Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 11

ко У если хе < С < х. Следствие. Решение неоднородного уравнения (4) с неоднородностью ~," и с нулевым начальным условием выражается через функцию влияния по формуле у(х) = / Сс(х)Е(~) йс' при т > О. о Конечно, эта формула эквивалентна формуле (5) (ввиду (6)). ЗАДАЧА 1. Решить уравнение — =у+йн, где пк(х]=1ч прн (х — 1~<1/2Ж, йу дх 0 прн ~х — 1~ > 1/2Л', с начальным условием у(О) = О, н найти предел решенин прн 1ч' — ь сю. 5. Линейные неоднородные уравнения с периодическими коэффициентами.

Теорема. Если в уравнении с(у/с(х = ./(х)у + е(х) с периодической (периода Т > О пою) правой частью среднее по периоду значение / отлично от нуля, то уравнение имеет Т-периодическое решение, и притом ровно одно (устойчивое, если среднее значение отрицательно, и неустойчивое, если оно положшпельно, рис. 45). З 3. Линейные уревяеяил ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим отображение за период, сопоставляющее начальному условию ~р(0) решении ~р значение ~р(Т) того же решения в момент Т. Это отображение — линейное неоднородвое (почему?); оно имеет вид ~р(Т) = ЛЗо(0) + С, где Л вЂ” — мультипликатор однородного урввнения. Логарифм Л равен интегралу 1 по периоду. Следовательно, Л ф 1, если среднее значение 1 не О, Т 2Т ЗТ откуда и вытекает доказываемое утверж Рис.

40. Установление вынужденного колебания Таким образом, при Л ( 1 в системе после некоторого «переходного процессаь устанавливается, независимо от нач льного условия, вполне определенный колебательный режим. Возникающие здесь колебания называются вынужденными, они вызваны периодическим внешним воздействием на систему, т.е.

функцией у. Злдлчл 1. Найти периодическое решение уравнения и исследовать его устойчивость. ЗАмечАние. Линейные неоднородные уравнения естественно возникают в тех случаях, когда мы исследуем влияние малых возмущений начального условия и одновременно малых возмущений правой части дифференциального уравнения на решение (пренебрегая величинами выше первого порядка малости относительно возмущений). Неоднородность у в уравнении (4) отвечает именно за возмущение уравнения.

Например, при малом возмущении векторного поля в окрестности предельного цикла с отличным от 1 мультипликатором цикл не исчезает, но лишь немного деформируется; периодическое решевие соответствующего линейного неоднородвого уравнения дает первое приближение к этой деформации цикла. Злдлчл 2. Пусть гладкая функция у(«, г) решение уравнения х = о(й х; г), зависнщего от парометра г, обращающеесн в решение 1«о(«) уравнения х = ю(«,х",О) при г = О. Докажите, что производная решении по па- Глава 1 раметру, «/»(г) = ду/д4 =о, удовлетворяет линейному неоднородному уравнению у» = /(г)з/«-Ьб(г)«где / и л значения до/дх и де/дг при г = О, х = ззо(г).

Это уравнение называется (неоднородным) ураеяеяиеж е яариаииях, так как «/«описывает малую вариацию решении под действием малого изменения уравнения. отвечающего е = О. В 4. Фазовые потоки Математическая формализация понятия детерминированного процесса приводит к понятию однопараметрической группы преобразований. Здесь определяются и исследуются однопараметрические группы диффеоморфизмов и их связи с векторными полями. Нам потребуется некотораи алгебраическан терминология. Все теоремы этого параграфа в сущности очевидны.

1. Действие группы на множестве. Преобразованием множества называетсн его взаимно однозначное отображение на себя. ЗАДАЧА 1. Какие из трех следующих отображений — преобразования: 1) И -+ К, х «-» е*; 2) П -+ П, х «-» х ; 3) С -+ С, з «-» з .

Отнят. Только второе. Произаеденигк /д преобразований /' и и одного множества называетсн преобразование. получающееся последовательным применением сначала д«потом /, т. е. (/Д)(х) = /(д(х)). ЗАдАчА 2. Приведите пример. когда /б не совпадает с б/. Обратное к / преобразование / » определнется условием: если / переводит х в у, то / ~ переводит у в х. Набор преобразований множества называется группоб преобразований, если вместе с каждым преобразованием в него входит обратное преобразование и с каждыми двуми преобразованиями — их произведение.

Злдлчл 3. Является ли группой преобразований равностороннего треугольника набор нз трех отражений в его высотах? Злдлчл 4. Сколько элементов в группе изометрий» равностороннего треугольника, в группе вращений тетраэдра? Изометркя зто преобрезоееяке, сохрекяющее ресстояняя (тек что ресстоянке между образами любых двух точек равно расстоянию между точками). З 4. Фазоеые потоки Отввт.

б, 12. Понятие группы преобразований — одно из самых фундаментальных для всей математики и одновременно одно из самых простых: человеческому мозгу свойственно мышление в терминах инвариантов групп преобразований (это свнзано как с устройством зрения.

