Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 2

Н. Колмогорова по теории возмущений условнопериодических движений. Разбор современных достижений, конечно, выходит за рамки настоящей книги (с некоторыми из них можно познакомиться, например, по книгам автора <Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений», М., 1978; «Математические методы классической механики», М., 1974; «Теория катастроф», М., 1981). Предиелееие н третьему изданию Автор благодарен всем читателям предыдущих изданий, сообщившим свои замечании, которые автор постарался учесть при переработке книги, а также Д.

В. Аносову, многочисленные замечанив которого способствовали улучшению настояшего издании. В. И. Арнольд Предисловие к первому изданию При отборе материала для этой книги автор стремился ограничиться строго необходимым минимумом. Центральное место в курсе занимаи1т два круга вопросов: теорема о выпрямлении векторного поля (эквивалентная обычным теоремам существовании, единственности и дифференцируемости решений) и теория однопараметрических групп линейных преобразований (т.е. теория линейных автономных систем). Автор позволил себе не касаться ряда более специальных вопросов, обычно включаемых в курсы обыкновенных дифференциальных уравнений (элементарные приемы интегрирования; уравнения, не разрешенные относительно производной; особые решения; теория Штурма — Лиувилля; уравнения с частными производными первого порядка).

Часть из этих вопросов удобнее разобрать на упражнениях; последние яге две темы естественнее относить к курсам уравнений с частными производными или вариационного исчисления. Более подробно, чем это обычно принято, разбираются приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к механике.

Уравнение мантника появляется на одной из первых страниц: в дальнейшем эффективность вводимых понятий и методов каждый раз проверяетсн на этом примере. Так, в параграфе о первых интегралах появляется закон сохранения энергии, нз теоремы о дифференцировании по параметру извлекается «метод малого параметраь, а теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами естественно приводит к исследованию качелей (лпараметрический резонансэ). Изложение многих вопросов в курсе сильно отличается от традиционного.

Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону изучаемых явлений. В соответствии с этим в книге много чертежей и нет ни одной сколько-нибудь сложной формулы. Зато появляется целый ряд фундаментальных понятий, которые при традиционном, координатном изложении остаются в тени (фазовое пространство и фазовые потоки, гладкие многообразия и расслоения, векторные поля и однопараметрические группы диффеоморфизмов). Курс значительно Предисловие и иерволЕ издаиисо сократился бы, если бы можно было предполагать эти понятия известными.

К сожалению, в настоящее время указанные вопросы не включаются ни в курсы анализа, ни в курсы геометрии. Поэтому автору пришлось излагать их достаточно подробно. не предполагая у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за рамки стандартных элементарных курсов анализа и линейной алгебры. Основу настонщей книги составил годовой курс лекций, которые автор читал студентам-математикам второго курса Московского университета в 1968 †19 гг. При подготовке лекций к печати большую помощь оказал Р. И.

Богданов. Автор благодарен ему и всем слушателям и коллегам, сообщившим свои замечании о ротапринтном тексте лекций (МГУ, 1969). Автор благодарен рецензентам Д. В. Аносову и С. Г. Крейну за внимательное рецензирование рукописи. 1971 г. В. Арнольд Некоторые постоянно употребляемые обозначения К вЂ” множество (группа, поле) вещественных чисел.

С вЂ” множество (группа, поле) комплексных чисел. У, — множество (группа, кольцо) целых чисел. к й Х С У вЂ” элемент к подмножества Х множества У. Х О У, Х 0 У вЂ” пересечение и объединение множеств Х и У. Г': Х -+ У вЂ” отображение Г' множества Х во множество У. к ~-> у — — отображение переводит точку к в точку у. г о у произведение отображений (применяетсн сначала у). з;'«' — существует; для всякага. * не обязательнан (более трудная) задача или теорема.

К" — линейное пространство размерности я над полем К. Во множестве К" могут рассматриваться и другие структуры (например, аффинная, евклидова или структура прямого произведении н прямых). Обычно это будет специально оговариваться («аффинное пространство К~», «евклидова пространство К"», «координатное пространство К"» и т.п.). Векторами мы называем элементы линейного пространства. Векторы обычно обозначаются буквами полужирного шрифта (е, С и т. и.). Векторы координатного пространства К" отождествляются с наборами и чисел. Мы будем писать, например, е = (ом ..., о„) = о»е«+... + е„е„; набор я векторов е; называется координатным базисом в К". Нам часто будут встречаться функции вещественного переменного К называемого временем.

