Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения, страница 9

Заметим, что вырожденные предельные циклы могут исчезать при малом шевелении системы. Одна- 1 ко они появляютсн неустранимым малым шевелени- 3 ем, главным образом, в том случае, когда рассматриваетсн не отдельная система, а семейство систем, зависящих от параметра. В етом случае прн отдельных значениях параметра могут сливаться между собой различные циклы, причем аналогичное слияние будет иметь место при некотором близком значении параРис. 36. Перестройка метра и в любом близком семействе.

В момент слиядиаграмм Ламерея ния двух невырожденных циклов и возникает вырожденный цикл. При этом, вообще говоря, из двух сливающихся циклов один устойчивый. а другой неустойчивый. Вырожденные циклы, возникающие при слиннин двух невырожденных, представлнют интерес потому, что они всегда встречаются на границе области существования колебательного режима в пространстве параметров. 22. Векторпые поля па прямой Например, на рис.

36 изображены диаграммы Ламерея при трех очень близких значениях параметра (кривые 1, 2 и 3). Диаграмма 1 пересекает биссектрису в двух точках; в этом случае в системе имеется два предельных цикла, устойчивый внутри неустойчивого (рис. 37). Положение равновесия неустойчиво; вся область внутри неустойчивого цикла является областью притяжения (»бассейном») устойчивого цикла:при начальных условиях в этой области (исключая лишь положение равновесии) в системе устанавливаются автоколебания, изображаемые устойчивым циклом. Рис. 37. Перестройка фазового портрета и поведение решений Кривая 2 соответствует критическому значению параметра: устойчивый цикл сливается с неустойчивым и становится вырожденным. Фазовые кривые, начинающиеся в ограниченной циклом области, стремится к циклу при возрастании времени. Однако устанавливающийси при этом колебательный режим неустойчив: сколь угодно малое случайное изменение способно выбросить фазовую точку за пределы цикла.

При дальнейшем изменении параметра (кривая 3) цикл исчезает вовсе. Таким образом, слинние циклов приводит к скачкообразному изменению по- веденин системы: устойчивый автоколебательный режим с конечной областью притяжении внезапно исчезает. Движения с начальным условием в бассейне исчезающего цикла уходят после его исчезновения в другие области фазового пространства (рис.

37). В нашем примере после перехода параметра через критическое значение в популяциях хищников и жертв сколь угодно малое отклонение начальных условий от равновесных приводит к неограниченному нарастанию колебаний и, следовательно, к вымиранию. Перестройки качественной картины движения при изменении параметров изучает теория бифуркаций (бифуркации = раздвоение), а приложения теории бифуркаций к исследованию скачкообразных реакций механических, 4 Заказ №И17 бо Глава 1 физических, химических, биологических, экономических и иных систем на плавное изменение внешних условий получили в последнее время название теории катастроф.

Из рисунка Зб видно, что когда значение параметра отличаетсн от критического значении на малую величину Ь, расстояние между устойчивым и неустойчивым циклами порндка ~/Ь. Следовательно, скорость сближении циклов при изменении параметра быстро растет по мере приближения параметра к критическому значению: в самый момент катастрофы оба цикла движутсн навстречу друг другу с бесконечной скоростью. Это обънсняет, почему так трудна предотвратить грозящую катастрофу потери устойчивости системы.

когда уже сделались заметными ее признаки. Злдлчл 3. Исследовать бифуркации циклов при изменении параметра с в системе, заданной в полярных координатах уравнениями г=сг — г +г", ф=1. з Ответ. При с = О из положения равновесия т = О рождаетсн устойчивый цикл радиуса порядка т/сч при с = 1/4 он исчезает, слившись с неустойчивым. ЗАмечАние. Можно показать, что рождение или смерть цикла в положении равновесия, как н рождение или смерть пары циклов — типичное явление, встречающееся при изменении параметра в общих однопараметрических семействах дифференциальных уравнений. Устойчивые предельные циклы описывают установившиеся периодические колебании системы, находящейся в стационарных внешних условинх.

Колебания, описываемые устойчивыми цинламн, называются аотоколеаакилми, в отличие от еыиулсдеккых колебаний, вызванных периодическими внешними воздействиями и от колебаний типа свободных колебаний маятника. Возникновение автаколебаний само по себе довольно удивительно,но они встречаются, например, в таких системах, как часы, паровая машина, электрический звонок, сердце, радиопередатчик. переменные звезды типа цефенд работа каждого из этих устройств описывается предельным пиклом в соответствующем фазовом пространстве. Однако не следует думать, что все колебательные процессы описываются предельными циклами: в многомерном фазовом пространстве возможно гораздо более сложное поведение фазовых кривых.

Примерами могут служить процессия гироскопа, движение планет и их спутников н их вращение вокруг своих осей (непериодичность этих движений ответственна за сложность календаря н трудность предвычисленнн приливов), а также движение заряженных частиц в магнитных полнх (ответственное за возникновение полярных сияний). Мы рассмотрим простейшие движения этого рода в 2 24 и Ч 25 и. б. В системах с многомерным фазовым пространством фазовые кривые могут 3 3. Линейные урввнелил Рис. 38. Аттрактор с разбеганием фазовых кривых на нем даже вместо цикла приближаться к множеству, на котором все близкие траектории быстро расходятсв друг от друга (рис.

