Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 14

3. Замена переменных в уравнении. Пусть ш — образ векторного поля в в М при диффеоморфизме д области М на область 1«', т.е. ш = д',в. Теорема. Дифференциальные уравнения х=в(х), хНМ (1) 1) = иг(у), у с 1'«' (2) эквивалентны а том смысле, что если ум à — г М вЂ” решение первого. то до уи 1 — г Ж вЂ” решение второго уравнения, и обратно. Иными словами: замена переменных у = у(х) превращает уравнение (1) в уравнение (2). Или еще: подстановка у(х) вместо у превращает уравнение (2) в уравнение (1). ДокАЗАткльство.

Это очевидно. Иными словами, последовательно применян правило дифференцированин сложной функции, определение решенин ьг и определение поля у«в, находим — д о ьг = я .ф(1) = а«эв(х) = ш(у) Л ~Ы где х = уг(1), у = у(уг(1)), что и требовалось доказать. 79 Ч Б.

Действие даффеамарфиэмаа на ееятарлые лаля Злдлчл 1. Решить уравнение малых колебаний маятника х2 = х11 Х1 = Хз, перейдя к полярным координатам подстановкой х1 = тсоз0, хг = тэш0. Рвшвннв. Выполнив подстановку, находим т = О, 0 = — 1, откуда х1 ээ эа соя(0а 1)1 х2: 1а зьч(0а 1). ЗАДАЧА 2. Исследовать фазовые кривые системы Е х1 — х2 + х1(1 х1 х2) хэ = — т1 -~- хз(1 — х1 — х2). Рвшвннв.

Перейдя к полярным координатам, получаем 0= — 1. т=г(1 — т ), Фазовые кривые этой системы на плоскости (т, О) совпадают с интегральными кривыми уравнении дг/110 = т(тэ — 1). Нарисовав эти кривые (рис. 55) н вазвращансь к декартовым координатам, получаем рис. 56. Единственнан особан точка начало координат. 11ачинающиеся вблизи нее фазовые кривые наматываются с ростам времени изнутри на окружность х, + хз — — 1. 2 2 Эта окружность нвляется замкнутой фазовой кривой (предельным циклом).

Снаружи на нее также наматываются фазовые кривые. Переход к полнрным координатам позволяет и явно проинтегрировать исходную систему. 4. Действие диффеоморфизма нн поле направлений. Пусть д диффеоморфизм области М нв область )у', н пусть в области М задано поле направления. Тогда в области 11г также возникает поле направлений. Оно называется образом исходного поля под действием диффеоморфизма д и определяется так. Рассмотрим какую-либо точку д области )ьг (рис.

57). Она имеет в М единственный прообраз, х = а 1М. Рассмотрим направление данного поля в точке х. Это прямая в касательном пространстве Т М. Возьмем любой ненулевой вектор этой примой. Его образ под действием А; есть ненУлевой вектоР в касательном пРостРанстве Тягу' (так 1Рээумеется, необходимы обычные оговорки, связанные с неоднозначностью полярных каардянят1 отображение (т, О) эт (х1, хэ) ие яеляется дкффеамарфкэмам плоскости ня плоскость. Например, можно рассмотреть заданный этим атабряженяем Ляффеамарфиэм области т > О, О < 0 < я ня плоскость беэ положительной полуоси х1 я атпельна области т > О, — я < 0 < л ня плоскость беэ отрицательной аалуася х1.

80 Глава 1 Рис. 55. Интегральные кривые на плоскости (г,В) Рис. 56. Фазовые кривые на плоскости (хн хг) как д' диффеоморфизм). Прпмая, определенная зтим вектором, не зависит от выбора вектора исходной прямой (так как я„— линейный оператор). Эта новая прямая и есть прямая нового поля направлений в точке у. Очевидна Теорема. Интегральные кривые исходного поля направлений в М переходят при диффеоморфизме я: М вЂ” ь 1ч' в интегральные кривые полл направлений в Дг, полученного действием я на исходное поле. Длн доказательства достаточно достроить данное поле направлений (в окрестности каждой точки области М) до векторного поля, векторы которого лежат на прямых заданного полл направлений и отличны от нуля, а затем применить теорему п. 3.

Злдлчл 1. Всякое ли гладкое поле направлений в области на плоскости можно достроить до гладкого векторного полн? Отввт. Нет, если область неолносвязна (рис. 58). Сформулированная выше теорема показывает, что длн решения дифференциального уравнения дх1'аг = е(1, х) достаточно построить диффеоморфизм, приводящий поле направлений к полю направлений уравнения, которое мы уже умеем решать — например, уравнении с разделяющимися переменными. Иными словами, достаточно подобрать замену переменных, сводящую уравнение к уже решенному.

81 З оС Действие оиффеолгорфизмов на вектарные поля Рис. 57. Действие диффеоморфизма на поле направлений ЗАДАЧА 2. Подобрать замену переменных так, чтобы в уравнении ах х 2 2 з переменные разделились. ,р г „1г ЗАдАчА 3. Найти диффеоморфизм, превращающий все интегральные кривые уравнения йх/Ф = х — 1 в параллельные прнмые. Ркшкнип. Решаем однородное уравнение: х = Се~. Находим частное решение неоднородного: Се' = — 1, С = е ', х = 1.

