Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь мы приводим форРис. 48. Действие гладкого ото- мальные определения необходимых пображениа на вектор питий.Мы начнем с напоминания некоторых простых сведений из дифференциального исчисления. 1. Действие гладких отображений на векторы. При рассмотрении всевозможных математических объектов полезно наряду с объектами рассматривать также отображенинг. Напомню определение действии гладких отображений на векторы.
Пусть Г: М -+ Х вЂ” гладкое отображение области М линейного пространства в область Аг линейного пространства, и пусть и -- вектор, приложенный в точке з области-прообраза М, т.е. стрелочка с началом т (рис. 48). Тогда в точке-образе 7" (з) области Х также возникает вектор, обозначаемый, через 7", в и называемый образом вектора а при отобразлении 7'.
А именно ьй этом состоит тзк пззыэззмзл «пзтзгорнзл» точка зрения. Грубо гепард, пэтегорил — эта спзакупнпсть объектов и атобрзжзнпй (пример: кзтегорпл всех линейных пространств и пх линейных атобрзженпй друг в друга). 73 З Б. Действие даффеоморфиэмов на векторные лоле Определение. Образом вектора е при отображении 1' называется вектор скорости, с которой движущаяся точка ~(1о(8)) выходит из точки 7(х), когда движущаяся точка со(1) выходит из точки х со скоростью е: у„е = — ' ~(~р(1)), где д(0) = х.
— ' ~р(1) = е. (1) Иными словами, стрелочка е снижается в 1000 раз, затем под действием 1 превращается в изогнутую стрелочку, затем последняя растягивается в 1000 раз и наконец 1000 устремляется к бесконечности. Злдлчл 1. Докажите, что образ вектора е не зависит от выбора движения х, лишь бы точка у(8) выходила из х со скоростью е. Злдлчл 2. Пусть е — положительный орт прямой, приложенный а точке а, и пусть ф(х) = х . Найти ?„е. Отввт. 2о орт.
Злдлчл 3. Могут ли две точки на плоскости, движущиеся по разным осям координат, выходить из начала с одинаковым вектором скорости? Отввт. Да, если скорость нулевая. Пример: р(8) = (с~,О), ф(1) = (О, рх). Множество всех векторов скоростей движении, выходящих из точки х области М, является линейным пространством: это просто пространство векторов, приложенных в точке х. Его размерность равна размерности области М. Это пространство называетси касателък м пространством в точке х к области М и обозначается Т,М.
Всякому, кто сталкивается с этим впервые, трудно оторвать касательное пространство к линейному пространству от самого линейного пространства. Следующее обобщение призвано помочь справиться с этой трудностью. Рассмотрим какую-либо гладкую поверхность сферу. Векторы скоростей, с которыми движущаяся по Т„,М Рис.
49. Касательное пространство М в П~, например, сфере точна может Рвщвнив. Пусть ф — другое движение, выводящее из х с такой же скоростью. Тогда расстояние между точками р(1) и ф(8) при малых ф есть о(ф). Поскольку отображение 7' гладкое, расстояние между точками- образами 7(~р(1)) и Цф(8)) в Х твкже есть о(Щ), что и требовалось.
Глава 1 выходить из заданной точки сферы, очевидно, образуют плоскость (двумерное касательное пространство сферы в заданной точке х): эта касательная плоскость Т,М (рис. 49) явно отделена от самой сферы М. ОпРеДеленное выше отобРажение Г"„к пеРеводит касательное пРостранство к области-прообразу, М, в точке т в касательное пространство к области-образу в точке 1(х). ЗАДАЧА 4. Доказать,что отображение 1,„: Т М -+ ТГЫ>)У линейно. РЕШЕНИЕ. По формуле Тейлора 1(х -~- ег) = 1(х) + (дг(дх)ег+ о()1)), следовательно, 1,.„= дг/дх линейный оператор.
