Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 8

31. Следовательно, на плоскости 1хт,хг) также получаем седло 1рис. 33). Отсюда, в частности, следует, что ярл данном отклонении м лтяика от вертикали существует одна и только одна яачольная скорость, лри яотаороа оя асимптотически прибл гкается я еерхнему полозтеяию равновесия лри 1 — т -1-оо (соответствующан фазовая кривая —. прямолинейный луч, входнщий в О). Ври меньшей или большей начальной скорости маятник падает либо не дойдя до верхнего полоткения равновесия, либо перевалившись через него (соответствующие фезовые кривые — половины гипербол). Решении имеют вид Х = Хое', У = Уае ', откуда хт = Ае' + Ве =а сЬ1+Ь зЬЬ хг =Ае — Ве т = а зЬ1+бсЬЬ 6.

Уравнения с разделяющимися переменными. Определение. Уравнением с разделяющ мися переменными называется уравнение Ф УЬ) Фх)' (6) Мы будем предполагать, что 1 и я гладкие функции, не обращающиесн в 0 в рассматриваемой области. Рассмотрим наряду с этим уравнением систему 17) Теорема. Фазовые кривые системы 17) яеляютск интегр льными кривыми уравнения (бт), и, обратно, интегральные кривые уравнения (6) являются фазовыми кривыми системы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тангенс угла наклона вектора фазовой скорости к оси х есть 11у)/фх). Значит, фазован кривая системы в каждой своей точке касается полн направлений уравнения. Глава й Обратно, пусть дана интегральная кривая уравнения (6). Тогда на ней можно выбрать параметр г так, что параметрическое уравнение кривой будет к = уо(т), у = ф(1), причем функции уо -- решение уравнения к = 8(ш) (здесь используется условие у ф 0). Вторая координата «р точки с параметром г удовлетворяет тогда соотношению (с(ф/й)/(гйр/г»») = Г(гр(й))/дфр(с)), т.

е. являетсн решением уравнения у = Г'(у). Следовательно, наша кривая фазовая кривая системы. Теорема. Решение уравнения (6) с начал»и м условием (шо,уо) существует, единственно» и дается формулой г(й /' г(я У(О l У(0) ео по ЗАмечАние. «Мнемоническое» правило решении уравнения с разделяющимися переменными состоит в том, чтобы рассматривать и левую,и правую части уравнения как дроби и перенести «все члены с ш в одну сторону, а все члены с у в другуюм йш ау а(к) У(у) (8) После этого «приравнивание интегралов» дает искомое соотношение )' дш /' йу между к и у в виде равенства » = (» +С для первообразных l 8(*) 1 Х(У) или в указанном в теореме виде — — для определенных интегралов.

Разумеется, это «мнемоническое» правило является, при его правильном понимании, вполне строгим выводом формулы для решения. Действительно, соотношение (8) означает равенство знамений деут дифферендиалькмт форм ка любом векторе, касающемся интеграл»кой кривой уравнения (6) (и обратно, кривая, все касательные векторы которой удовлетворнют соотношению (8), является интегральной для уравнения (6)). Интегралы форм в левой и в правой частях уравнения (8) по одному отрезку интегральной кривой уравнения (6) равны (так как в определении Г В том смысле, что вснние две твкие решения совпадают твм, где обе определены.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это следует из предыдущей теоремы и формул для решения уравнений ж = у(к) и у = Ду) с начальными условиями (оо,то) и (Го,уо) соответственно. ГЗ2. Векторные панн на прямой интеграла вдоль кривой участвуют лишь значении формы на касательных векторах кривой, а на этих векторах значения форм совпадают). Наконец, интеграл формы Их/фх) вдоль отрезка кривой равен обычному интегралу функции 1/л вдоль проекции этого отрезка на ось х. и аналогично для формы г1у//Ь) Формула (8) называется иногда с м патронной форхгой записи уравнения (6).

ЗАдАчА 1. Нарисовать интегральные кривые уравнений йу/йх = у/х. х/у, — у/х, — х/у. Злдлчл 2. Нарисовать интегральные кривые уравнений ду/йх = Ьх ул, япу/ялх, ашх/яоу. Злдлчл 3. Нарисовать фазовые кривые уравнения маятника х = у, у = — яох. Указание. Рассмотреть уравнение с разлелнюшимися переменными ду/дх = — (агох)/гр 7. Пример: модель Лотка — Вольтерра. В и. 12 21 мы рассматривали простейшую модель взаимодействия у хищников (щук) и х жертв (карасей)г х = йх — аху, у = — 1д+ Ьху.

(9) Но мы не смогли нарисовать фазовые кривые. Теорема. Фазоаые кривые систелгы (9) замкнутые (рис. 34). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Фазовые кривые системы (9) совпадают с интегральными кривыми у1Ь. -1) уревнения с разделяющимися переменными — = или с фазог1х х(Ь вЂ” оу) ными кривыми уравнения-произведения г)у у г)т й — ау гЬс г)т Ьх — 1' (в области, где х, у, Ьх — 1 и Ь вЂ” ау отличны от О). Гк — ау ГЬх — 1 Следовательно, / г)у = з)' г)х+ С или Рггх) + г1(гг) = С где р = Ьх — 11пх, д = ау — Ь1пу. Графики функций р и о имеют Глава 1 х„ Рис. 34. Фазовые Рис. 35. Построение фазовых кривых модели Лотка — Вольтерра кривые модели Лотка — Вольтерра вид ям. Поэтому и график функции р+ 9 имеет вид ямы (рис.

