Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 5

Фазоеые арастранстэа Каким бы ни было начальное состояние х > О, с течением времени процесс выходит к устойчивому состоянию равновесия х = 1. Из этих соображений неясно, однако, происходит ли этот выход за конечное или за бесконечное время, т.е. имеют ли интегральные кривые, начавшиеся в области О < х < 1, общие точки с прямой х = 17 Можно показать, что таких общих точек нет и что эти интегральные кривые асимптотически стремятсн к прямой х = 1 при 2 — ь +ос и к примой т = О при 1 — э — оо. Эти кривые называются лагистическими кривыми.

Таким образом, логистическая кривая имеет две горизонтальные асимптоты (х = О н 1) и описывает переход от одного состоянин (О) к другому (1) за бесконечное время. ЗАДАЧА 1. Найти уравнение логистической кривой. Рвшвнив. По формуле (3) 1 = ~ = 1в ' „илн х = дх х е ,/ х(1 — х) 1 — х 1+е Эта формула доказывает указанное выше асимптотическое свойство логистической кривой. Злдлчл 2.

Доказать,что интегральные кривые уравнения х = (1 — х)х в области х > 1 асимптотически стремятся к прямой х = 1 прн 1 — г +со и имеют вертикальные асимптоты 1 = сонэк При малых х, логистическая кривая практически неотличима от экспоненциальной, т.е. конкуренция мало влинет на рост. Однако по мере увеличенин х рост становится неэкспоненциальным и вблизи х = '/з экспоненциальная кривая резко уходит вверх от логнстнческой; в дальнейшем логистический рост описывает насыщение системы, т.е. установление в ней равновесного режима (х = 1). До середины ХХ века наука росла экспоненцнально (см. рнс.

10). Если такой рост будет продолжатьсн, то к ХХ1 веку все неселенне Земли будет заниматьсн наукой, а для печатания научных статей не хватит всех лесов планеты. Следовательно, раньше должно наступить насыщение: мы находимся вблизи того места, где логнстическая кривая начинает отставать от экспоненциальной. Например, число математических статей в научных журналах после второй мировой войны до 70-х годов увеличивалось каждый год на 7%, а последние несколько лет медленнее. 9.

Пример: квоты отлови. До сих пор мы рассматривали свободную популяцию, развивающуюся цо своим внутренним законам. Предположим теперь, что мы отлавливаем часть популнции (скажем, ловим Глава 1 рыбу в пруду или в океане). Предположим, что скорость вылова посто- янна. Мы приходим к дифференциальному уравнению отлова т = (1 — к)к — с. Величина с характеризует скорость вылова и называется квотой. Вид векторного поля и поля фазовой скорости при различных значениих скорости вылова с показан на рис.

14. Мы видим, что при не слишком болыпой л ~ с<1/4 скорости вылова (О < с < ~/ ) существуют два положения равновесия (А и В на рис. 14). Нижнее положение равновесия (к = А) неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перепав, болезни) в некоторый момент величина популяции т опустится ниже А, то в дальнейшем вся популяции за конечное время вымрет. Верхнее положение равновесия В устойчиво — это стационарный режим, на который выходит популяции при постоянном отлове с. Если с ) ~/4, то равновесий нет и вся популяция будет отловлена за конечное время (стелперова корова и т.п.). Рис. 14. Уравнение от- При с = з/ имеется одно неустойчивое солона х = (1 — к)* с стояние равновесия (А = В = '/з).

Отлов с такой скоростью при достаточно большой начальной численности популяции математически возможен в течение сколь угодно длительного времени, однако сколь угодно малое колебание численности установившейсн равновесной популяции вниз приводит к полному вылову популяции за конечное время. Таким образом, хотя теоретически допустимы любые квоты, вплоть до максимальной (с < /4), максимальная квота с = /4 приводитп к неустойчивости и недопустима. Более того, практически недопустимы и близкие к з/ квоты, так как при них опасный порог А близок к установившемуся режиму В (небольшие случайные отклонения отбрасывают популяцию ниже порога А, после чего она погибает).

Оказывается, однако, что можно организовать отлов так. чтобы устойчиво получать улов со скоростью /4 за единицу времени (большего получить нельзя, так как ~/4 — зто максимальнан скорость размножения необлавливаемой нопуляции). З 1. Фазоввсе пространства 10. Пример: отлов с относительной квотой. Фиксируем вместо абсолютной скорости отлова относительную, т.е. фиксируем отлавливаемую за единицу времеви долю наличной популяции: х = (1 — х)х — рт.

Вид векторного поля и интегральные кривые (при р < 1) изображены на рис. 15. Нижнее, неустойчивое положение равновесия теперь в точке х = О, второе положение равновесия В устойчиво при лю- с Рх с В В бом р, 0<р< 1. После некоторого периода установления популяция выходит на стационарный режим х = В. Абсолютная скорость отлова Рис. 15. Уравнение отлоустанавливается при этом равной с = рВ.

