Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения

УЛК 517.9 БВК 22.161.6 А 84 Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. — 368 с. Отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравненинм большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоорлинатным наложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных Лля курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, кесательные пространства и расслоения) и примеров из механики 1например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы.

теория малых колебаний, параметрический резонанс). Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов н вузов с расширенной программой по математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений. ББК 22.161.0 89 Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамиками, 2000 Оглавление слу- 189 192 Предисловие к третьему изданию Предисловие к первому изданию . Некоторые постоянно употребляемые обозначения ГЛАВА 1. Основные понятия 3 1. Фазовые пространства 32. Векторные поля на прямой . '3 3. Линейные уравнения 3 4. Фазовые потоки '35.

Действие диффеоморфизмов на векторные поля н на поля направлений 3 6. Симметрии Гллвл 2. Основные теоремы 3 7. Теоремы о выпрямлении 38. Применении к уравнениям выше первого порядка 39. Фазовые кривые автономной системы 3 10. Производная по направлению векторного полн и первые интегралы 3 11. Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка с частными производными ..

3 12. Консервативная система с одной степенью свободы Глава 3. Линейные системы 313. Линейные задачи 3 14. Показательная функция 3 15. Свойства экспоненты 3 16. Определитель экспоненты 3 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты чай вещественных и различных собственных чисел 3 18.

Комплексификация и овеществление 12 12 36 51 62 96 96 113 127 132 140 151 166 166 169 177 184 Оглаелекие 319. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством 197 3 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения 202 321. Классификация особых точек линейных систем...... 213 3 22. Топологическая классификация особых точек....... 218 3 23. Устойчивость положений равновесия............

229 324. Случай чисто мнимых собственных чисел......... 235 3 25. Случай кратных собственных чисел ............ 241 3 26. 0 квазимногочленах .. 252 3 27. Линейные неавтономные уравнения ............ 266 328. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами 281 3 29. Вариация постоянных . 290 Гллвл 4. Доказательства основных теорем '3 30. Сжатые отображении 3 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий..............

295 332. Теорема о дифференцируемости............... 306 Гллвл 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях 317 3 33. Дифференцируемые многообразия ............. 317 3 34. Касательное расслоение. Векторные полн на многообразии 328 3 35. Фазовый поток. заданный векторным полем........ 335 3 36. Индексы особых точек векторного поля .......... 339 Программа экзамена 356 Образцы экзаменационных задач Предметный указатель Предисловие к третьему изданию Первые две главы книги сильно переработаны и значительно расширены. Добавлены разделы об элементарных методах интегрирования (о линейных однородных и неоднородных уравнениях первого порядка, об однородных и квазиоднородных уравнениях), о линейных и квази- линейных уравнениях с частными производными первого порядка, об уравнениях, неразрешенвых относительно производных, и о теоремах Штурма о нулях линейных уравнений второго порядка.

Таким образом, в новое издание книги включены все вопросы действующей программы по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Излагая специальные приемы интегрирования, автор старался всюду выявлять геометрическую сущность разбираемых методов и показывать, как эти методы работают в приложениях, особенно в механике. Так, для решения линейного неоднородного уравнения вводится 6-функция и вычисляется запаздывающая функция Грина, квазиоднородные уравнения приводят к теории подобия и закону всемирного тяготения, а теорема о дифференцируемости решения по начальным условиям к исследованию относительного движения космических тел на близких орбитах. Автор позволил себе включить в это предисловие несколько исторических отступлений.

Дифференцпальные уравнения изобретены Ньютоном (1642 — 1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно вольно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениямим Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона и том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковой степени). Особенное значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями.

для которых формулу знал, например, Виета (1540 — 1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлорах все основные элементарные функции (рациональные, радикалы, Предтзслоеие к тпретпьему изданию тригонометрические, экспоненту и логарифм). Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часаш Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, так как он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее производить не при помощи кратных дифференцирований, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными была скорее средством вычислении производных, чем средством составлении рида.

Одним из важнейших достижений Ньютоне является его теории солнечной системы, изложенная в «Математических началах натуральной философии» («Ргшс1р1в») без помощи математического анализа. Обычно полагают, что Ньютон открыл при помощи своего анализа закон всемирного тнготения. В действительности Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Е!ьютону Гуком (1635 — 1703) (см. й 8) и, по-видимому, угадывался еще несколькими учеными.

С «РПпстр1в» Ньютона начинаетсн современная физика. Завершение формирования анализа как самостоятельной научной дисциплины свнзано с именем Лейбница (1646 — 1716). Огромной заслугой Лейбница является также широкан пропаганда анализа (перван публикация— статья 1684 г.) и доведение его алгоритмовз до полного автоматизма: он изобрел таким образом способ научить пользоваться анализом (и преподавать его) людей, вовсе его не понимающих, — — тенденция, с которой приходится бороться еще и сегодня. Из огромного числа работ Х ьтН1 века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736 — 1813). В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в и;мерном случае).

Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, тмежду прочим, Лейбницу принадлежат понптил матрицы, обозначение оц, а также начала теории определителей и теории систем линейных уравнений, одна из первых вычислительных машин. Предисловие и третп»ел«у изданию так как именно из такого уравнения определяются секулярные (вековые, т. е.

медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений. Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль (1809 — 1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в том числе таких классических, как линейные уравнения второго порндка) в элементарных функциях и квадратурах.

Позже С. Ли (1842--1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) так из теории дифференциальных уравнений возникла одна из наиболее плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно свнзано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Пуассон (1781-1840) и, особенно, Якоби (1804 — 1851)). Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Пуанкаре (1854-1912), созданнан им «качественнан теорин дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теории дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, является сейчас наиболее активно развивающейся и имеющей наиболее важные приложения в естествознании областью теории дифференциальных уравнений.

Начиная с классических работ А.М.Ляпунова (1857 — 1918) по теории устойчивости движения в развитии этой области большое участие принимают русские математики (упомяну работы А.А. Андронова (1901 — 1952) по теории бифуркаций, А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина по структурной устойчивости, Н. М. Крылова (1879 — 1955) и Н. Н. Боголюбова по теории усреднения, А.