Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 2)

М. ЛАВРЕНТЬЕВ н Л. ЛЮСТЕРНИК ОСНОВЫ ВАР ИАЦИ ОН НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ ПЕРВЫЙ ЧАСТЬ П Утверждено Наркомнросом РСФСР и кичесвсве учебника дкк университетов ОБЪ Е ДИ НЕ ННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИ ЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ И МОСКВА 1955 ЛЕНИНГРАД Т 21-О-2 тКК И ВвгсЭЗ Радакння Г. А.

Суксмлнноаа, Оформление В. Ф. Зазульскоб, корректура л. х. Артюговоа. наблюдал за вызуск.ы снмофе:в. Сдано в нронзвод-тво ООАЧ 945 г. 11ы ~асано к ычатн 22'Х1 .915 г с1 ч. лист. 25. Тираж 61Ьг. Формат 62Х949 „. У . авг. л, Зз,б. Печ. вн. в бгм. л. 1056 О. Заказ Лб обо. Оум. л. 122,.Гл. Ред. оощете .. ляс .. лб 41. у..олн. Гла сента лз 6-1 .59. О-н типокрвфня ОНТИ нм. Евг.

Оояаловора ууевнггграп, пр. Красных Команпвров, 29. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОЙ ЧАСТИ Первая часть „Основ вариационных исчислений", посвященная функциям конечного числа переменных и их экстремумам, вышла отдельной книжкой. Настоящая книга, 1! — 1Ч части, содержит несколько расширенный университетский курс. Мы начинаем ее с „Основных понятий и методов вариацнонного исчисления". На этой части (!!) мы сознательно остановились более подробно, так как, с одной стороны, эти понятия имеют фундаментальное значение в анализе вообще; с другой стороны, овладение основными понятиями и методами математической дисциплины не менее важно, чем овладение ее рецептурой.

Начало 11 части естественно примыкает к 1 части: вариационные задачи здесь рассматриваются как предельные задачи на экстремум функций конечного числа переменных. Сначала решаются отдельные частные вариационные задача, затем делается переход к решению общей задачи. Подобные элементарные методы (конечно в другом изложении — инфинитезимальном) были характерны для первого развития вариационного исчисленяя. Но и после создания более общих формализированных методов элементарные приемы могут иметь преимущество при решении отдельных задач.

Теорию функции конечного числа переменных мы начинали с л-мерной геометрии, рассматривая функции многих переменных как функции точки в и-мерных пространствах. Вариационное исчисление расширяет понятие функции. Современная геометрия соответшвенным образом обобщает основные геометрические понятия.

В главе Ч! (и в начале главы ЧИ) мы приводим элементы абстрактной геометрии. Вариационное исчисление с точки зрения современной математики есть диференциальпое исчисление для функций более общей природы, развертывающейся га пространствах более общей природы. Часть 1П изучает основные классические вариационные задачи с точки зрения необходимых условий. Глава Х1!! части !Ч содержит теорию второй вариации для простейшей н изопериметрической задачи. С нею связаны диференциальные уравнения Штурма-Лиувилля. Наряду с теорией слабого зклремума н сопряженных точек, в ней приводится экстремальная теория собственных значений Куранта.

В'ней же иллюстрируется предельный пер.ход от функции конечного числа переменных к функционалам. Глава ХГЧ содержит излагаемую в геометрической форме теорию поля и достаточные условия Вейерштрасса. певдисловие Конец 9 39, 44, 55, 61 и доказательство существования в 5 80 можно при первом ознакомлении выпустить. Они содержат материал, примыкающий к материалу второго тома. В дополнениях мы приводим примеры экстремальных зздач, решаемых специальными методами: несколько задач на экстремумы для выпуклых фигур и задачи, возникающие в теории аналитических функций.

Мы включаем с любезного разрешения автора неопубликованные решения проф. С. С. Ковнера одной интересной экстремальной задачи (дополнение 1, п. 4). Дополнение !П написано И. М. Гельфандом и Г. А. Сухомлиновым. Второй том мы предполагаем посвятить: анализу общих задач вариацнонного исчисления теоретико-функциональными методами (вопросам существования, апроксимативным методам) и топологическим методам. Мы выражаем нашу благодарность редактору Главной редакции общетехнической литературы ОНТИ т.

Сухомлинову Г. А. за внимательное отношение к нашей книге. Автори. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второй части ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ВАРИАЦИОН- НОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Глава У. Переход от экстремумов функций многих переменных к вариационным задачам 27. Функционал . 28.

Элементарное решение некоторых вариационных задач . 29. Принцип Мопертюи-Эйлера. Аналогия между оптикой и механикой 30. Элементарное решение некоторых изопериметрических задач . 31. Простейшая задача вариациониого исчисления. УравнениеЭйлера 32. Приложения ЗЗ. Метод счетного множества переменных Глава т!!.

Обобщение основных понятий анализа 34. Лополнительные замечания об экстремумах функционалов . 35. Абсолютный и относительный вкстремум. 36. Окрестности кривых. Сильный и слабый экстремум. 37. Абстрактные пространства 38. Предельные соотношения в абстрактном пространстве 39. Функция точки абстрактного пространства 40. Линейные пространства 41. Лифереициал функции на линейном пространстве . 42. Экстремум функции точки линейного пространства . Глава Ы!. Функционалы и вариация 43. Функциональные пространства 44.