35). Следовательно, линии уровня функции р+ и замкнутые кривые. Легко проверить, что фазовые кривые уравнения (9) не только принадлежат линиям уровня р+ о, но и совпадают с ними; теорема доказана. Из замкнутости фазовых кривых следует, что количества карасей и щук в модели Лотка — Вольтерра меняются со временем периодически. Период колебаний зависит от начального условии. Злдлчл 1. Докажите, что период колебаний в модели Лотка- Вольтерра (9) стремится к бесконечности, когда начальное условие приближается к точке (0,0).

Злмвчлнив. Математическое стремление к бесконечности нужно отличать от физического. Например, 1/в при в — > 0 действительно стремится к со (например, при в = 10 в величина 1/в действительно велика). В то же время ~ 1пв~ при в — + 0 практически остается ограниченным (например, при в = 10 в это величина порядка 10). Практически с логарифмами в асимптотиках часто можно обращаться как с константами. Злдлчл 2. Как стремится к бесконечности период колебаний в модели Лотка в Вольтерра (9), когда начальное условие имеет вид (хв,в), в — ~ О? Отввт.

Логарифмически. Рассмотрим некоторые выводы из наших вычислений. Для системы Лотка — Вольтерра (9). 1) Существует (и единственно при х > О, у > О) положение равновесии (хо Уо). 2) Количества карасей и щук при неравновесных начальных условиях меняются со временем периодически.

3) Фазовые кривые системы (9) замкнуты. Гг2. Векторные поля на прямой Заметим, что наше модель вряд ли может претендовать на вполне точное описание действительности, даже если оставаться в рамках двумерного фазового пространства. Например, лаже в отсутствие щук при большом числе карасей скорость размножения должна уменьшатьсн, иначе карасям не хватит пруда, и т.д.

Мы можем думать поэтому, что более точная модель имеет вид Е х = х(А — ау + г1'(х, у)), у = у( — 1+ Ьх + гу(х, у)), (9,) Теорема. У системы (9,) имеется гладко зависящее от малого е положение равновес я х(г), у(е) такое, что х(0) = хо, у(О) = уев положение равновесия системы (9). ДОКАзАткльство. По теореме о ненвной функции система уравнений относительнох,у Г(х,у,г) =О, С(х,у,е) =0 имеет гладко зависящее от малого е решение (х(е), у(е)) обращающееся ВЯ С) в (хо, уо) при г = О, если отличен от нуля якобиан,У = (яьр„е) В нашем случае Г = Ь вЂ” ау + е1, С = — 1+ Ьх + ед; следовательно, ,У = ~ь '~ ~ О, что и требовалось доказать.

Итак, вывод 1) груб: положение равновесия имеется не только у системы (9), но и у всякой близкой системы (9,). Напротив, выводы 2) и 3) негрубы. Действительно, функция последования для системы (9) имеет вид Ф(А) = А. Для близкой системы (9,) где хг1 и уса — отброшенные прн идеализации малые поправки к нашей модели (поправка в х делится на х, так как скорость размножения карасей равна О, если их число равно 0; по этой же причине поправка в у делитсн на у). Мы будем считать 1 и а гладкими функциями (строго говоря, здесь н далее рассматривается ограниченная часть фазовой плоскости, так как для малости поправок при очень больших значенинх координат нет оснований).

Мы будем называть свойство модели (9) груоым, если оно (или аналогичное ему близкое свойство) имеет место и для всякой системы (У,), при достаточно малых е. Рассмотрим с этой точки зрения сделанные выше выводы 1) — 3). 48 Глава 1 график функции последования будет близким к диагонали, но не обязательно будет совпадать с ней. В зависимости от вида возмущений )' и Е диаграмма Ламерея может быть расположена выше или ниже диагонали или пересекать ее в одной или нескольких точках, соответствующих устойчивым и неустойчивым циклам. Следовательно, выводы о з мкнугаосгаи фазовых кривых и периодичности колебания численности карасей и щук с амплитудой, зависящей огп начальных условий, негрубы, хотя у близкой системы (9,) каждый виток фазовой кривой и близок к замкнутому циклу, он не замыкается в точности, и через болыпое время (порядка 1/с) устанавливается, например, автоколебательный режим (фазовая кривая наматывается на предельный цикл). Свойство системы иметь предельный цикл уже нвлнется устойчивым относительно малых возмущений системы уравневий.

Точнее, предположим, что цикл соответствует неподвижной точке А = Ф(А) функции последования Ф и что Ф'(А) ф 1. В таком случае цикл называется нееырожденным. Если система, заданная векторным полем оо, имеет нееырожденный предельный цикл, проходящий через Ае, то всяк я близкая сиппема (заданная полем о„е малу) имеет близкий цикл (проходящий через близкую к Ае гаечку Аы>). Для доказетельства нужно применить теорему о неявной функции к уравнению Ф(А, е) = А, А(0) = Ае. Следовательно, вывод о наличии в сисглеме автоколебаний, описываемых невырожденным предельным цн лом, груб: во всякой близкой системе будут близкие автоколебанин.