Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2), страница 4

Обозначим через тв скорость ветра и через тл„ тл проекции втой скорости на координатные оси; ю„ та суть заданные функции х и у. Пусть теперь самолет движется из Л в В по кривой у=у(х); тогда, обозначая через с скорость движения самолета относительно вон- .ь .Ф 3 + духа () с) — величина постоянная), через о = те +с — абсолютную ско- Черт. 4. Черт.

5. рость его, через и и ф — углы, образованные векторами тл и с с направлениями полета, т. е. с вектором о, будем иметь: ~ пу ~ з(п о = ( с1 з!и ф, ( -+ .+ .+ "+ Г~ -+ — =(о) =1тл)соз +)с)соей=)тл) созе-+ )У ~Я ~те~а (пв й где лз есть элемент пути. Кроме того: ю Иг а~ Иу соз е = — — + — е- — .

)ю! сЬ )м) Лс Отсюда время Т, необходимое самолету для перелета из А в В по рассматриваемой трактории, выразится интегралом: Т= ) ю|соау + ~/ ) с(~ — ! ю(а51вар (1+у'а) а'.с 9 29~ аналогия междх оптикой и маханикой Таким образом поставленная задача приводится к разысканию среди всех кривых, соединяющих А и В, кривой, вдоль которой интеграл Т принимает наименьшее значение.

Мы приведем сейчас элементарное решение этой задачи, данное Мизесом '). Рассмотрим предварительно следующую простейшую задачу (черт. 5). Вся плоскость хОу разбита прямой АА, на две части О, и Оа. В каждой из полуплоскостей скорость ветра постоянна и определяется соответственно векторами тв, н шз. Считая, что самолет в каждой из полуплоскостей О, и Оя движется по прямой, требуется определить путь, двигаясь по которому самолет прилетит нз точки О, полуплоскости О, в точку Ое полуплоскости Оз в кратчайшее время.

Искомый путь по условиям задачи будет ломаная с одной точкой излома Р, расположенной на прямой АА,. Таким образом наша задача приводится к определению положения точки Р, или, по аналогии с задачей на преломление света, к определению характера излома траектории з точке Р. Время Т, необходимое самолету, чтобы попасть, двигаясь по нашей ломаной, из О, в О, есть функция точки Р, следовательно, искомое условие мы получим, приравнивая нулю диференциал этой функции, соответствующий бесконечной малой вариации точки Р. Сохраним обозначения: тв скорость ветра, о — скорость (абсолютная) полета, с — собственная скорость самолета. Имеем: о=те+ с.

Этому соотношению нам будет удобно придать гевметрический вид: от фиксированной точки О откладываем вектор тв, от конца М построенного вектора откладываем вектор с, конец которого обозначим через 1.; тогда ОЕ = о. Когда собственная скорость с (норма с по условиям задачи постоянна) будет иметь всевозможные направления, точка Е опишет окружность с центром в точке М и радиуса (с~ = с. Эта окружность называется окружностью скоростей, а плоскость, в которой ведется построение, называется плоскостью скоростей.

Определим теперь изменение времени перелета из О, в Оя, когда точка Р сдвигается на эх в точку 4). При этом изменении движения треугольник скоростей ОМ1 перейдет в новый треугольник ОМЬ,. Обозначим соответственно через в, угол, образованный вектором МА с нормалью к прямой АА„ и через а угол МЕО. Пусть при переходе к новому движению эти углы получат приращения 39 н За. Пусть, кроме того, норма скорости и получит приращение зо, а время перелета в полуплоскостях О, и Π— соответственно 6,г и 3яй ') „Хе11эсзг. 1. апйем. Маго. я. Мес1ь", т, Н, 1931.

22 пвеаход от экстеамгмов етнкций к влеилпнпиныи Залаяли !га. К Построим теперь в плоскости движения четырехугольник О,М,Р,Р, подобный четырехугольнику ОМь,1.. Точка Р, будет, очевидно, точкой пересечения прямой ОЯ с окружностью радиуса М,Р с центром в М,. После описанных построений установим соотношения между введенными величинами. Прежде всего имеем: 01Р = пг = ОЕ ° г. Отсюда: Огр О1' Так как ОЕ, = о+оп и четырехугольники ОМЛ1Л и О,М,Р,Р подобны, то О,Р, =(и+оп) С.