Компактность в функциональных пространствах . 45. Линейные функционалы и вариации 46. Вариации для простейшего фуикционзла . 4?. Основные леммы вариационного исчисления 48. Вариация в точке. Инвариантность уравнения Эйлера 49. Вторая вариация и условие Лежандра ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОЛА ВАРИАПИЙ Глава И!!. Непосредственные обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 50. Пространственная задача 51.

Вариация в точке в данном направлении. Принцип Гамильтона . 52. Вторая вариация. Условия Лежандра . 53. Свободные концы. Случай конца, перемещающегося по ординате 54. Условие траисверсальиости . 9 13 17 25 29 39 45 52 54 56 59 64 67 69 74 ?6 78 82 91 92 95 98 104 109 112 116 118 123 ОГЛАВЛЕНИЕ 1о7 129 132 136 143 Глава !Х. Условный экстремум 148 160 166 169 173 175 180 188 189 193 200 204 211 Глава Х1. Разрывные задачи 73. Ломаные экстремали .

74. Преломление экстремалей 75. Отражение экстремалей 76. Случай свободных концов 215 219 213 225 231 238 244 286 290 304 55. Диференциал в нелинейном метрическом пространстве 56. Вариация инсегралоз от экстречалей, 57. Случай свободных концов в пространственной задаче 58.

Случай производных высшего порядка. 59. Случай функций многих переменных .. 60. Изопериметрическая задача 61. Правило множителей Эйлера-Лагранжа, 62. Условие Лежандра 63. Условный экстремум 64. Трансверсальность 65. Применение к теории геодезических 66. Условный экстремум (неголономные связи) Глава Х. Вирииционные задачи в параметрической форме 67.

Параметрическая форма задания кривых .. 68. Условия однородности . 69. Экстремумы функций от лиани 70. Обобщения н приложения 71. Замкнутые экстремалн. Метод нормальных варизций 72. Приложения к теории геодезических Глава ХП. Одностооонние вариации 77. Односторонние вариации для простейшей задачи . 78. Задача Ньютона (поверхность вращения наименьшего сопротивления) 79. Пространственная задача . СЕМЕЙСТВА Э К С Т Р Е М А Л Е Й И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ Глава Х!П.

Вторая вариация и линейные вириационные задачи 80. Предварительные замечания 81. Существование минимума квадратических функционалов 82. Уравнение Штурма-Лиувилля 83. Условия положительности формы 84. Слабый экстремум 85. Уравнения в вариациях 86. Геометрическая теория сопряженных точек . 87. Экстремальная теория собственных значений 88. Мииимаксиые экстремали 89э Теория Лежандра-Якоби квадратическйх функционалов 90.'Квадратический функционал У,ь как предел конечных квадратических форм 91. Вторая вариация для изопериметрнческой задачи .

92. Уравнение в вариациях и сопряженные точки для изопериметрической задачи 252 254 260 264 269 270 272 275 281 285 огланлннин 351 353 357 359 Указатель 395 Глава Х1Ч. Теория поля и дос1наточные условия сильного экстремума 93. Геометрия экстремалей . 94. Поле экстремалей и трансверсали . 95. Теория Кнезера 96. Условия Якоби . 97. Геодезические эллипс н гипербола . 98.

Метод интегр рования Якоби . 99. Функция Вейерштрасса . 100. Необкодимые условия Вейерштрасса, 101, Достаточные условия сильного экстремума 102. Теорема Осгуда Дополнение 1. Экстремальные свойства выпуклых тел 1. Общие замечания 2. Выпуклое симметрическое тело в целочисленной сети . 3. Экстремальные свойства треугольника 4. Об экстремуме отношения объемов выпуклого тела и заключенного в ием цеитральносимметрического тела .

Дополнение 11. О некоторых экстремальных задачах теории конформных отображений Примеры функционалов Качественные принципы Бесконечно малые вариации Специальная вариация границы Максимальное растяжение . Проблема коэфицнентов Дополнение 111. Применение метода Ритяа к доказательству сушествования решений уравнения Штурма- Лиувилля ч09 311 318 320 324 327 332 337 339 345 367 369 370 372 374 379 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО» ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛАВА Ч переход от экстремумов Функций многих переменных К ВАРИАЦИОННЫМ ЗАДАЧАМ % 27. Функционал Общие понятия.

Исследуем такую величину, как длина кривой. Длина кривой есть переменная величина, она меняется вместе с кривой. Мы имеем здесь аналогию с функцией одного или нескольких, переменных. Длина есть также зависимая переменная величина, но она зависит не от числовой переменной, а от кривой. Пусть нам даны кривые, уравнения которых имеют внд: у=у(х), причем абсцисса х меняется в промежутке а (х (д, а функцияу(х) обладает непрерывной производной у'(х) при а (х ( Ь. Тогда длина Х каждой такой кривой имеет вид: ь У= ~У1+у'й .

а С изменением функций у(х) меняется и кривая, изображающая зту функцию, меняется и величина з — длина кривоЙ (1). з' зависит от вида функции у(х): различным функциям у(х) отвечают различные значения з (различные длины). Мы будем писать: у = у [у (х)). Эта запись показывает, что л зависит от функции у(х).