Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 12

преобразование Ез называется преобразованием за время 1. Пример 1. М = К, дз — — сдвиг на 21 (т.е. дзж = ж+ 21). Свойства 1) и 2) очевидны. Пгимег 2. М = К, аз растнжение в е«раз (т.е. язв = е«ж). Свойства 1) и 2) очевидны. Обозначение дз в память об этом примере. Пгимег 3. М = К, язв = ж + зшй Свойство 2) выполнено, а 1)— нет; (йз) — не однопараметрическая группа. ЗАМЕЧАНИЕ. Из свойства 1) очевидно следует, что до — тождественное преобразование, оставляющее каждую точку на месте. Поэтому 5 Заказ №И17 Глава 1 свойство 2) вытекает из 1). Свойство 1) называется групповым свойст- вол. Однопараметрическая группа преобразований множества — — это математический эквивалент физического понятия «двусторонне детерминированный процессы Пусть М фазовое пространство процесса.

Точка этого пространства это определенное состояние процесса. Предположим, что в момент 1 = О процесс был в состоннии х. Тогда в другой момент 1 состонние процесса будет иным. Обозначим это новое состояние процесса через длх. Мы определили для каждого 8 отображение дэ: М вЂ” «М фазового пространства процесса в себя. Отображение дл переводит состонние в момент О в состояние в момент й Оно называется преобразованием эа время й Отображение йл действительно является преобразованием (взаимно однозначным отображением на). Это следует из того, что, по определению детерминированности, каждое состояние однозначно определяет как будущее, так и прошлое процесса. Групповое свойство также выполнено. Действительно, пусть процесс в начальный момент находился в состоянии х. Переход к состоянию в момент 1+ э можно осуществить либо сразу (х ~ дл+"х), либо сначала рассмотреть промежуточное состояние длх, в которое процесс придет за время 1, а потом посмотреть, куда это промежуточное состояние сдвинется за время в.

Совпадение результатов (дл+" х = д"длх) означает, что переход из начального состояния в конечное за фиксированное время происходит всегда одинаково, независимо от того, в какой момент времени мы выходим из начального состоянии. Однопараметрическая группа преобразований множества М называетсн также фазовыл«потоком с фазовым пространством М (можно представлнть себе фазовое пространство заполненным жидкостью.

частица х, через времн 1 переходит в точку балх). Орбиты фазового потока называются его фазовыми кривыми (или траекториями). Пгимвг. Пусть аэ поворот плоскости на угол 1 вокруг О. Очевидно, групповое свойство выполнено. Орбиты фазового потока ٠—— точка О и окружности с центром О. Точки, являющиеся фазовыми кривыми, называются неподвижными точками потока. 67 З 4. Фазовые потоки 3. Однопараметрнческне группы днффеоморфнзмон.

Предположим теперь, что рассматриваемое множество ЛХ наделено структурой гладкого многообразия. Примерами гладких многообразий являются: 1) любая область в евклидовом пространстве; 2) сфера; 3) тор. Общее определение дано в гл. 5. Пока можно считать. что речь идет об области евклидова пространства. Диффеоморфизмом называетсн отображение, гладкое вместе со своим обратным. (Отображение называется гладким, если координаты точки-образа — гладкие функции координат точки прообраза, и обратно). ЗАдАчА 1. Какие из функций х. — х. х, х, агссдх задают диффеамарфизм прямой на себя7 Ответ.

Только первые две. Определение. Одиопорвметрической группой диффеоморфизмов называется однапараметрическая группа преобразований, являющихсн диффеоморфизмами, удовлетворяющан еще следующему условию: д'х гладко зависит от обоих аргументов, 1 и х. Пгимег 1.

М = П, д" умножение на вье. Пгнмег 2. ЛХ = ге~, де — поворот вокруг И на угол й ЗАмечАние. Условие гладкой зависимости ат времени 1 необходима лля того, чтобы избавиться ат патологических примеров, вроде следующего: пусть 1а) базис группы К, т. е. такой набор вещественных чисел, чта каждое вещественное числа однозначно представимо в виде конечной линейной комбинации чисел набора с целыми коэффициентами. Сопоставим каждому числу а нз базиса сдвиг прямой на какое-либо расстояние, совершенно не заботясь а других элементах базиса. Полагая е' '+" + е = д ' ...д'*", мы получим аднапараметрическую группу преобразований, каждое из которых— сдвиг прямой н, следовательно, диффеамарфизм, однако Л" е общем случае зависит ат Г не гладко н даже разрыена.