ва х = (1 — х)х — рс Это ордината точки пересечения графиков функций о = (1 — х)х и о = рх (рис. 15. слева). Исследуем поведение этой величины с при изменении р. При малых относительных выловах (малых р) установившаяся скорость отлова также мала; нри р — з 1 она тоже стремитсн к нулю (перепав). Наибольшее значение абсолютной скорости с равно наибольшей ординате графика функции о = (1 — т)х. Оно достигается, когда прямая о = рх проходит через вершину параболы (т.е. при р = '/з), и равно с = '/и Выберем р = '/з (т.е. назначим относительную квоту так, чтобы установившансн популяция составляла половину необлавливаемой).

Мы достигли максимально возможной стационарной скорости облавливания с = ~/, причем система остается устойчивой (возвращается к установившемусн состоянию при малых отклонениях начальной популяции от установившейся). 11. Уравнения с многомерным фазовым пространством. В рассматривавшихсн выше примерах фазовое пространство было одномерным. В более сложных случанх (например, при учете взаимодействия между несколькими популяциями) точка фазового пространства определяется несколькими числами (двумя для двух популяций и т.

д.). Определении дифференциального уравнения, решений и т. д. в этом случае аналогичны введенным выше. Повторим эти определения. Пусть о векторное ноле в области Г и-мерного фазового пространства. Автономное дифференциальное уравнение, заданное полем о, — это уравнение х=е(х), хЕГСВ". 28 Глава 1 Решением такого уравнения называется гладкое отображение ~р: 1 — ь С интервала оси времени в фазовое пространство, для которого — = о(ьо(1)) при всех 1 из 1. Ну гй Образ отображения ~р называется фаэоаой кривой, а график' отображения ~р — интегральной кривой. Интегральная кривая лежит в прямом произведении оси времени на фазовое пространство.

Это прямое произведение называется расширенным утазоаылг пространстволь Расширенное фазовое пространство имеет размерность п + 1. Пусть ((о, юо) — точка расширенного фазового пространства. Решение у удовлетворяет начальному условию ((о, то), если <р((о) = що, т. е. если интегральная кривая проходит через точку ((о, юо). Как и в случае одномерного фазового пространства, интегральные кривые можно описать при помощи поля направлений в расширенном фазовом пространстве. Тангенс угла наклона к оси абсцисс заменяется следующей конструкцией.

Предположим, что дано поле направлений в области И прямого произведения К х К" и что направление поля нигде не вертикально (не параллельно К"). Пусть 1 координата в К, ю = (зт, ..., зв) в К". Тогда в каждой точке существует (и единствен) вектор приложенного в этой точке направления, имеющий горизонтальную координату ((-компоненту), равную 1. Таким образом, указанный вектор имеет вид (1, о(1, х)), где о(1, ю) — вектор в К", зависящий от точки расширенного фазового пространства. Иными словами, невертикальное поле направлений в расширенном фазовом пространстве определяет зависнщее от времени векторное поле в фазовом пространстве. Каждая интегральная кривая данного поля направлений очевидно удовлетворяет дифференциальному уравнению ю = о(г.

ю), т.е. нвляется графиком отображения из интервала оси времени в фазовое пространство, для которого — = о(1, ~р(1)) при всех 1. Обратно, г((о г(1 график всякого решения интегральнан кривая этого поля. Решение удовлетворяет начальному условию ((о, юо), если и только если интегральная криван проходит через эту точку.

т Грофвя отобреження Г: Х вЂ” ь У есть подмножество прямого произведения Х х У, состоящее нз всех пер вида (в, т'(я)), где в с Х; прямое провзеедеяве Х х У есть множество нсех упорядоченных пвр (з, р), где я ц Х, р ц У. 29 Ь 1. Фазоеые лространстоа Зливчлнив. В координатной записи векторное поле в и-мерном пространстве задается и функциями о переменных. Наше дифференциальное уравнение принимает поэтому внд «системы о уравнений первого поряднак х« = о«(П хы ..., х„), ..., х„= о (П хы ..., х ). Решение задается вектор-фуньцией (хы ..., 1о„) переменной 1, для котойро рой = оо(В 1о«(1), ..., «о„(1)), й = 1, ..., и, прн всех и Начальное усло- ~Й вие задается о+ 1 числом (1о1хно, ..., х„,о).

12. Пример: дифференциальное уравнение системы хищник-жертва. Простейшая, саман грубая модель, описывающан борьбу двух видов -- хищника и жертвы — состоит в следующем. Рассмотрим пруд, в котором живут рыбы двух видов, скажем, караси и щуки. Если бы щук не было, караси размножались бы экспоненциально, со скоростью х = 1«х, пропорциональной их количеству х (мы предполагаем, что суммарная масса карасей много меньше массы пруда).

Если у количество щук, то следует учесть карасей, съеденных щуками. Мы предположим, что число встреч карасей со щуками пропорционально как числу карасей, так и числу щук: тогда для скорости изменения числа карасей получим уравнение х = Йх — ату. Что касается щук, то без карасей они вымирают: у = — (у, в присутствии же карасей начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу съеденных карасей: у = — 1у+ Ьху. У! Мы приходим, таким образом, к системе дифференциальных уравнений простейшей модели системы хищник-жертва: х, Рнс. 16. Поле фазовой скорости хищ- ник-жертва Е х = йх — аху. у = — 1у+ Ьху. Эта модель называется моделыоЛотна — Волыперра по имени авторов.