Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 4

6 изображено также поле направлений рассматриваемого уравнения. Поскольку о не зависит от 1, поле переходит в себя при сдвигах вдоль оси Е Согласно теореме п. 3, задача построения интегральных кривых этого поля решается одним интегрированием (в области, где поле не параллельно оси 1, т.е. где нет равновесий, о(х) ф- О). Предположим, что функция с непрерывна и нигде не обращаетсл в О. Выпишем нвную формулу, определяющую интегральные кривые. Тангенс угла наклона нашего поля к оси х равен 1/о(х). Следовательно, иоле направлений уравнения йх/й1 = с(х) совпадает с полем направлений уравнен я дй/йх = 1/о(х).

Значит, совпадают и интегральные кривые этих уравнений. Но интегральнан кривая второго дается формулой Варроу:, в данном случае она имеет вид 20 Глава 1 «1х/о(х) = «В. Интегрируя левую н правую части, получаем соотноше- ние 1 = ( Йх/о(х), т. е. (3). Рис. 7. Числитель н зна- менатель дроби дх/д1 Рис. 8. Определение интеграла 1-формы Рассмотрим (рнс.

7) приложенный в какой-либо точке вектор А скорости движения на плоскости, на которой фиксированы координаты (г, х). Скорость изменения координаты 1 при этом движении являетсн функцией этого вектора. Она линейна. Эта линейная функция вектора и обоаначается Ю. Например, значение этой функции на векторе А с компонентами (10, 20) есть й1(А) = 10. Точно так же определяется дх(А) = 20 — - скорость изменения координаты х при движении с вектором скорости А, так что А имеет компоненты ду(А), дх(А).

Очевидно Предложение 1. Для любого вектора А, касающегося графика гладкой функции х = ~о(1), отношение дх(А)/дг(А) равно ирои»водкой дх/дг функции у е соответствующей точке. Таким образом, уравнение дх/е(х) = дг есть сооткошекие л«ежду линейными фуякциял«и ат сектора, касающегося иктегр льяой кривой. Функции приложенного вектора, линейные прн фиксировенной точке приложения, называются дифференциальными 1-форльал«и.

Всякая дифференциальная 1-форма на плоскости (В т) может быть записана в виде ю = адг -~- Ьдх, где а и Ь функции на плоскости. Дифференциальные формы можно интегрировать вдоль ориентированных отрезков кривых. Выберем на отрезке Г кривой на плоскости ориентирующий параметр и, т.е. представим Г в виде образа гладкого отображения В действительности этот способ.

конечно. больше. чем мнемоническое превило. Лейбниц не стал бы вводить сложное обозначение †, если бы не дх д1 ' имел в виду самой настоящей дроби: дх деленное ка Ж. Дело в том, что дх и Ж вЂ” вовсе не таинственные «бесконечно малые» величины, а вполне конечные числа, точнее — функции вектора. 31. Фиговые пространства у: 1 ь Иг (рис. 8) отрезка оси и в плоскость. Интеграл формы ы вдоль Г определяется как число ы = з( ьз(у ) с(гь, где у = —.

Р Ау г(и г г Иными словами, интеграл это предел интегральных сумм 2ы(А;), где А, = ~'(и,)ЬИ здесь ж — - точки деления отрезка 1 на отрезки длин Ь, = изез — иг. Вектор А, касается Г и лишь малыми высшего порндка относительно г3, отлнчеетсн от вектора хорды, соединнюшей последовательные точки делении на Г (рис. 8).

Из теоремы о замене переменной в определенном интеграле' вытекает Предложение 2. Интеграл 1-формы по ориентированному отрезку кривой ке зависит от выбора параметра, согласованного с ориентацией (при изменении ориентации интеграл мекает знак). Очевидно Предложение 3. Интеграл 1-формы 1'(ш) бк по отрезку кривой, на котором ш можно принять за параметр, совпадает с обычным определенныл~ интегралом функции 1. Вернемся к доказательству формулы (3).

Значения дифференциальных форм дш/о(к) и Ф на векторах, касающихся интегральной кривой, совпадают. Значит, нх интегралы вдоль отрезка кривой равны. Согласно предложению 3, интеграл первой формы равен правой, а второй — левой части формулы (3). 6. Примерз уравнение нормального размножения. Предположим, что величина биологической популяции (например, количество бактерии в чашке Петри или рыб в пруду) равна и и что скорость прироста пропорциональна наличному количеству особей.

(Вто предположение приближенно выполннетсн, пока пищи достаточно много.) Наше предположение выражается дифференциальным уравнением нормального размножения ш = зсщ, к > О. По смыслу задачи к > О, так что поле направлений задано в полуплоскости; оно изображено на рис. 9. Из вида поля направлений ясно, что и хите теореме открыта Барроу именно прн решении простейших днфференцнвльных уравнений, теперь называемых уравнениями с резпеляющимнся переменнымн.

22 Глава 1 растет с ростом 1, но неясно, будут ли бесконечные значения х достигнуты за конечное время (вертикальная асимптота у интегральной кривой) или же решение остается конечным при всех Й Наряду с будушим ненсно также и прошлое: будет ли интегральная кривая стремиться к оси х = 0 при стремлении 1 к конечному отрицательному пределу или к бесконечному? К счастью, уравнение размножения решается явно по предыдущей теореме: согласно формуле (3), ,а .а .о а' -а- -а- -а- -а- Г Рнс. 9. Урав пение размно ження х = /ах 1 — 1а = —, й(1 — 1о) = 1п(х/хо), х = еМ "~хш / йс' аа ааааа Следовательно, решения уравнения нормального размножения экспоненциально растут при 1 -о +сю и экспоненциально а убывают при 1 — » — оо; ни беслонечные, ни Р нулевые значения х при конечных 1 не до« оооо ошиваются.

