Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 6

П. Найти достаточно общие признаки существования абсолютного экстремума. 30 г)дгвход от экстввмямов эвикций к вьгнлционным задачам (гл. Ч 111. Имея кривую, удовлетворяющую основному необходимому условию, установить критерии, по которым можно было бы судить, дает ли эта кривая действительно экстремум и если дает, то будет ли это максимум или минимум. Эаметнм, что в задачах прикладного характера существование экстремума очень часто косвенно устанавливается самой постановкой задачи, по этой причине первостепенное значение приобретают проблемы 1 группы.

С этих проблем мы и начнем. Пусть дана функция Г(х, у, у'), непрерывная вместе с ее частными производными по всем трем аргументам до второго порядка включительно. Пусть, кроме того, в плоскости хОу даны две точки А (а, Ь) и В(ап д,). Простейшая задача вариационного исчисления, как.было указано в 3 23, формулируется следующим образом: среди всех кривых, выражаемых уравнением: (у (а) = Ь, у (ад) = Ь,) у =у (х) (функция у(х) непрерывна вместе со своей цронзводной в интервале а(х(а ) и проходящих через заданные точки А и В, определить ту, вдоль которой интеграл з = / р(х, у,у')ах ь принимает наиболыиее или наименьшее значение. Уравнение Эйлера. Рассматривая поставленную задачу, Эйлер впервые доказал следующую теорему: ТЕОРЕМА.

Если кривая у=у(х) дает экстремум интегралу 1, то функция у=у (х), изображаемая этой кривой, удовлетворяет следующему диференциальному уравнению: (23) Прежде чем переходить к выводу этой теоремы, укажем на ее практическое значение. Производя полное диференцирование по х второго слагаемого левой части, получим: р+р,— р„у — р,,у =о. (24) Отсюда видим, что если Р„, не равно тождественно нулю, дифереицнальное уравнение (23) — второго порядка, и следовательно, его общий интеграл имеет вид: у=Дх, а, р), (25) где а и р суть произвольные постоянные. Таким образом теорему Эйлера можно формулировать так: если существует кривая у =у (х)ь дающая экстремум, то она принадлежит семейству кривых (25), зависящих от двух параметров.

Отсюда, если мы заранее уверены в существовании искомой кривой, то для ее фактического определения остается определить значение а и р. Но эти значения можно найти, пользуясь добавочным условием задачи: искомая кривая должна проходить б З1) ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ через две данные точки А(а, Ь) и В(ам о,), т. е. неизвестные а н р должны удовлетворять условиям: о=Да, а,р), ' д, =Дама, р), (26) у= / Е(х,у')Ых. а Рассмотрим семейство полигонов П„ с координатами вершин: х„ у, (1 = О, 1, 2,..., и). При этом мы считаем абсциссы х, фиксированными, (хе — — а, Х„ = а,); точно так же фиксированы две ординаты уо = о, у„ = дп расстояние х , — хг = Ьх постоянно.

Полигоны П„ с увеличением п апроксимируют любую кривую у =у(х), проходящую через точки А (а, Ь), В (а,, Ь,). Обозначим через у,' угловой коэфицнент 1-го звена полигона П„. Имеем: УА1а — Уг Ьх ') Точнее, он является переводом на современный язык этих более ранввх методов. из которых а н р можно определить. Таким образом теорема Эйлера полностью для разбираемой простейшей задачи, решает первую поставленную проблему. Это основное необходимое условие является полным аналогом условия обращения в нуль частных производных при разыскании экстремумов функций.

Ввиду основного значения теоремы для всей классической теории и практики вариационного исчисления мы приведем два вывода этой теоремы. Один вывод мы получим, обобщая приемы, употребленные нами при решении частных задач: рассматривать вариационную задачу как предельный случай задачи на разыскание экстремумов функций многих переменных. Этот метод, исторически более ранний '), имеет то большое преимущество, что непосредственно связывает задачу вариационного исчисления с известной задачей на разыскание экстремумов функций.

К сожалению, при строгом проведении доказательств этим методом уже в простейшей задаче приходится применять довольно громоздкие и тонкие рассмотрения; выводы делаются еще более сложными, если перейти к задачам более общим. Этот вывод мы сейчас дадим, причем сначала мы разберем случай, когда Е зависит только от х и у'. Другой метод — Лагранжа — использует специфичность задач вариа-.

ционного исчисления и непосредственно примыкает к дальнейшему развитию вариациониого исчисленич — к функциональному исчислению. С этим выводом мы познакомимся ниже. Случай, когда Е не зависит от у. Мы дадим в настоящем параграфе первый вывод уравнения Эйлера. Разберем сначала простейший случай, когда подинтегральное выражение Е не зависит от у: Е=Е(х,у').. Функционал у принимает внд: а, 32 пвевход от экстевмьмов еьнкцнй к влгнлционным злдлчлм [гл. Ч На семействе полигонов П„рассмотрим функцию полигона '): е — 1 е — 1 .~„зависит только от у„уэ, ..., у„,, причем у< входит только в члены Р(х„у<') =Г(хо — ' — — ) и Р(х< му' ) = Р ~хп ), (28) У<+< У<1 I У< У< т) Будем обозначать через <е (х„у,') производную Р'(х„у<') по вто- рому аргументу.