Следовательно, каждое решение неоднородного уравнения имеет вид х = 1-~- ае~. Отображение, переводящее (й х) в (й а), искомый диффеоморфизм (а = е '(х — 1), так как вдоль интегральных кривых а — константа. Дгхгов гвшвнив: Сопоставим точке (С, х) точку (1, р), где у -- ордината точки пересечении интегральной кривой. проходящей через точку (1,х) с осью ординат (рис. 59). Рис. 59.

Выпрямление интегральных кривых Рис. 60. Невыпрнмленнае поле направлений на плоскости 6 Заказ №И17 Отввт. Родятся полярные координаты. Рис. 58. Поле направле- ний, не достраиваемое до векторного поля 82 Глава 1 Злдлчл 4. Всякое ли гладкое поле направлений, заданное на всей плоскости, превращается в полепараллельных прямых при подходящем диффеоморфнэмеу Ответ. Нет, см. рис. 60. ЗАДАЧА 5.

Можно лн диффеоморфизмом плоскости превратить в поле параллельных прямых поле направлений дифференциального уравнения х«х 2 ОтВет. Можно, хотя нвную формулу написать нелегко. 5. Действие днффеоморфнзма на фазовый поток. Пусть (дз: М -+ М) — однопараметрическан группа диффеоморфизмов. и пусть ): М вЂ” Ф Х еще один диффеоморфизм на. Определение. Образом потока ~8«) яод действием диффеоморфизма Г называетсн поток (Ь«: Ж -э Х), где Ь. '=,) 8«~ Иными словами, диаграмма М вЂ” л — зМ Ж вЂ” +Ж коммутативна при любом Г". Ясно, что Г переводит орбиты группы (дз) в орбиты группы ~У).

Если рассматривать диффеоморфизм Г' ьак «замену переменныхю, то преобразование Ь' это просто преобразование 8«, «записаниое в новых координатахж Злмечлние. Потоки ~дз) и (и') называются иногда эквивалентными (или подобными, или сопряженными), а диффеоморфизм З вЂ” эквивалентностью (или соярягающим диффеоморфизмом). ЗАДАЧА 1. Докажите, что (л ) — олнопараметрнческая группа днффеоморфнзмов. Злдлчл 2. Сопряжены ли однопараметрнческие группы вращений плоскости н ее гиперболических поворотов? Пусть и — векторное поле фазовой скорости однопараметрической группы (8«), в «в группы ~6~), в которую ее переводит диффеоморфизм Г. Очевидна Теорема.

Диффеоморфизм ~ переводит поле е в поле «о; обратно, если диффеоморфизм переводит е в «о, то он переводит (8«) в «,)л«). 83 з 6. Симметрии Злдлчл 3. Переводятся лн друг в друга днффеоморфнзмамн векторные полн на примой, задающие следующие пять дифференциальных уравнений: х = япх, 2 ага, яп х, яа2х, 2 яах+ яа х. г г Ответ. Второе переводится в четвертое и в пятое. 8 6. Симметрии Здесь решаются однородные и квазиоднородные дифференциальные уравнении. Их решение основано на использовании однопараметрических групп симметрии векторных полей и полей направлений, которые мы прежде всего и изучим. 1.

Группы симметрий. Определение. Диффеоморфизм я: М вЂ” г М называется симметрией векторного полн в в М, если он переводит поле в себя: я н = е. Говорят также. что поле н инвариантно относительно симметрии я. ПРимеР. Поворот плоскости вокруг нуля является симметрией эйлеРова полн хгд/дхг+хзд/дхз (вектоР котоРого в точке х есть в1х)=х, рис. 61). Фазовые кривые поля переходят под действием симметрии поля друг в друга. ~1/ Злдлчл 1.

Пусть диффеоморфнзм переводит фазовые кривые векторного поля друг в друге. Является лн он симметрией полн2 Оьч Отввт. Не обязательно. Определение. Диффеоморфизм я: М вЂ” > М называется симметрией поля направлений а М, если он Рнс. 61. Эйлера- переводит это поле направлений в себн; поле тогда называется инеариаятным относительно симметрии. Интегральные кривые поля переходят под действием симметрии друг в друга. ПРИМЕР.

Поле направлений уравнения х = о(1) в расширенном фазовом пространстве инвариантно относительно сдвигов вдоль осн х 1рис. 4 на стр. 16), а уравнения х = о1х) вдоль оси 1 1рис. 6 на стр. 19). ЗАДАЧА 2. Пусть днффеоморфнзм переводит интегральные кривые поля направлений друг в друга. Являетсн ли он симметрией поля направлений? ОтВет.

Да. Глава з Поле называется инвариантным относительно группы диффеоморфизмов, если оно инвариантно относительно каждого преобразования группы. В таком случае говорят, что поле допускает данную группу симметрий. Принтер. Эйлерово поле на плоскости допускает, среди других, следующие четыре группы симметрий: однопараметрическая группа растнжений (х ь-ь е~х), однопараметрическая группа вращении на угол 1, однопараметрическая группа гиперболических поворотов, группа всех линейных преобразований плоскости. СЬ(2,2). Все симметрии данного полн образуют группу (докажите!). ЗАДАЧА 3.

Найти группу всех симметрий эйлероаа поля яа плоскости. Отнят. Сь(2,К). 2. Применение однопараметрической группы симметрий для интегрирования уравнения. Теорема. Пусть известна однопараметрическая группа сильявтрий поля направлений на плоскости. Тогда ложно явно проинтегрировать уравнение, заданное этим полем направлений, в окрестности калсдой яе стационарной точки группы симметрий. Точка называется нвстациояаряой длн группы преобразований, если не все преобразования группы оставлнют ее на месте.