Отсюда: Р1О = ОЯ вЂ” О,Р, = (е + бо) (г+ о15) — (о+ Зо) г = = оо15+ бо ° 515. Проектируя вектор Р1О на М,Р, и отбрасывая бесконечно малые выс- ших порядков, получим: пр. РЯ=(е+Оо) соз(а+ За) 31г=есоза 615. С другой стороны, пр. РЯ = (РР, + Р(~) = пр. РО = 5! и 15 би, Отсюда, обозначая через и, проекцию скорости о на ось самолета (на с), получим: 51ПЧ1 51П 51 О11 = оох = ЕСО55 и Вполне аналогичные вычисления показывают, что, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, при переходе от пути РО5 к пути (с01 приращение 855 времени перелета будет равно б.С= — — ~у 51П Чо Пя где 155 есть угол, образованный осью самолета (при полете в полу- плоскости Оя) с нормалью к прямой АА,, а ия есть проекция скорости о на ось самолета (тоже при полете в Ое). Отсюда условие экстремума примет вид: или 5!П ф1 5!П Уе и1 ие (14) Соотношение (14) дает искомый закон „преломления" траектории при переходе из среды с одной скоростью ветра в среду с другой ско- 9 29] аналогия мвждт оптикой н механикой 23 .ростью ветра.

Это соотношение, легко видеть, определяет едкнственпым обРазом искомУю тРаектоРию. Если твг =трапа, то о,=от, а значит,о, =пз, т. е. троектория есть прямая. Если плоскость полета разбита кривыми линиями (с непрерывно вращающейся касательной) на ряд областей, в каждой из которых задана своя постоянная скорость ветра, и если в каждой из областей самолет летит по прямой, то троектория скорейшего перелета из одной данной точки в другую будет ломаная (все точки излома лежат на данных кривых), причем в каждой точке излома будет иметь место (14), где роль прямой АА, будут играть касательные к линиям раздела сред, проведенные через точки излома траектории (то же, что в задаче на рефракцию).

Пользуясь выведенным законом преломления, докажем прежде всего, что если скорость ветра постоянная во всей плоскости, то линия скорейшего перелета (среди всех линий, соединяющих две данные точки) есть прямая. Для доказательства найдем сначала линию скорейшего перелета среди и-звенных полигонов, соединяющих две данные точки. С одной стороны, так как прн удалении в бесконечность одной из точек излома время перелета неограниченно растет, в силу теоремы Вейерштрасса, искомый полигон существует. С другой стороны, если полигон реализует минимум перелета, то любые его два последовательные звена А,А .и А.

А,, дают минимальное время перелета из начала А, одного т+т г+3 звена в конец А, , другого звена. В таком случае в силу (14) эти .звенья принадлежат одной прямой. Следовательно, искомый полигон есть прямая. Допустим теперь, что существует кривая, дающая меньшее время перелета, чем прямая; тогда, вписывая в эту кривую полигон с доста.точно большим числом звеньев, мы получим полигон, дающий также время перелета меньше, чем прямая, что невозможно, ибо, как мы доказали, среди полигонов минимум достигается на прямой ').

Таким образом в данном выше решении задачи о траектории скорейшего перелета в среде со скачкообразно меняющейся скоростью ветра можно не оговаривать заранее, что в каждой области, где скорость ветра постоянна, самолет движется по прямой. Пользуясь выведенным выше законом преломления, можно предельным переходом решать задачи на разыскание линии скорейшего перелета при непрерывно меняющемся 1от точки к точке) ветре. Мы ограничимся здесь лишь простейшей задачей.

Допустим, что плоскость полета снабжена снстемойкоординатхОу, и допустим, что в этой системе координат скорость ветра ш есть функция только х. Иными словами, мы допускаем, что обе компоненты тв, н тв„вектора тп суть заданные функции х. г) Этим мы доказали, что" время полета по дюбойтраекторнн не может быть меньше, чем время полета по прямой. Предлагаем читателю попытаться дока.

зать, что время криволинейного полета ие может быть также равно времени дрямолннейного. 24 пивзяод от экстввмьмов эвикций к влзилционным злдлчлм (гл. У Пусть, как раньше, О, и Оз соответственно начало и конец пути самолета. Проекцию отрезка О,Оз на ось Ох равобьем на и частей и через каждую точку деления проведем параллель к оси Ох. Этим сзмым плоскость полета будет разбита иа и полосок. Буден считать приближенно, что скорость ветра в каждой полоске постоянна и равна заданной скорости ветра в произвольной точке рассматриваемой полоски. Для созданного разрывного поля скоростей ветра мы А~ можем построить линию скорейшего перелета из О, в Оз — это будет полигон, в г'-й (в порядке возрастания абсцисс) вершине которого будет выполнено условие: где с< есть угол, образованный осью самолета при полете в 1-й полоске с осью Ох, и, есть проекции абсолютной скорости самолета иа его ось также в 1-й полоске, С вЂ” константа, не зависяшая от ю.

а Искомая траектория, оче- видно, получится, когда шиЧерт. 6. рина каждой полоски прн и -+ оо будет стремиться к нулю. Перейдем к пределу. В силу непрерывности поля ветра, з каждой точкеМ траектории будет выполнено условие: (16) где у есть угол оси самолета в точке М с осью Ох н и — проекция скорости самолета иа его ось в той же точке М. Условию (16) можно придать вид диференциального уравнения Считая, что у=у(х) есть уравнение искомой кривой, можно выразить э н и через С, у' и через ш, н ш„— данные функции.