Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 3

Отсюда заключаем, что в двиной среде траектория луча света всегда принадлежит двупараметрическому семейству кривых (8') (параметры: С и й); из каждой точки М(хь,уо) плоскости выходит пучок лучей: р Рая Уравнение траектории этого луча зависит от одного параметра й, который можно найти, если известно или направление луча в рассматриваемой точке или известна еще одна точка, через которую проходит луч.

Укажем на один частный случай, когда решение может быть представлено в конечном виде. Допустим, что скорость о распространении света пропорциональна высоте: о = иу. В этом случае уравнение семейства траекторий лучей примет вид: или после интеграции и упрощений: (х — С)я+уз=( — ) = гя. Таким образом в разбираемом случае траектории лучей суть дупв окружностей с центрами на оси Ох. Через каждые две точки проходит единственная трактория. Задача о брахистохроне. В качестве примера на применение полученного выше результата разберем задачу о йрахиспсохроне — линии наилучшего ската: среди всех линий, расположенкых в вертикальной плоскости и соединяющих точки А и В, определить линию, скатываясь по копгорой тяжелая точка прибудет из А и В в кратчайшее время (в началы.ый момент ската ее скорость принимается равной нулю). $28] элементАРное Решение некОтОРых ВАРНАцнонных ВАдАч 15 '16 ПВРеход От экстРемумОВ Функций к ВАРиАционным ВАдАчлм [Гл.

Ч Проведем через точки А и В вертикальную плоскость н снабдим ее .прямоугольной системой координат; за начало координат примем точку А, а ось Оу направим вертикально вниз. Пусть (а, Ь) суть координаты точки В, д — ускоренные силы тяжести. Время Т, необходимое точке, чтобы нз А скатиться в В, будет выражаться интегралом: а Т=1 ) +У с1х / У ау о (см. предыдущий параграф, формула (3')]. Наша задача приводится к разысканию кривой, вдоль которой интеграл Т принимает наименьшее значение. В силу предыдущего искомая кривая должна удовлетворять уравнению (8), причем О(у) =~/2ду; после чего уравнение принимает вид: ]Г2ауу 1 +у Я = л 1 А У= 1+у" .Мли ат ° 28') (9) (9') Уравнение (9) после этого перейдет в следующее: у= — —, =Ь, совая = — (1+сов 2р).

а, й 1+ Гйт Р .Диференцируя (10) по х, найдем: у' = — Ф Рйп 2 р — — . сЬ (10) (11) Сопоставляя (11) и (9'), найдем соотношение между х и о: 18О= — 2Ь, созе з!пО— 6~ф или цх созя о Ир = — —, 2А, Интегрируя полученное равенство, найдем общий интеграл уравне.ния (9') в параметрической форме: ~) у = 21 (1 ]- соз 2 р).

Ь1 Для интегрирования полученного уравнения можно воспользоваться -формулой (8'), но в данном случае этот путь приводит к громоздким выкладкам, и оказывается целесообразнее разбираемое диференцнальное уравнение интегрировать непосредственно, вводя новое переменное О подстановкой: 0 29~ лнллогия межах оптикой и мвхлникой 17 х = г (Π— з1п О) + С, у = г(1 — соз О), ,'(12) где г н С вЂ” произвольные постоянные. Кривая (12) есть ииклоида, образованная качениеи круга радиуса г по действительной оси. Точками возврата будут точки действительной оси с абсциссами: С= -2лкг; 01 нашем случае С=О, так как по условию задачи кривая проходит через начало координат.

Что касается г, то оно определится из условия прохождения кривой через точку В. Простейшая задача вариационного исчисления. Разобранные нами задачи являются частными случаями следующей: среди всех кривых у=у(х), соединяющих точки А(хмуз) и В(х,, у,), найти ту, длл которой интеграл мл у = У Г (х, у, у') Ых х, дос!лазает минимума.

Здесь г" (х,у, у') есть заданная функция трех аргументов х, у, у. е' зависит от функции у(х) и есть, следовательно, функционал от у(х). В задаче о брахистохроне мы имеем, например: р У1+у" У~а 5 29. Принцип Мопертюи-Эйлера. Аналогия между оптикой и механикой. Аэронавтнческая задача Принцип Мопертюи-Эйлера. Пусть задано в плоскости поле сил с заданной потенциальной функцией У(х, у). Скорость о точки при движении в этом поле связана с У формулой: =17 2У+0, где Ь вЂ” постоянная..!аекоршина направлены по нормаляи к липняк уровна: У = сопзй Пусть точка м с вассой т 'движется в этом поле со скоростью о = 'гг 2У + Ь . Заменим движение точки М по ее криволинейной траектории движением по ломаной траектории: на плоскости выделены близкие друг другу линии уровня: У=У„У=У„...,У=У„, где У, = Уз — , 'сйУ, а ЬУ вЂ” некоторая постоянная величина (черт..2).