Если в пространствах — прообразе и образе отображении 1 — выбраны декартовы координаты (хы..., х,„) и (уы..., д„) соответственно, так что 1 задается набором п функций Д от т переменных х., то компоненты вектора 1„п выражаются через компоненты вектора и по формуле д,гг (У*.в);=~ ,' дхз Иначе говоря, лгатрица оператора )'„. сосгааелена из частных производных (дЛ/дх ). Определение. Линейный оператор у,к называется яроиэводкой отображении 1 в точке х. ЗАЛАчА 5. Рассмотрим отображение 1 прямой в плоскость, 1'(х) = = (е)п х, сое х). Найти значение его производной на положительно ориентирующем ось х векторе е длины 10, приложенном в точке о. х 1 Кег з" .
Рис. 50. Критические точки и критические значения отображения Уитни Ответ. 1, е = (10соео, — 10е)па). ЗАдАчА б. Рассмотрим отображение 1 плоскости в плоскость, 1(хз,хз) = = (хз + хгхз,хх) (рис. 50). Найти множество всех точек х, е которых линейный оператор /. вырождается,н найти образ этого множества при отображении 1 (эти два множества называются множествами критических точек и критических значений соответственно). З Б. Действие диффеоморфиэмов на векторные лолл 75 Рвшвнип.
Матрица оператора имеет вид ( Зк, +к. ) г 0 1 поэтому производнан вырождена на параболе кг = — Знэг. Ее образ палукубическая парабола (уэ/2) + (уг/3) = О. Отображение этой задачи называетсн отображением Уитни (сборной). Х. Уитни доказал, что особенность сборки типична длн гладких отображений плоскости в плоскость (например. всякое близкое к / гладкое отображение имеет поблизости от начала координат подобную особенность). Злмвчлнив.
Линейная структура (т.е. сложение векторов) в касательном к области М в точке к пространстве определена выше при помощи линейной структуры объемлющего М пространства, или иными словами — при помощи системы декартовых координат. В лействительнасти, как множество Т М, так и структуру линейного пространства в нем, можно определить независимо от выбора системы координат, даже криволинейных. лишь бы эта система координат была допустима, т.е. связана с системой декартовых координат гладкой заменой переменных (диффеаморфизмом).
Независимость касательного пространства от системы координат не совсем очевидна, так как нарисованная в области М стрелочка (приложенный вектор) при диффеоморфизме изгибаетсн. Не зависящее от системы координат определение вектора скорости выхода из точки к выглндит несколько абстрактно: Определение. Касательным вектором в точке к области М называетсн класс эквивалентности гладких движений 1г: Н вЂ” э М, для которых гг(0) = к; эквивалентность сэ ф определяется условием: расстояние между точками 1с(1) и ф(С) в какай-нибудь (и тогда любой) системе координат есть о(/10 при 1 -+ 0 (рис.
51). Ясно, что это действительно отношение эквивалентности (1о эг, 1г эг ~ э/э 1о, Ф ф Х ~ Уг Х) Рис. 01. Класс Класс эквивалентности движения гг определяется (при фик- эквивалентных сированной системе координат) компонентами вектора око- движеций расти выходе у(1) из точки 1о(0). Таким образом, наш бескоординатно определенный вектор превращается в обычную стрелочку, как только система координат фиксирована.
Единственное, что нужно доказывать — это независимость линейных операций над вектором (сложения и умножения на числа) от системы координат, участвующей в их определении. Но эта независимость сразу вытекает из линейности Глава 1 оператора производной отображения а точке (нужно рассмотреть а качестве отображении «замену переменныхз, т. е. диффеоморфизм, сопостааляющий набору старых координат точки набор ее новых координат). Хотя наше определение не зааисит от системы координат, остается еще зависимость от класса всех допустимых систем координат, связанных гладкими заменами переменных. Этот класс назьшаетсн дифференцируеззой структурой, и от него введенные поннтия зависят существенным образом.
Произаоднан отобразненин у' а точке а есть не зааиснщий ни от системы координат е прообразе, ни от си«тел«ы координат е образе линейный оператор г„з Т М -+ ТГЫ1?У по самому своему определению (1) (рис. 32). Злдлчл 7. Пусть Г" — диффеоморфизм М на 1«'. Докажите, что отображение у изоморфизм линейных пространств. Злдлчл 8. Верно ли обратное? Отнят.
