Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 7

В 2. Векторные поля на прямой В этом параграфе исследуется дифференциальное уравнение, заданное векторным полем на прямой, н сводящиеся к нему уравнении с разделяющимисн переменными. ЗлДАчА 2. Доказать, что фазовые кривые — окружности больших кругов указанных сфер. З2. Векторные поля на пря.чоб 1. Существование и единственность решений.

Пусть о гладкая (непрерывно дифференцируемая) функция, заданная на интервале Сг вещественной оси. Теорема. Решение гэ уравнения х = о(х) с начальным услояием (1о, хо) 1) существует для любых 1 С К, то с П; 2) единственно в том смысле, что любые два решения с общим начальным условием совпадают в некотораб окрестности точки 1о,. 3) дается уюрмулай Барроу: т(г) I г1» б — 1о = у, если и(хо) ФО.

,/ е(») яа чэ(г) — = хо, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть хо — не положение равновесия. В 3 1 мы видели, что: 1) решение даетсн в окрестности точки Ео формулой Барроу, 2) определенная этой формулой функция уг является решением и удовлетворнет начальному условию. В случае, когда хо — положение равновесия, функции уг(г) г— я хо также очевидно является решением, и теорема доказана. ЗАДАЧА 1. Указать пробел в доказательстве. 2.

Опровергающий пример. Пусть о = хзуз (рис. 27). Два решения гэг — — О, ~рз = (г/3)з удовлетворяют общему начальному условию (О, О), вопреки утверждению о единственности. Конечно, функция п не дифференцируема, поэтому пример не опровергает утверждение теоремы. Однако приведенное доказательство не использовало гладкости о: оно проходит и в том случае, когда функция о лишь непрерывна. Следовательно, это доказательство не может быть верным. И действительно, утверждение о единственности было доказано лишь при условии г~(хо) ф О. Мы видим, что если поле г~ лишь непрерывно (а не дифференцируемо), то единственности решений с начальным условием в положении равновесия может и не быть.

Оказываетсн, гладкость о гарантирует единстяенность и а этом случае (см. п. 3 ниже). Глава / х Приведенный пример можно описать еще //// /////// // так: при движении со скоростью о(х) = х / ///// ///////// можно попасть в положение равновесия (х = О) ////// гУ// // из другой точки за конечное время. В 2 1 мы рассмотрели движение в линей- /У ЬУ// ////// ном поле (со скоростью о(х) = 1гх). В этом слу- //////// ////// чае для того, чтобы прийти в положение равно///////// ///// весия, требовалось бесконечное время (наприРис.

27. Пример неедин- мер, если о(х) = — х., то фазовая точка приблиствеииости жаетсп к положению равновесия так медленно, что ей в любой момент оставалось бы до него двигаться время, раваое 1„ если бы ее скорость перестала меняться в этот момент). Причина неединственности в случае о(х) = хз/з состоит в том, что скорость недостаточно быстро убывает при подходе к положению равновесии. Из-за этого решение и успевает войти в особую точку за конечное время. 3. Доказательство единственности. Предположим, что у— решение уравнения х = о(х) с гладкой правой частью о.

Допустим, что ~р(го) = хо положение равновесия, у(зз) = хз не положение равновесия (рис. 28). На отрезке между Уо и П рассмотрим ближайший к П момент времени гз, в который о(~р(1з)) = О. Для любой точки Зз между 1з и П имеем по формуле Барроу зз — П = /, хз = ~Р(зз).

l иЫ)' г1 Если функция и гладкая, тв интеграл стремится и бесконечности, когда хз стремится к хз. Действительно, тангенс угла наклона хорд графика гладкой на отрезке функции ограничен (рис. 29), поэтому ]о(~)] ( й]( — хз], где постоянная Й не зависит от точки ц отрезка [хы хз] (условие ограниченности наклона хорд графика функции называют условием Липшица, а число й постоянной Липшица). Итак, ]1з — П]> ~' к(4 хз) 22. Вентпорные поля на пряной г, с, Рис.

28. Доказательство единственности Рнс. 29. Условие Лнп- шица Итак, число ~2з — 1г! больше любого наперед заданного числа. Чисел, больших любого, не бывает. Следовательно, решение с начальным условием в положении равновесия не может принимать значений, не являющихся положениями равновесия. Стало быть, если д(8о) — положение равновесия, то е(у(2)) = О при всех й Следовательно, ф = О, т.е.ш — константа. Единственность доказана. Заметим, что основным в приведенном доказательстве было сравнение движения в гладком поле о с более быстрым движением в подходнщем линейном поле. Для последнего движения время входа в положение равновесия бесконечно, следовательно, оно тем более бесконечно для более медленного движения в исходном поле. ЗАДАЧА 1. Могут лн интегральные кривые гладкого уравнения й = о(з) сближаться при 8 -о +со быстрее, чем зкспонеещиальноб Отввт.

Нет, если одна нз ннх отвечает положению равновесия; да в противном случае. Зядячя 2. Верна лн теорема единственности в случае, когда производная функции о существует,но разрывна? Отввт. Да. ЗАДАЧА 3. Показать, что для единственности решения с начальным условием хо достаточна расходимость в ао интеграла е ./ о(0' о Последний интеграл легко вычислить, он стремится к бесконечности, когда шз стремится к тз. В этом легко убедиться и не вычислян интеграла: ведь он равен времени движении между двумя точками в линейном поле, а это время стремится к бесконечности. когда одна из точек стремится к положению равновесия.