Вместо гладкости па г можно было бы требовать одной лишь непрерывности (из чего гладкость уже вытекает), на нам эта не нужно. Определение. Однопврвмвтрической группой линейных преобразований называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов. являющихсн линейными преобразованиями. Пгнмег. Рассмотрим на плоскости с координатами (х, у) преобразование д" (х, у) = (в 'х, ед'у). Глаеа 1 хг х, Рис. 46.

Действие фазового потока на область Рис. 47. Гиперболичес- кий поворот Рассмотрим еще случай а = 1,(7 = — 1 (рис. 47). В этом случае преобразование 6" состоит из сжатии в е раз в направлении оси у и растнженин в е~ раз в направлении оси х. Такое преобразование называется гиперболическим поворотом, так как фазовые кривые потока (й') —— половины гипербол ху = сонэ1 (конечно, положение равновесин 0 и половины осей координат — также фазовые кривые). Гиперболические повороты сохраннют площади, хотя и сильно искажают форму фигур (рис. 47). Заметим, что наша однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается в «прямое произведение» двух одно- параметрических групп линейных преобразований прямых (а именно, растяжений осей). Злдлчл 2.

Всякая ли однопвраметрическая группа линейных преобразований плоскости распадается подобным обрвзом7 Указание. Рассмотрите повороты или сдвиги (х,у)~-~(х + гу,у). Ясно, что дг — линейное преобразование (за времн 1 ось х растягиваетсн в е ~ раз, а ось у — в ед' раз). Групповое свойство, ась' = для', вытекает из свойства экспоненты (ев+л = еве"), гладкая зависимость от 1 также очевидна. Итак, (6~1 однопараметрическая группа линейных преобразований плоскости. Пусть, в частности, а = 1,)7 = 2 (рис. 46).

В этом случае фазовые кривые —. неподвижная точка нуль, половины координатных осей и половины парабол; действие одного из преобразований фазового потока на область Е изображено нв рис. 46. Площади областей увеличиваются при действии й' в ез' раз. з 4. Фазоаые потоки 4. Векторное поле фазовой скорости. Рассмотрим однопараметрическую группу (Вэ) диффеоморфизмов области М. Определение. Вектором фазовой скорости потока (Вэ) е точке х из М называется скорость выхода точки дэх из х, т.е. Векторы фазовой скорости потока во всех точках области М образуют гладкое векторное поле (так как В"х гладко зависит от 1 и х).

Оно называется полем фиговой скорости. Злдлчл 1. Найти поля фазовых скоростей потоков на прямой азх = х+ й е х, е х. Отвкт. о(х) = 1,х, — х. ЗАДАЧА 2. Неподвижные точки потока являются особыми точками поля фазовой скорости, т.е. вектор фазоаой скорости обращается в них в нуль. Верно лк обратное7 Отвкт. Да, ср.

и. 3 () 2. Зафиксируем точку хо и рассмотрим ее движение под действием фазового потока дз. Иными словами. рассмотрим отображение ум К -ь М, определенное так: у(б) = В"хо. Теореме. Отображение ьэ является решением уравнения х = о(х) с начальным условием ~р(0) = хо. Иными словами: под действием фазового потока фазоеая точка движется тая, что вектор ее скорости е каждый момент времени равен вектору фиговой скорости е той точке фазового пространства, где движущаяся точка находится. ДОКАзАткльстко.

Это вытекает из группового свойства: =о ~г =о В = В х= В(ух)=о(ух). Таким образом, с киждой однопараметрической группой диффеоморфизмов связано дифференииальное уравнение (заданное векторным полем фазовой скорости); решениями этого уравнении явлпются движенин фазовых точек под действием фазового потока. 70 Глава 1 Злдлчл 3.

Верно лн обратное, т.е. всякое лн решение дается формулой 1~(1) = ялхоу Ответ. Дв, по теореме единственности (3 2, и. 3). Если фазовый поток описывает ход какого-либо процесса при произвольных начальных условиях, то дифференциальное уравнение, заданное его векторным полем фазовой скорости, определяет локальный закон эволюции процесса; теория дифференциальных уравнений должна, зная этот закон эволюции. восстановить прошлое и предсказать будущее. Формулировка какого-либо закона природы в виде дифференциального уравнении сводит любую задачу об эволюции процесса (физического, химического, экологического и т.

