Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 6

Праван часть определяет векторное поле нв плоскости: приложенный в точке (х, у) вектор имеет компоненты (йх — аху, — 1у+ Ьху). Это— поле фазовой скорости. Фазовым пространством явллется угол т ) О, у ) О. Векторное поле фазовой скорости нетрудно нарисовать, проследив за изменением знаков компонент (рис. 16). Особая точка поля (хо = (/Ь, Глава 1 уо = к/а) отвечает равновесному количеству карасей и щук, когда прирост карасей уравновешивается деятельностью щук, а прирост щук— их естественной смертностью. Если начальное число щук меньше уо (точка А на рисунке), то числа карасей и щук растут, пока размножившиеся щуки не начнут съедать больше карасей, чем их прирост (точка В), затем число карасей начнет убывать, а число щук будет расти, пока нехватка пищи не приведет и щук к вымиранию (точкв С); затем число щук уменьшится настолько, что караси снова начнут размножаться (точка Ю); начавшееся размножение карасей приведет к тому, что со временем и щуки начнут размножаться.

Таким образом будут происходить колебания численности карасей и щук вблизи равновесного числа тех и других. Возникает, однако, вопрос, будут ли эти колебания периодическими или же нет. Наша приближенная картина поля фазовой скорости не позволяет ответить на этот вопрос, можно вообразить различные случаи, например, изображенные на рис. 17. Рис.

17. Функция последования Рис. 18. Диаграммы Ламерея Чтобы разобраться в этих случаях, рассмотрим отрезок, соединяющий особую точку с осью .с. Каждая точка А этого отрезка (не лежащая на оси т) определяет фазовую кривую, которая снова пересекает отрезок в некоторой точке Ф(А). Функция Ф называется функцией последования (или отображением Пуанкаре, а также монодромией или голоножией).

З 1. Фиговые пространства Рассмотрим график функции последовании. Он называется диаграммвб Ламерея. Диаграммы Ламерея длн четырех случаев рис. 17 изображены на рис. 18. По диаграмме Ламерея легко построить последовательность образов точки А при повторении преобразования Ф. Длн этого следует построить так называемую лестницу Ламерея (рис. 19), абсциссы н ординаты вершин которой суть А, Ф(А), Фг(А) = Ф(Ф(А)),... Точки пересечения графика функции последования с диагональю (графиком Ф = А) соответствуют замкнутым фазовым кривым (циклам) на фазовой плоскости.

Цикл заведомо устойчив (неустойчив), если в соответствующей точке А имеем Ф'(А) ( 1() 1). Длн наших четырех диаграмм Ламерея (рис. 18) в первом случае фазовые кривые спирали, наматывающиеся Рис. 19. Лестна особую точку, во втором — сматывающиеся с нее, в третьем — замкнутые. В четвертом случае фазовые кривые наматываются на устойчивый цикл изнутри и снаружи. Соответственно, в первом случае с течением времени устанавливается равновесное население пруда, колебания затухают. Во втором случае равновесное состояние неустойчиво, колебания нарастают. При этом наступит момент времени, когда число карасей (щук) будет меньше 1; к этому моменту наша модель становится неприемлемой, и население пруда вымирает.

В третьем случае наблюда»ется периодические колебания численности карасей и щук вокруг равновесного состояния; амплитуда колебаний определяетсн начальными условиями. В четвертом случае тоже наблюдаются периодические колебании численности карасей и щук, но амплитуда установившихся колебаний яе зависит вт начальных условий: любая фазовая спираль наматывается на предельный цикл. В таком случае говорят, что в системе устанавливается автвквлебательныб режим. Какой же из случаев имеет место для системы Лотка — Вольтерра? Мы пока не можем ответить на этот вопрос (решение его см.

в З 2). 13. Пример: свободная частица иа прямой. Согласно «первому закону» Ньютона, ускорение материальной точки, не подверженной действии» внешних сил, равно О: х = О. Если точка х принадлежит В, то говорят о свободной частице на прямой (можно представлнть себе бусинку на спице). Глава 1 Фазовое пространство имеет размерность 2, так как все движение определяется начальным положением и начальной скоростью. На фазовой плоскости с координатами х1 = х, хз = х возникает векторное поле фазовой скорости: следовательно, компоненты поля равны (тз, О) (рис. 20). Все точки оси х1 явлиются полоХ1 жениями равновесии.

Равновесие такого вида в физике называетсн безразличным, х, а в математике неустойчивым (подходящее сколь угодно малое изменение начальной фазовой точки вызынает через Рис. 20. Поле фазовой скоросдостаточно большое время немалое изме- ти свободной частицы пение состояния). Фазовые кривые — горизонтальные прямые хз = сопз1 и все точки ОСИ Х1. ЗАДАЧА 1. Найти решение с начальным условием (а. Ь) при 1о = О.

Отнят. ~р1(1) = а+ Ьй хз(1) = Ь. Рис. 21. Поле фазовой скорости падающей частицы Рнс. 22. Поле фазовой скорос- ти малых колебаний 14. Пример: свободное падение. Согласно Галилею, ускорением падающих вблизи поверхности Земли тел постоянно. Если х — высота, то х = — д. Вводя координаты на фазовой плоскости, как в предыдущем примере. получаем систему Х1 = Х2~ Х2 = — А~". Векторное поле, заданное правой частью, изображено на рис. 21. 33 Э 1. Фазовыв пространства ЗАДАЧА 1.

Доказать, что фазовые кривые — параболы. 15. Пример: малые колебания. Во многих случаях сила, возвращающая систему в положение равновесия, с большей или меньшей точностью пропорциональна отклонению от положения равновесии (закон Гука и т. и.; сущность дела в том, что в положении равновесия сила О, а в малом всякая функция приближенно линейна).