Пусть .У„ достигает экстремума на полигоне П„, его ординаты у„, уэ, ...,Ун , определится из условий: — "=О, дэ'„ (29) ду< где ду, (30) Из (29) и (30) следует: Рь,(х„у<')=)'„,(х< „у'<,). (31) Итак, в полигоне П„, дающем экстремум .l„, величина Р„,(х„уу) при- .нимает одинаковые значения во всех вершинах: г"., (хну,') = сопя!. (32) Перейдем теперь к задаче определения кривой, дающей экстремум Х Рассматривая эту задачу как предельнуюдля задачи нахождения экстремума Ую переходя к пределу в условии (32), получим для кривой П: у=у(х), дающей экстремум ь', уравнение: г', (х, у') = сопя!.

(33) э<равнение (33) для случая, когда Р не зависит от у, есть интеграл уравнения (23). В самом деле, диференцированием его по х получаем: — )е'э, = О. Наше доказательство нельзя считать окончательным. В самом деле, обозначим через р„(х) функцию, изображающую полигон П„, на котором сумма (27) достигает минимума. Если задана совокупность р„, нет гарантий, что она сходится и что предельная функция у (х) = !пп р„ (х) н .+ о~ реализует экстремум интеграла Х <) Под функцией д !!1„) потнгона 1!„ны понимаем функцию /(уьуь .,,. у„) переменных у,, у, ..., у„, ординат вершин этого полигона.

% ЗЦ пеоствйшля зддьчл вьеиационного исчисления ЗЗ К этому вопросу мы предполагаем вернуться во втором томе, э главе об аппрокснмативных методах вариационного исчисления. Пока отметим более элементарный факт: если мы заранее знаем, что последовательность р„(х) равномерно сходится, равно как и последовательность производных р„'(х), то предельная функция у (х) = 1пп р„ [х) удовлетворяет уравнению (ЗЗ). Это обстоятельство вытекает из следующей леммы.

Л е м м а. 1. Пусть последовательность иолигоиож рт(х), рг(х),..., р„(х), ..., определенных и однозначных ири а <х<аь равномерно еходатся е етом интервале х функции у(х): !пп р„(х) =у(х). Пусть, кроме того, носледоеательиость производных г) рг'(х), рг'(х),..., р„'(х), ... также равномерно сходится и том же интервале я непрерывной функнии ч(х). При этих условиях имеем: р (х) = уг (х). Тогда при а достаточно большом [и)М(ь)) имеем: .' (р '(хз) р '(хг) [С Отсюда пря и достаточно большом, и) дгь ,о„(х) — р„(х — Ч) ! ь Ч 2 С другой сторонм, в силу равномерной сходимости, при достаточно большом и, и)гт„ [у (х) — р„(х) [ с (34) следовательно у(х) — у(х — Ч) р„(х) — р„(т — Ч) ~ ь ! ~< —.

в ч ~ 2 Сопоставляя (34) и (35), получим: (35) (у( ) — у(- — ч),(х) ~<, Так как ч как угодяо мало независимо от ь, а ь может быть сделано тоже как угодно малым, то отсюда заключаем, что ут(х) существует и равна ч(х) в каждой точке. Рассуждениями, вполне подобными приведенным нами при выводе леммы 1, можно дополнить лемму 1 следу1ошим предложением: сохраняя условия, при- г) Значение р,'(х) в угловой точке мы считаем равным угловому козфнцненту звена, примыкающего слева к рассматриваемой точке. Возьмем в интервале [а, аг[ произвольную точку х и выберем число Ч настолько малым, чтобы для любой пары точек хо ха интервала [х — кз х+ Ч[ имело место неравенство: [ч(х ) — ч(хг) [с.— 34 пигвход от экстгемтмов втнкций к влгилционным злдлчлм [гл.

Ч р "(х) равномерно сходится к яепрерывной функции ф(х), получим, что функция у(х) обладает непрерывной второй произволной, равной 6(х) в каждой точке т). В силу доказанной выше леммы и сделанных предположений мы заключаем, что последовательность р„'(х) равномерно сходится к у'(х). С другой д стороны, в силу (32) выражение —,Р(хь р„'(х,)) есть величина постоянная„ ие зависящая от ю': д ду' — г !Хь рч (х~)) = С = сопла Следовательно, заставляя л стремиться к бесконечности, для искомой кривой у =у(х) получим следующее дифереициальное уравнение: д — Р(х,у') = сопят.

ду' Случай, когда Р ие зависит от х. Разберем еще один частныи случаИ, допустим, что подинтегральная функция Р(х,у,у') не зависит явно от х: найдем условие, которому должна удовлетворять кри.- вая у=у(х), дающая минимальное значение интегралу: гч у=- / Г(у,у') ах. и Для решения поставленной задачи произведем замену переменных будем считать у за независимое переменное, а х как функцию у, подлежащую определению.

Наша задача при такой замене приведется к разысканию минимнаирующей кривой для интеграла: или, полагая '1'(у,х') =х'г'~у, —,) х т) укажем на один случай последовлтельяостя полигонов, когда зта теорема реалязуется особенно просто. Допустим, что у(х) есть функция, обладающая непрерывнымн двумя первыми производных, и пусть р„(х) есть вписанный полигон,тогда р„"(х) ~( '+ )+~( ' ) ~( ') или по формуле Ьхл Тейлора р„л(х) =ул(х).+ ь где т стремится к нулю вместе с ав. нятые в лемме 1, обозначим через х,ел) полигона, и пусть р„"(х) есть ступенчатая р„'(х~ ) — р„'(х~ ) р„ р„" (х)— ха — хг Добавляя теперь к условиям леммы 1 ах= а,— а и что последовательность п рдч (х), ла" (х), ь, ь ф' абсциссу рй угловой точки и-го кривая, равная: условия, что х,бц = а+ Ых, где б ЗЦ пеоствйшья зьдьчл вьеиьционного исчисления для интеграла у получим выражение; ь, у= / ф(у ') (у.