Для удвоения количества наэ ~ооо~ о селения, согласно уравнению нормального 1ао размножения, требуется, таким образом, »- всегда одно и то же время, независимо от ао в' з" его количества (период удвоения населе- .Я ния Земли сейчас порндка 40 лет). Наука о«а»па»оп»ааааа оомшаашаа до середины ХХ века также росла экологе ненциально (рис.

10). Рнс. 10. Рост числа орнгн- То же самое ДиффеРенЦиальное УРавнальных и реферативных на- пение с отрицательным Й описывает раучных журналов (по книге диоактивный распад. Для уменьшения ко- В. В. Налимова и 3. М. Мул»- личества радиоактивного вещества вдвое ченко «Нвукометрия» (Мл требуется время Т = 1 ~ 1и 2, незанисимо от начального количества вещества. Это времн называется периодом полураспада. Период полураспада широко известного изотопа радин-226 — 1620 лет, а наиболее распространенного изотопа урана-238 — 4.5 10о лет. То же уравнение встречаетсн и в большом числе других задач (в дальнейшем мы увидим, что это не случайность, а проявление закона природы, по которому «вснкан» функция локально приближенно линейна). З 1. Фазоеые пространства ЗАдАчА 1.

На какой высоте плотность воздуха вдвое меньше, чем на поверхности Земли? Температуру считать постоянной, кубометр воздуха на поверхности Земли весит 1250 г. Отввт. 8!и2 км — 5.6 км высота Эльбруса. 7. Пример: уравнение взрыва. Предположим теперь, что скорость прироста пропорциональна не количеству особей, а количеству пар: т. = Йш .

(4) В этом случае при больших ш прирост идет гораздо быстрее нормального, а при малых — гораздо медленнее (эта ситуация встречается скорее в физико- химических задачах, где скорость реакции пропорциональна концентрациям обоих реагентов; впрочем, в настоящее время китам некоторых видов так трудно найти себе пару, что размножение китов подчиняется уравнению (4), причем х мало). Рис. 11. Уравнение Поле направлений на вид мало отличается от такового длн случаи обычного размножении (рис.

9), но вычисления показывают, что интегральные кривые ведут себн совершенно подругому. Предположим для простоты, что й = 1. По формуле Барроу находим решение 1= ! — + С, т.е. к = — при 5 < С. Гба =/ л . — 1-С Интегральные кривые половины гипербол (рис. 11). Гипербола имеет вертикальную асимптоту. Итак, если прирост населения пропорционален числу пар, то количество населения становится бесконечно большим за конечное время. Физически этот вывод соответствует взрывообразному характеру процесса.

(Разумеется, при 1, слишком близком ь С, идеализации, принятая при описании процесса дифференциальным уравнением, неприменима, так что реальное количество населения за конечное время бесконечных значений не достигает). Интересно отметить,что вторан половина гиперболы к = (С вЂ” 1) ' также является интегральной кривой нашего уравнения (если продолжить его с полуоси к > 0 на всю ось к). Решения, соответствующие обеим половинам гиперболы, даютсн одной и той же формулой, но никак не связаны между собой. Связь между этими решениями восстанавливается, если считеть времн комплексным или если компактифицировать эффинную ось к до проективной прямой (см.

гл. 5). 24 Глава 1 Злдлчл*1. Какие из дифференциальных уравнений х = х определяют на аффинной прнмой поле фазовой скорости, продолжающееся без особенностей на проективную прямую? Отвнт. и = О, 1 нли 2. х = (1 — х)х. Векторное поле фазовой скорости о и поле направлений на плоскости (1, х) изображены на рис. 12. Рнс. 13. Интеграль- ные кривые уравне- ния х = (1 — х)х Рис. 12. Векторное поле и поле направлений урав- ненин х = (1 — х)х Мы заключаем отсюда, что интегральные кривые выглядят. как изображено на рис. 13. Точнее говоря, мы видим.

что 1) процесс имеет два положения равновесия: х = О и х = 1; 2) между точками О и 1 поле направлено от О к 1, а при х > 1 к точке 1. Таким образом, положение равновесия О неустойчиво (раз появившеесн население начинает расти), а положение равновесии 1 устойчиво (меньшее население растет, а большее — - убывает).

8. Пример: логистическая кривая. Уравнение обычного размножения х = Йх пригодно, лишь пока число особей не слишком велико. С увеличением числа особей конкуренция из-за пищи приводит к уменьшению скорости прироста. Простейшее предположение состоит в том, что коэффициент й зависит от х, как линейная неоднородная функция (при не слишком больших х вснкую гладкую функцию можно аппроксимировать линейной неоднородной): )г = а — Ьх. Мы приходим таким образом н уравнению размножения с учетом конкуренции х = 1а — Ух)х. Коэффициенты о, и 6 можно превратить в единицу выбором масштабов 1 и х. Мы получаем так называемое логистичесное уравнение 25 З 1.