Мы приходим к уравнению малых колебаний х = — Ьх. Коэффициент Ь > О можно сделать равным 1 выбором масштаба вре- мени. Уравнение принимает вид Вводя по-прежнему координаты х1 — — х, хз = т на фазовой плоскости, переписываем это уравнение в виде системы Праван часть задает векторное поле на фазовой плоскости. Это поле изображено на рис. 22.

Злдлчл 1. Доказать, что фазовые кривые окружности и их центр. Решение. Вектор фазовой скорости перпендикулнрен радиус-вектору. ЗАДАЧА 2. Доказать., что фазоввя точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью 1. Решение. Длина вектора фазовой скорости равна длине радиус-вектора, ЗАДАЧА 3. Найти решение с начальным условием х(0) = а,х(0) = Ь.

Решение. Согласно предыдущим двум задачам, нужно повернуть вектор начального условия на угол С. Получаем х1(С) = асовС-~-Ьв«пС, хз(С) = — авшС-~-ЬсовС. ЗАмечАние. Таким образом, мы доказали, что х совершает гармоничесх1 х2 кие колебания и установили «закон сохранения энергиим величина — -1-— 2 2 вдоль фазовой кривой постоннна. 3 Заказ №И17 Глава 1 г 1 г ЗАДАЧА 4. Доказать закон сохранения ввергни — + — для системы 2 2 Х1 = Х22 Х2 = вт1.

хг г ЗАМЕЧАНИЕ. Величина — называется кинетической энергией, а — '— 2 2 потенциальной. Злдлчл 5. Доказать, что интегральные кривые системы (с й = 1)— винтовые линии. 16. Примерг математический маятник. Рассмотрим невесомый стержень длины 1, закрепленный в одном конце и несущий на другом точечную массу т. Обозначим через в угол отклонения мантникв от вертикали. Согласно законам механики, угловое ускорение маятника д пропорционально моменту силы веса (рис. 23): 10 = — ого) вгп0, где Х = Н112 — момент инерции (знак минус объясняется тем.

что момент стремится уменьшить отклонение). Рнс. 24. Поле фвзовой скорости маятника Рис. 23. Математический маятник Итак, уравнение маятника имеет вид Е = — йвгпд, й = д/К Коэффициент й можно сделать равным 1 выбором масштаба времени. Уравнение принимает вид д = — вш0. Фазовое пространство имеет размерность 2. За координаты можно принять угол отклонения хг = и и угловую скорость хг = д. Уравнение принимает вид системы хг — тг. хг = — вштг. Правая часть задает векторное поле фазовой скорости. Оно изображено на рис.

24. 35 З1. Фазоеае прострапетеа Злдлчл 1. Доказать, что начало координат 1хг = хг = О) и точка (хг = ~г, тг = О) нвлнютсп фазовыми кривыми. Вид остальных фазовых кривых мы подробно исследуем в дальнейшем Я 12). ЗАмечАние. При малых углах отклонения зшУ эквивалентен углу У.

Заменян зш У приближенным значением д, мы сводим уравнение маятника к уравнению малых колебаний (п. 15). Вопрос о том, насколько выводы, сделанные прн исследовании этого простейшего уравнения, переносятсн на полное уравнение маятника, нуждается в специальном исследовании. Мы проведем его в дальнейшем Я 12). 17. Пример: перевернутый маятник. Рассмотрим поведение мантника, перевернутого вверх ногами. В этом случае угол д близок к к, поэтому естественно ввести угол отклонения от верхнего положения, гр = У вЂ” к. Тогда ф = з)пф и нрн малых гр приближенно Это уравнение называется ураапепиел емалых колебанибе перевернутого маятника. Фазовое пространство двумерно.

Примем за координаты гй = ф, хг = гр. Получим систему хх =хг, хг = хы Векторное поле фазовой скорости изображено на рис. 25. Его фазовые кривые мы подробно исследуем в х 2. 18. Пример: малые колебания сферического маятника. Отклонение от вертикали характеризуется двумя числами, х и у. Уравнения малых колебаний имеют, как известно из механики, вид у = — у. Размерность фазового пространства равна 4. За координаты в нем принимаем хг = х, хг = х, хз = д, х4 = у.

Уравнения записываются в виде хг =хг х4 = хз. хз =хм хг = -хы Правая часть определяет векторное поле в К~. Злдлчл 1. Доказать, что фазовые кривые этого поля лежат на трехмерных сферах хг +. ° . + хе — — сопеа Глава 1 Рис. 25. Пале фазовой скорос- ти перевернутого маятника Рис. 26. Фазовые кривые сферического мантннка на гиперповерхности постоянной энергии Однако окружность не всякого большого круга сферы фазовая кривая.

Злдлчл*3. Доказать, что все фазовые кривые на каждой трехмерной сфере сани образуют двумерную сферу. Трехмерную сферу Я~ можно представлять себе как трехмерное пространство И~, пополненное одной «бесконечно удаленной» точкой. Следовательна, разбиение Я~ на окружности определяет разбиение И~ на окружности н одну незамкнутую кривую («уходящую обоими концами на бесконечность»). Это разбиение изображено на рис. 26. ЗАДАЧА 4. Проверить. что любые две из окружностей указанного разбиения зацеплены между собой с коэффициентом зацеплении, равным единице (коэффициент зацепления указывает, сколько раз одна из кривых пересекает пленку, затягивающую другую, причем точки пересечении учитываются со знаками).