Лля упрощенна исследования полученного семейства кривых введем новый параметр О, полагая 2!7=к — О. Уравнение семейства примет вид: 18 певвход от экстввмгмов еянкций к влгилционным злдлчлм (гл. 1~ Будем считать, что в полоске между линиями сг = У, и 0 = Ог+, точка М движется прямолинейно со скоростью о,= у'2У, +л.

При переходе через линию уровня У=Юг~, точка получает импульс силы ьч (огт, — о,), (напРавленный по ноРмали ') к линии УРовни У= У,+ . (Мы обозначаем здесь через о, вектор скорости в г'-й полосе.) г+г' Точка опишет ломаную траекторию, пределом которой бу-'" дет криволинейная траектории точки М. Так как импульс силы направлен по нормали к линии У= У,+н то составляющая по касательной к этой линии не меняется в момент перехода точки через нее, т.

е.= о,сова=па„,созР, (13), где а и р — углы между направлением скорости точки М с касательной к линии уровни У= У,+, до и после перехода через нее. Если бы мы имели в нашей плоскости движение Света со скоростью 1 в 1-й полосе, равной —, то для его лучей условие (13) выражало бы закон преломления. Таким образом наши ломаные траектории точки М совпадают с путями луча света, скорость которого обратна скорости точки М. При и -+ оо ломаные траектории переходят в криволинейные, ломаные лучи — в криволинейные лучи света„ движущегося со скоростью 1 1 е 'г' 2у+ л Траектория точки М при движении со скоростью о= у'20+и совпада.т с путей луча света, движущегося со скоростью 1 1 Ю,= — = —.

о ~(2и+ л Так как луч света при скорости света о, = — реализует экстремум 1 интеграла а) Этот импульс силы'заменяет нормальное к ливии уровня ускорение. 19 лньлогня мвждт оптикой и механикой э 29] то для траектории движущейся точки реализуется экстремум интеграла / й = / ]г'2и + й йз. Интеграл / о аз, взятый вдоль траектории, называется действием. Получаем вариационный принцип Мопертюи-Эйлера: из всех линий, соединяющих заданные точки, экстремум действия, т. е. интеграла У Г2ь~аьн ° ь р* р ж Аналогия между механикой н оптикой.

Аналогия между принципами ферма н Мопертюи — была замечена давно. Гамильтон использовал ее для построения своей теории уравнения механики, которой мы коснемся дальше. В современной физике эта аналогия положила начало для создания так называемой волновой динамики.

Пользуясь этой оптико-механической аналогией, мы можем, зная траектории некоторого механического движения со скоростью]/ 2У-]- й, получить луч света, дви- э жущийся со скоростью 1 н обратно. У2О+ Л ' Например: в поле снл тяжести точка, имевшая в начальный момент скорость о, движется по параболе о (черт. 3) со скоростью о=]г Фе~ — 24;у в где я — ускорение силы тя- Черт. 3. жести, у — орднната точки (горизонтальная прямая, проходяшая через начальное ее положение, взята за ось Ох). Из начальной точки А исходит пучок параболических траекторий, огибаемых также параболой (парабола безопасности). Если скорость света в среде выражается формулой: 1 о= ~с аг 2йу, то лучи, исходящие нз начала координат, в силу механико-оптической аналогии будут иметь форму парабол, огнбаемых параболой безопасности. Аэронавтическая задача Цермело.

При наличии ветра по какой траектории должен лететь самолет, чтобы из одной точки пространства прилететь в другую в кратчайшее время. Мы будем считать, что скорость ветра тв (переменная величина, завнсяшая от точки, но не зависящая от времени) в каждой точке пространства горизонтальна, и в соответствии с этим ограничимся случаем горизонтального полета. Сформулируем прежде всего поставленную задачу как задачу варнацнонного исчисления. Возьмем систему координат хОу в плоскости полета, и пусть А (хь,ус) и В (х„у,) (черт. 4)— 20 певекод от экстгемтмов етнкций к вавилциониым задачам (гл. Ч начальная и конечная точки полета.