38). Такие притягивающие множества получили в последнее время название страппих аттракторов: они связаны с явлениями типа турбулентности и ответственны, например, за невозможность долгосрочного прогноза погоды. 3 3. Линейные уравнения Линейные уравнении описывают влияние малых изменений начальных условий или правых частей произвольных уравнений на их решении. Здесь явно решаются и исследуются линейные однородные н неоднородные уравнения с одним зависимым переменным: поивляются оператор монодромин, д-функция, функции Грина и вынужденные колебании.

1. Линейные однородные уравнения. Определение. Линвйн л однородвыж уравнением первого порядка называется уравнение — = 1(щ) р, ду ~Х~ (1) правая часть которого — линейная (однородная) функция одномерного зависимого переменного, р. Это частный случай уравнения с разделнющимися переменными. Решая его по общему правилу, находим — ~ = Дщ) ав, 1и ( — ~ = р — ' ~де>— =,) У(с) К Глава 1 Пз этого вытекает Теорема. Всякое решение уравнения (1) продолжается на весь интервал определения функции Т"; решение с нач льны условиел (хо,уо) г У(0 а4 дается формулой у = уо е" ЗАМЕЧАНИЕ 1. Пусть у = ~р(х) решение уравнения (1).

Тогда длн любой константы с функции у = ср(х) тоже решение. Сумма двух (определенных на всем интервале определении Т) решений уравнении (1) тоже нвлнетсн решением. Поэтому все такие решения линейного однородного уравнении (1) образуют линейное пространство. Размерность этого линейного пространства равна 1 (почему?). ЗАмечАние 2. Растяжения расширенного фазового пространства (х, у) вдоль оси у переводит поле направлений линейного однородного уравнении (1) в себн. Поэтому интегральные кривые под действием растяжений оси у переходят друг в друга; все они могут быть получены из одной из них такими растяжениями (рис.

39). д1/дХ = а(Х, 1 ), где а(Х, 0) = О, а(Х+ Т, У) = а(Х, 1'). (2) Линейные уравнении занимают в теории диф- ференциальных уравнений особое место, потому Рис. 39. Интеграль- что, согласно одной из основных идей анализа. всяные кривые линей- кан гладкая функция в окрестности каждой точного уравнении ки хорошо апцроксимируетсн линейной функцией. Возникающая таким образом операцин линеаризации и приводит к линейным уравнениям в качестве первого приближении при исследовании произвольного уравнения вблизи какого-либо решения. Рассмотрим, например, автономную систему с двумерной фазовой плоскостью (х,у), имеющую предельный цикл (рис.

40). Введем в окрестности цикла координаты (Х шой Т, 1') так, чтобы уравнение цикла приняло внл 1' = О, а обход цикла в направлении фазовой скорости соответствовал бы увеличению Х на Т. Тогда фазовые кривые исходной системы прн отображении (х, у) ~-~ ~-~(Х,1') перейдут а интегральные кривые уравнения З 3. Линейные ураенеииг Линеаризация этого уравнении по У в точке 1 = О приводит к линейному уравнению НУ/йХ = /(Х)1; где /(Х) = до/дУ~ Заметим, что функция / имеет период Т. Мы приходим таким образом к задаче об исследовании линейного уравнения с периодическим коэффициентом /. 2. Линейные однородные уревнения первого порядка с периодическими коэффициентами. Определение.

Линейныли однородными уравнениями первого порядка с Т-периодическими коэффици- Рис. 40. Система ентоми иазываютсн уравнения координат вбли- г(У/йХ = /(Х) У, где /(Х+ Т) = /(Х). (3) Решения уравнения (3) определяют линейное отображение оси У в себи, сопоставлнющее значению 1г(0) при Х = 0 значение ~р(Т) того же решения при Х = Т > О. Это ото- лч бражение А: 11 — ь И называется монодролией лг (рис. 41). (Мы собираемсн использовать аиало- Х гичный оператор и в многомерном случае.) Т 2Т ЗТ Теореме.

Оператор моиодролии А: И вЂ” ь11 Рис. 41. Оператор моно- линейного уравнения (3) линейный и яа яется дуомни оператором умножения на положительное число Л. Если это число Л (называемое мультипликатором) больше 1, то есе ненулевые решен я стремятся к бесконечности при Х ь +Ос, а если меньше 1, то ь нулкц если Л = 1, то осе решения ограничены. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Линейность А вытекает из того, что растяжении по оси У переводят интегральные кривые в интегральные кривые; Л > О, т.е. ось Х— интегральная криван. Сдвиги на Т вдоль оси Х также переводят интегральные кривые в интегральные кривые (ввиду периодичности /).

Из этого следует. что значении решении с начальным условием у(0) = 1' при Х = Т,2Т,ЗТ,... равны ЛУ,ЛгУ,ЛзУ,...; поэтому Чг(ЖТ) -ь СО при Х -+ +Ос, если Л > 1, и ~р(г/Т) -+ 0 при Х вЂ” ь +со, если Л ( 1. Глава 1 Кроме того, сдвигая расширенное фазовое пространство на Гт'Т вдоль оси Х, находим р(?т'Т+ В) = Л" р(В)„ откуда следуют все доказываемые утверждения (почему?). ЗАМЕЧАНИЕ.

Из теоремы п. 1 следует формула длн мулы ипликатора Таким образом. глультипликатор больше единииы или меньше единицы, о эаеисилюстп от того положительно или отрицательно среднее значение функции Г. В первом случае нулевое решение линейного уравненин (3) неустойчиво, а во втором — устойчиво (более того, решения с близкими к 0 начальными условиями стремятсн к 0); в случае Л = 1 решения с ненулевыми начальными условинми пернодичны (рис. 42). Рис. 42.