Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 3

Всевозможным положениям экипажей соответствуют всевозможные точки квадрата М. Этот квадрат называется фазоаыл пространством, а его точки — фазовыми тачкали. Таким образом, каждая фазовая точка соответствует определенному положению пары экипажей, а всякое движение экипажей изображается движением фазовой точки в фазовом пространстве.

Например, начальное положение машин 1в городе А) соответствует левому нижнему углу квадрата (зг —— жз — — О), а движение машин из А в В изображается кривой, ведущей в противоположный угол. Точно так же начальное положение возов соответствует правому нижнему углу квадрата 1з1 = О, зз = 1). а движение возов изображается кривой, ведущей в противоположный угол квадрата. Но всякие две кривые в квадрате, соединяющие разные пары противоположных вершин, пересекаются. Поэтому, как бы ни двигались возы, наступит момент, когда пара возов займет положение, в котором была в некоторый момент времени пара машин. В этот момент расстояние между центрами возов будет меньше 2В Итак, разминуться не удается.

З 1. Фазовгае пространства Например, состонние процесса движения системы и материальных точек в классической механике описывается значениями координат и скоростей всех материальных точек. Следовательно, фазовое пространство такой системы имеет размерность бгг,(по три координаты и три компоненты скорости на каждую материальную точку).

Фазовое пространство системы трех точек (Солнце, Юпитер, Сатурн) 18-мерно. Фазовое пространство системы п твердых тел имеет размерность 12о (почему?). Движение всей системы описывается движением точки по кривой в фазовом пространстве. Скорость движения фазовой точки по этой кривой определиется самой точкой.

Таким образом, в каждой точке фазового пространства задан вектор — он называется вектором фазовой скорости. Все векторы фазовой скорости образуют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет дифференциальное уравнение процесса (зависимость скорости движении фазовой точки от ее положения).

Основнан задача теории дифференциальных уравнений состоит в определении или исследовании движения системы по векторному полю фазовой скорости. Сюда относятся, например, вопросы о виде фазовых кривых (траекторий движения фазовой точки): уходят ли, скажем, фазовые кривые данного векторного поля в фазовом пространстве на бесконечность или остаются в ограниченной области? В общем виде эта задача не поддаетсн средствам современной математики и, по-видимому, в некотором смысле неразрешима (в частности это относитсн к упоминавшейсн проблеме трех тел). В простейших частных случаях, с которых мы и начнем, задача решается явно при помощи операции интегрировании. Вычислительные машины позволяют приближенно находить решения дифференциальных уравнений на конечном отрезке времени, но не дают ответа на качественные вопросы о поведении фазовых кривых в целом. В дальнейшем, наряду с методами нвного решения специальных дифференциальных уравнений, мы приведем также некоторые методы качественного исследования.

Понятие фазового пространства сводит изучение эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, определяемых векторными полями. Мы начнем исследование дифференциальных уравнений со следующей геометрической задачи. 3. Интегральные кривые поля направлений. Предположим, что в каждой точке некоторой области на плоскости выбрана проходя- Глава 1 щан через эту точку пряман.

В таком случае говорят, что в области задано поле направлений (рис. 3). ЗАмечАние 1. Две гладкие кривые, проходящие через одну точку, задают в ней одинаковое направление, если они касаются. Таким образом, прямые в определении полн направлений можно заменить произвольными гладкими кривыми: важна лишь касательнал к кривой в точке. На рис. 3 изображена лишь маленькая часть прямой около каждой точки. Рнс. 3. Поле направлений ЗАмечАние 2. Здесь и в дальнейшем все и его интегральная кривая встречающиеся объекты (функции, отображения,... ) предполагаютсн гладкими, т. е.

непрерывно дифференцируемыми нужное число раз, если не оговорено противное. Поле направлений называетсл непрерывным (гладким), если прямые поля непрерывно (гладко) зависят от точки приложения. ЗАмечлниг, 3. Аналогичным образом определяется пале направлений (прямых) в и-мерном пространстве (а также на любом гладком многообразии). Определение.

Линия, которая в каждой своей точке касается имеющегося в этой точке ваправления поля, называетсн интегральной кривой полл направлений. Название «интегральные кривые» обънсняется тем, что в некоторых случаях эти кривые можно найти при помощи операции интегрирования. Рис. 4. Поле инва- риантное относительно вертикальных сдвигов ПРИМЕР.

Предположим, что непрерывное поле направлений на плоскости переходит в себя при всех сдвигах вдоль некоторой прямой и не содерей направлений (рис. 4). жит параллельных Теореме. Задача отыскания интегральных кривых такого ноля есть в точности задача интегрирования данной непрерывной функции. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем систему координат, в которой даннан прямал — вертикальная ось ординат, а ось абсцисс горизонтальнв.