Производная па б называется скоростью и обозначается чаще всего тачкой наверху: т = Ик/Ж. 1 ЛАВА 1 Основные понятия В 1. Фазовые пространства Теория обыкновенных дифференциальных уравнений — — одно из основных орудий математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, ионечномерности н диффереицируемости.

Прежде чем дать точные математические определения, рассмотрим несколько примеров. 1. Примеры эволюционных процессов. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход н все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Так, например, классическая механика рассматривает движение систем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными положениями и начальными скоростями всех точек системы. Фазовое пространство механической системы — это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы.

Движение частиц в квантовой механике не описывается детерминированным процессом. Распространение тепла полудетерминированный процесс: будущее определяется настоящим, а прошлое — нет. Процесс называетсн конечиомерным, если его фазовое пространство конечномерно, т.е. если число параметров, нужных для описания его состояния, конечно. Так, например, ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек нли твердых тел относится к этому классу. Размерность фазового пространства системы из н материальных точек равна бо, а системы из п твердых тел — 12о. Движения жидкости, изучаемые в гидродинамике, процессы колебаний струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустике — примеры процессов, которые нельзя описать с помощью конечномерного фазового пространства.

З 1. Фазевые аросгаракстеа Процесс называется диффервкцирувмым, если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия, а изменение состояния со временем описывается дифференцируемыми функциями. Так, например, координаты и скорости точек механической системы меняютсн со временем дифференцируемым образом. Движения, изучаемые в теории удара, свойством дифференцируемости не обладают. Таким образом, движение системы в классической механике может быть описано при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, тогда как квантован механика, теория теплопроводности, гидро- динамика, теория упругости. оптика, акустика и теория удара требуют иных средств.

Еще два примера детерминированных конечномерных и дифференцируемых процессов: процесс радиоактивного распада и процесс размножения бактерий при достаточном количестве питательного вещества. В обоих случаях фазовое пространство одномерно: состонние процесса определяется количеством вещества или количеством бактерий. В обоих случаях процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением. Заметим, что вид дифференциального уравнения процесса, а также самый факт детерминированности, конечномерности и дифференцируемости того или иного процесса можно установить лишь экспериментально, следовательно -- только с некоторой степенью точности. В дальнейшем мы не будем вснкий раз подчеркивать это обстоятельство и будем говорить о реальных процессах так, как если бы они точно совпадали с нашими идеализированными математическими моделями.

2. Фазовые потоки. Точная формулировка изложенных выше общих принципов требует довольно абстрактных понятий: фазового пространства и фазового потока. Чтобы освоиться с этими понятиями, рассмотрим пример, где уже одно введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу. ЗАдАчА 1 (Н. Н. Констлптинов). Из города А в город В (рис. 1) ведут две непересекающиеся дороги.

Известно, что две машины, выезжающие по разным дорогам из А в В и свнзанные веревкой некоторой длины, меньшей 21, смогли проехать из А в В, не порвав веревки. Могут ли разминутьсн, не коснувшись, два круглых воза радиуса 1, центры которых движутся по этим дорогам навстречу друг другу? Глава т Машины Возы Рис. 1. Начальное поло- жение возов Рис. 2. Фазовое простран- ство пары экипажей Рвшвиик. Рассмотрим квадрат (рис. 2) М = 1жм зз. О < з; < 1). В рассмотренном примере не участвовали дифференциальные уравнения, но ход рассуждений близок к тому, чем мы будем заниматьсн дальше: описание состояний процесса как точек подходящего фазового пространства часто оказываетсн чрезвычайно полезным. Положение двух экипажей 1один — на первой дороге, другой — на второй) можно характеризовать точкой квадрата М: достаточно обозначить через ач долю расстояния от А до В по 1-й дороге, заключенную между А и находяшимсн на этой дороге экипажем.