Глава 1 Злдлчл 4. Показать, что для единственности достаточно, чтобы функции о удовлетворяла условию Лившица )е(х) — е(у)) ( /с~х — у~ при всех х, у. Указание. Заменой х на х — х(1) свести решение к нулевому и затем сравнить поле направлений с подходящим линейным. Это сравнение доказывает единственность при любой размерности фазового пространства.

ЗАДАЧА 6. Доказать, что фазовые кривые системы хищник-жертва (г1, п. 12) не пересекают координатные оси (например, первоначально положительное число карасей не может со временем стать отрипательным). ЗАДАЧА 7. Доказать, что всякие два решения уравнения х = о(х) с гладкой е, удовлетворяющие общему начальному условию, совпадают всюду„где оба определены. 4. Прямые произведения. Рассмотрим двв дифференциальных уравнения: хг = ог(хг), хд Е Сг~', (1) тг = ог(хг), хг Е Пг. (2) Прямым произведением этих уравнений называется система хг = ог(хг), хг = ог(хг), (3) фвзовым пространством которой является примое произведение 17 фа- зовых пространств уравнений (1) и (2).

Из определения непосредствен- но вытекает Теореме. Решения р дшрузеренциалъного уравнения (3), являющегося прямым произведением уравнений (1) и (2), — — это отобралсенил Рн 1 — > Сг вида ~Р(1) = (~Рд(1),дг(1)), где ~Рг и ~Рг — РешениЯ УРавнений (1) и (2), определенные на одном и том лсе интервале. В частности, пусть фазовые пространства (7г и Сгг одномерны. Тогда мы умеем решать каждое из уравнений (1) и (2). Следовательно, мы можем явно решить и систему двух дифференциальных уравнений (3).

ЗАдАчА б. Доказать единственность удовлетворяющего начальному условию иге) = хе решения уравнения х = е(й х), где е — гладкая функция. 41 22. Веиторныа поля нл прямой А именно, по теореме п. 5 51 решение ш с условием Чг(«о) = хо можно найти в окрестности тачки 1 = го из соотношений Фгбз тг И1 = 1 — 10 = / г (хо = (хьогхг,о))г =- =l' йб Р дб аг(5) ,/ аг(5) г,о г,о Х1 — Х1 Хг — иХг ЗАДАЧА 1.

Нарисовать соответствующие векторные полн на плоскости при?о = О, ~1, '/г, 2. Мы уже решили каждое из двух уравнений в отдельности. Итак, решение гр с начальным условием ~р(1а) = хо имеет вид рг = хг,ае Ь(1-го) Чгг = хг,ое (г — го) (4) Следовательно, вдоль каждой фазовой кривой и = ог(1) имеем либо )хг) = С(хг), где С постаяннан, не зависящая от 1, либо тг = О. (5) Злдлчл 2. Является ли кривая на фазовай плоскости (хг, хг)„заданная уравнением (5), фазавай кривой? ОТВЕТ. Нет.

Семейство кривых (5), где С Е К, имеет разный вид в зависимости от значения параметра й. Если й > О, то зто семейство «парабол« с показателем йа. Такие параболы касаются оси х1, если /с > 1, нли аси хг, если й ( 1 (рис. 30; при и = 1 получается семейство прямых, проходящих через начало координат). Расположение фазовых кривых, ьнастоящие параболы получаются лишь при Ь = 2 и Ь = 1/2. если аг(хцо) Ф О Ф аг(хг,о). Если аь(хг,о) = О, то первое соотношение заменяется на Чгг = хг,о, а если иг(тг,о) = О, та второе на ьгг = хг.о.

Наконец, если аг(хг.о) = аг(хг.о) = О, та хо — - особая точка векторного поля а н положение равновесия системы (3)1 р(1) — = хо. 5. Примеры прямых произведений. Рассмотрим систему двух уравнений 42 Глава 1 Рис. ЗО. Узлы: фазовые кривые систем х1 = х1, х2 = йхз для й > О, й = 1 иО<й<1 Я /Уг Рис. 31. Седло: фазо- вые кривые системы Х1=х1 й2=йх22 12<0 Рис. 32.

Фазовые Рис. ЗЗ. Фазовые кривые переверну- того маятника кривые системы хг=х1, х2=0 изображенное на рис. 30, называетсн узлолс При й < 0 кривые 15) имеют вид гипербол" 1рис. 31) и образуют в окрестности начала координат седло. При й = 0 кривые 15) превращаются в прямые 1рис. 32). Из формул 14) видно, что каждая фазовая кривая лежит целиком в одном квадранте 1или на координатной полуоси, или совпадает с началом координат, которое при всех й явлнется фазовой кривой). Стрелки на рисунках указывают направление движения точки Ч2(1) при возрастании 1, ЗАДАЧА 3. Докажите, что каждая из парабол хз = хь 1й = 2) состоит из 2 трех фазовых кривых.

Опишите все фазовые кривые при других значениях й 1й > 1, й = 1, 0 < й < 1, й = О, й < О). 1нвстеяжяе гиперболы получаются лишь яря й = — 1. Интересно проследить, ьак один рисунок переходит в другой при непрерывном изменении й. 43 32. Вектаорнне поля яа прямой Злдлчл 4. Нарисуйте узел, соответствующий Ь = 0,01, и седло, соответствующее Ь = — 0,01. ЗАДАчл 5. Решить УРавнение пеРевеРнУтого маЯтника зт = хг, хг = хт н нарисовать фазовые кривые. Решвнив. Введем на фазовой плоскости новые координаты: Х = хт + тг, У = хт — хг. Система распадается е прямое произведение: Х = Х, У = — У. На плоскости 1Х,У) фазовые кривые образуют седло, как на рис.