки существования экстремумов интегралов тан, чтобы этими признаками можно было пользоваться непосредственно при решении конкретных задач. Нашей ближайшей целью будет дать такие признаки для простейших задач вариационного исчисления. По аналогии с признаками существования экстремума функций одного и многих переменных естественно намечаются три первоочередные проблемы, которые нужно решить: Б Найти такие необходимые условия, которым должны удовлетворять искомыефункции, чтобы, пользуясь ими,при наличии существования решения можно было искомую кривую фактически определять.