так и с нашей способностью к абстракции). Пусть А †- группа преобразований множества Х. Умножение и обращение определяют отображения А х А — ~ А и А -+ А (пара (г', д) переходит в Я, элемевт у в у '). Множество А, снабженное этими двумя отображениями, называется абстрактной группой (или, короче, просто группой). Таким образом, группа получается из группы преобразований просто забыванием преобразуемого множества. Злдлчл 5. Докажите, что множество В всех вещественных чисел становится группой, если снабдить его операциями обычного сложения чисел и изменения знака.

Алгебраисты обычно определяют группу как множество с двумя операциями, удовлетворяющими набору ексиом вроде 1(уб) = (Гу)й. Эти аксиомы автоматически выполняются для групп преобразований. В действительности эти аксиомы означают просто, что группа образована из некоторой группы преобразований забыеавием преобразуемого множества. Такие аксиомы, наряду с другими немотивированными определениями, служат математикам главным образом для того, чтобы затруднить непосвященным овладение своей наукой и тем повысить ее авторитет.

Пусть С вЂ” группа, М вЂ” множество. Говорят, что задано действие группы С иа множестве М, если каждому элементу д группы С сопоставлено преобразование Тг. М вЂ” г М множества М, причем произведению любых двух элементов группы сопоставлено произведение соответствующих этим элементам преобразований, а взаимно обратным элементам сопоставлены взаимно обратные преобразования: Тз = Т1Тг, Т . = (Тг)-'. Каждая группа преобразований множества, естественно, действует на этом множестве (Тг — ~,"), но может действовать и на других множествах. Например, рассмотрим равносторонний треугольник. Группа из шести его изометрий действует на множестве из двух его ориентаций: вращенин не переставляют, а отражения переставляют ориентации.

Злдлчл 6. Какие перестановки трех осей координат осуществляются при действии на их множество группы изометрий куба гаах()з(, (у(, ф) ( 11 Отввт. Все 6. Глава 1 Злдлчл 7. Как действует группа линейных замен координат на множестве матриц линейных операторов из пространства в себя? Отввт. Тэгп = д~лб '. Преобразование Тх называется также действием элемента я группы С на М.

Действие группы С на М определяет еще отображение Т: С х М -+ М, сопоставляющее паре 8' Е С, т С М точку Т т. Если действие Т фиксировано, то результат Тлт действия элемента я группы С на точку т множества М короче обозначают просто через лтп. Таким образом„(Я)тп = Г(лтп), поэтому скобок обычно не пишут вовсе. Зафиксируем точку т множества М и будем действовать на нее всеми элементами группы С. Мы получим подмножество (Лтп, я б С) множества М.

Это подмножество называется арбитоб точки т (при данном действии группы) и обозначается Сгп. Злдлчл 8. найти орбиты группы вращении плоскости вокруг нуля. Злдлчл 9. Докажите, чта любые две орбиты одного действия либо не пересекаются, либо совпадают. ЗАДАЧА 10. Сколько орбит имеет действие группы изометрий тетраэдра нэ множестве неупорядоченных пар ега ребер? ЗАДАЧА 11. Сколько раскрасак шести граней куба шестью красками 1,..., 6 существенна различны (не переводятся друг в друга вращениями куба)? Отввт. 6!/24=31Ь Отображение ю: С вЂ” ~ Н группы С в группу Н называетсн гомоморфизмом, если оно переводит произведение в произведение и взаимно обратные элементы во взаимно обратные: Действие группы С на множестве М это гомоморфизм группы С в группу всех преобразований множества М.

2. Однопараметрнческне группы преобразований. Группа называется коммутативноб (илн абелевой), если произведение не зависит от порядка сомножителей: Я = ~~ для любых двух элементов группы. 14. Фазовыв потони Пример 1. Группа всех изометрий равностороннего треугольника неабелева.

Пгимег 2. Группа всех сдвигов вещественной оси абелева. Операции в абелевой группе обычно обозначается знаком +. Например, последовательное выполнение сдвигов на а и на Ь в любом порядке есть сдвиг на а+Ь. Поэтому множество всех вещественных чисел с операцией сложения являетсн абелевой группой; естественное действие этой группы на примой сопоставляет числу и сдвиг на о.. Определение. Однопараметричесной группой преобразований мнолсества называется действие на нем группы всех вещественных чисел.

ЗАМЕЧАНИЕ. Действия группы всех целых чисел Е иногда называют «однопараметрическими группами с дискретным временемм Для такого действии Т„ = (Тз)о. поэтому вся группа состоит из степеней одного преобразования. Однопараметрическая группа преобразований множества М обычно обозначается знаком (дз). Здесь дз: М -з М вЂ” преобразование, соответствующее точке 1 из И. Таким образом, однопараметрическая группа преобразований множества М это набор преобразований Ез, запараметризованных вещественным параметром 1, такой, что для любых вещественных чисел в и1 1) дз ~ « — дздз 2) Аз « — (ЕЗ) Параметр 1 обычно называется временем.