д.) к геометрической задаче о поведении фазовых кривых данного векторного поля в соответствующем фазовом пространстве. Определение. Фаэовым потоком дифференциального уравнения :с= о(х) называется однопараметрическая группа диффеоморфизмов, для которой е явлнетсн векторным полем фазовой скорости.

Чтобы найти фазовый поток уравнения, достаточно решить последнее: Длхо есть значение в момент 1 РешениЯ 1в с начальным Условием 1в(0) = хе. Пгимвгы. Фазовый поток уравнения х = йх есть группа (ел~). Фазовый поток уравнения малых колебаний маятника (хг = хз, хз = — х1 ) состоит из поворотов плоскости на угол и Фазовый поток уравнения малых колебаний перевернутого маятника (хт — — хз,,гз = х1) состоит из гиперболических поворотов. Злдлчл 4. Найти фазовые потоки дифференциальных уравнений х = 0; 1; х — 1; в!вх, 0 < х < к.

Отввт. ллх = х; х+й (х — 1)е'+ 1; 2егсссн(е 'вснх/2). Злдлчл 5. Найти фвзеаые потоки систем < х=р, )х=р, )х=вй1р, р=б; 1р=1: <р=б. Отнкт. (х-Ьгр, р), (х-Ь1р-Ьг'/2, р-Ь1), (х-Ьгв1вр, р). 71 З 4. Фазввие потоки Возникает вопрос, всякое ли гладкое векторное поле яв яетася полем фазовой скорости потока? Ответ на этот вопрос — отрицательный. Пгимег 1. Рассмотрим дифференцивльное уравнение х = 1 с фазовым пространством б ( х ( 1.

Ясно, что преобразование йз может быть только сдвигом на 1, но при 1:р' 0 такой сдвиг не переводит фазовое пространство в себя. Пгимег 2. Рассмотрим случай и(х) = хз, х С К. Решение уравнения х = и(х) с начальным условием хо при 1 = 0 нетрудно найти явно: йх/х' = дй — 1/х = 1-ь С, С = — 1/хо, х = ха/(1 — хо1). Итак, дзх = х/(1 — 1х). Нетрудно проверить, что йз+" = йзй, так что на первый взгляд мы нашли фазовый поток. К сожалению, отображение йз ни при каком 1, кроме нуля, не является диффеоморфизмом прямой (оно даже не всюду определено). Поэтому поле и(х) = хз не является полем фазовой скорости никакой одполараметрической группы диффеомарфизмов прямой. ЗАМЕЧАНИЕ.

Причина, по которой оба приведенных полн не имеют фазовых потоков, заключается в некомпактности фазового пространства. В дальнейшем мы увидим, что гладкое векторное поле на компактном многообразии всегда определяет фазовый поток. В частности, поле и(х) = хз на аффинной прямой можно продолжить до глвдкого на всей проективной примой (включая бесконечно удаленную точку) векторного поля. Проективная прнмая компактна (топологически это окружность), и гладкое векторное поле на ней определяет фазовый поток.

Найденные нами формулы для отображений йз как раз и описывают этот поток: дз есть диффеоморфизм проективной прлмой. а не аффинной! Злдлчл 6. Докажите. что всякое гладкое векторное воле нв прямой. растущее иа бесконечности не быстрее линейного (~е(х)! ( а-Ь Ь|х~) является полем фвзовой скорости однопараметрической группы диффеоморфизмов прямой. Указание. Сравнив движение с более быстрым движением в подходящем линейном поле, доказать, что решение не может уйти нв бесконечность за конечное время и, следовательно, продолжается на всю ось К 72 Глава 1 Злдлчл 7. Определяет ли фазовый поток на прямой уравнение й = е зшзт Отввт. Да. ЗАДАЧА 8. Рассмотрим линейное пространство всех многочленов р степени меньше и от переменной зь Определим преобразование за времл Г каь сдвиг аргумента многочлена на Г (т.е.

(8"р)(а) = р(т ж б)). Докажите. что (лх)-- однопараметрическап группа линейных преобразований, и найдите ее векторное поле фазовой скорости. Отвкт. Вектор полн в точке р есть многочлен Лр/г)з. 8 5. Действие диффеоморфизмов на векторные поля и на поля направлений Основной метод решения н исследованин дифференциальных уравнений —— зто подбор подходнщей замены перемен- У Аг х( ) ных, т.е., в геометрических терминах, подходящего диффеоморфизма, упрощающего данное векторное поле или поле о У направлений.