Нет, даже если Г" изоморфизм при любом к (см. рис. 53). Рис. 52. Произаоднан отображения в точке Рис. 53. Локальный диффео- морфизм может не быть диф- феоморфизмом а целом 2. Действие диффеоморфиамов на векторные поля. Определение. В области М задано гладкое векторное поле о, если каждой точке т, сопоставлен приложенный в ней вектор а(щ) Н Т,М, гладко зависящий от точки т. (если система т координат выбрана, то поле задается своими ги компонентами, являющимися гладкими функциями т переменных).
Вектор о(х) называется значением поля о в точке и. Посмотрим, как ведут себн различные объекты при гладких отображениях. Касательные векторы при отображениях 8': М -+ з«' двилсутся вперед (т.е. под действием я касательный вектор о к М переходит в касательный вектор я«а к 1«'). Функции при отображениях 8-. М -+ з«' движутся назад, т.е. функция Т" на з«' порождает функцию 77 З Б. Действие даффеоморфнэмов на векторные поля на М (ее значение, в точке щ из М равно значению / в образе точки щ; эта функция обозначается д /; звездочка сверху символизирует движение назад).
Векторные поля не отображаются, вообще говоря, ни вперед, ни назад. Действительно, при отображении две точки прообраза могут перейти в одну и принести туда разные векторы, поэтому поле в прообразе не переноситсн на образ. Рн 54 дей в дифф КРоме того, многие касательные вектоРы физмв на векторное поле в одной точке прообраза могут иметь общий образ, поэтому поле в образе не переносится в прообраз.
Определение. Образом векторного по л при диффеоморфизме на называется векторное поле, значение которого в каждой точке является образом вектора исходного поля в прообразе данной точки. Образ полн е при диффеоморфизме д' обозначается д, и. Иначе говоря, образ д„е поля и в М при диффеомврфизме д области М на /У это поле ш в зт', определенное формулой (рис.
54) (у) = Ь* ) (: ), где = а 'у. Здддчл 1. Найти образ поля ю(з) = 1 на прямой под действием диффеоморфизма у(з) = 2з. Ответ. (у.ойу) = 2. Векторное поле на оси ю, единственная компонента которого равна е, часто обозначаетсн' символом гэд/дю. Удобство этого обозначения состоит в том, что при растяжениях оси д/дщ ведет себя как 1/з. Например, решение предыдущей задачи можно записать так: д д 2д дщ д(у/2) ду В этих обозначенинх формула действия диффеоморфизма прямой на векторное поле принимает вид следующей формулы замены переменной: если у = у(щ), то — = = — —. Таким образом, обозначе- д д 1 д В сущности, ор/дк зто оператор дифференцирования по направлению поля о (см. 110), но тан яая оператор од/би и поле о однозначно определяют друг друга, ик часто отождествляют между собой.
Глава 1 ние д/дх автоматизирует вычисление действии диффеоморфизмов на поля. ЗАдлчА 2. Найти образ поля х — под действием днффеоморфизма у=с . д дг: Отввт. у 1п у д/ду. Если (хг,..., х„) фиксированная система координат в К", то базисные векторные поля (с компонентами (1.0, ...,0)....,(0....,0,1)) обозначаются д/дхм..., д/дх«ю Поле с компонентами (оы.... га) обозначаетсн поэтому ог д/дхг + ° ° ° + о„д/дх .
Злдлчл 3. Найти образы «эйлерова поля« и = хгд/дхг -1- хгд/дхг на плоскости под действием следующих днффеоморфизмов: 1) поворот вокруг 0; 2) гиперболический поворот; 3) любое линейное преобразование. Отввт. е. ЗАдлчА 4. Докажите, что диффеоморфизм, переводящий векторное поле о в поле иг, переводит фазовые кривые поля и в фазовые кривые полн иг. Верно ли обратное? Отввт. Нет, пример: е = х д/дх, «э = 2х д/дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