Интегральная крн- 17 З 1. Фаэовые пространства вая поля без вертикальных направлений явлнется графиком функции. Производная этой функции равна тангенсу угла наклона графика к оси абсцисс. График — — интегральная кривая тогда и только тогда, когда этот тангенс равен тангенсу угла наклона прямой данного поля к оси абсцисс. Но этот последний тангенс — известная функция абсциссы (поскольку поле переходит в себя при сдвигах вдоль оси ординат). Следовательно, функции, графиком которой является интегральнан кривая, имеет производной известную функцию и, значит, является ее перво- образной, что и требовалось доказать. Обозначим абсциссу буквой 1, ординату — буквой х, тангенс угла наклона прямой полн известная функция п(1), интегральная кривая — график неизвестной функции у.

Кривая х = 7з(1) интегральная, если и только если — = п(1). По теореме Барроу ~р = 11 ой(+ С. д)о 1 дг В общем случае задача отыскания интегральных кривых ае сводитсн к операции интегрирования: даже для очень просто задаваемых полей направлений на плоскости уравнения интегральных кривых нельзя представить конечными комбинациями элементарных функций и интеграловз.

4. Дифференциальное уравнение н его решения. Геометрическая задача отыскания интегральных кривых аналитически записывается как задача отыскания решений дифференциального уравнения. Предположим, что поле на плоскости (1, х) не содержит вертикальных направлений (не параллельно оси ординат, х (рис. 5)). Тогда тангенс п(1, х) угла наклона приложенной ~з в точке (1, х) прямой поля к оси абсцисс коне- Рис. 5. График решечен и, интегральные кривые явлнются графика- ния днфференцнальми функций х = ~р(1). ного уравнения Мы будем предполагать, что областью определения функции 7з явлнется интервал 1 оси й Очевидна Теорема. Длл того чтобы график функции ьо был интегральной кривой, необходилгв и достаточно, чтобы при всех 1 иэ 1 выполн лось гИ.

Барроу, 1630 — 1677, учитель Ньютона, посаятивщий книгу взаимной обрат- ности задач о касательных и площадях. зпример: таково поле, в котором тангенс угла наклона прямой, приложенной в точке (1, х), с осью л равен хз — ! (Лиувилль). 2 Заказ №И17 Глава 1 соотношение Определение. Функция 1а называется решением дифференциального уравнения (2) ас = о(р, в), если она удовлетворяет соотношению (1) (т. е. если «при подстановке ее в уравнение вместо з уравнение обращаетсн в тождествоз).

Определение. Решение у удовлетворяет нач лънвму условию (1о, жо), если ~р(Мв) = ша Таким образом, решение -- это заданная на интервале функция, график которой — интегральная кривая; решение удовлетворяет начальному условию (1о, за), если интегральная кривая проходит через данную точку (рис. 5).

Пгимвг. Решение простейшего уравнения х = о(1) с начальным условием (1е, ко) даетсн формулой Барроу: д(1) = жо + ~ и(т) «1 . и Всякое дифференциальное уравнение (2) определяет поле направлений на плоскости: приложенная в точке (1, ж) прнмая имеет тангенс угла наклона о(1, в). Это поле короче называется полем направлений а или полем направлений уравнения (2). 5.

Эволюционное уравнение с одномерным фазовым пространством. Рассмотрим уравнение х = о(з), к Е И. Это уравнение описывает зволюционный процесс с одномерным фазовым пространством. Правая часть задает векторное поле филовой скорости: в точке з приложен вектор о(з) (рис. 6, слева). Такое уравнение, правая часть которого не зависит от 1, называется автономным. Скорость зволюции автономной системы, т. е. системы, не взаимодействующей с другими, определнетсн одним лишь состоннием втой системы: от времени законы природы не зависят.

З 1. Фа»овне пространства Точки, где о обращается в О, называются по- х х ложениями равновесия (также стационарными точками или особыми точками) векторного поля. Если а а положение равновесия, то ~р(1) = а решение с — сс= ( «о (3) Таким образом доказана Теорема. Решение х = р(1) уравнения х = о(х) с непрерывной и не обращающейся в 0 правой частью, удовлетворяющее начальному условию (1о, хе), дается формулой (3). Обратно, функция т. = ~р(1), определяемая формулой (3), является решением и удовлетворяет начальному условию. ЗАмечАние. «Мнемонический» способ запоминания формулы (3) состоит в следующем.

Запишем исходное уравнение в виде ах/а«=с(х). Хотя в курсах анализа при введении производной учат, что дх/а1 не дробь, а единый символ, будем обращаться с этим символом как с дробью и перепишем уравнение, собрав всех слева, а все 1 справа, в виде уравнения (процесс, начавшись в состоянии а, всегда в нем остается). На рнс. 6 видно одно положение - -тоуное равновесии, а. Видно, что это положение равнове- "еле " и"ле "апвав сия неустойчиво: при малом отклонении начального пения для уравненияхх = о(х) условия от равновесного фазовая точка с течением времени удалнется от положения равновесия. На рис.