Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ден д = Д приводится к уравнению с разделяющимися переменными переходом к координатам (т, уа/хд) в области х ) О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Орбиты группы квазноднородных растнжений половины «парабол» уа = Схд (рис. 30, стр. 42). Выберем в качестве линии Г (п. 2) Глава 1 прямую х = 1 с параметром у на ией. Квазиоднородные растнжения переводят параллельные Г прямые в параллельные. Поэтому теорема вытекает из леммы п.
2 и замечания к ней. Выясним теперь, как узнать по правой части уравнения, квазиоднородно ли оно. Определение. Функция / называется квазиоднородной, степени П если она удовлетворнет тождеству /(е 'х, ед'у) = е" /(х, д). Иными словами, / общий собственный вектор операторов (8")' (где 8' -- квазиоднородное растяжение) с собственными числами е". ПГИМВР.
Многочлен квазиоднороден степени г (при весах а,/з), если и только если показатели входящих в него мономов хэу» лежат на диаграмме Ньютона ар+ /1у = г (рис. 68). Отнят. йод у = 1/4, бой х = 3/8. Злдлчл 3. Докажите, что функция / переменных х; весов сч квазиоднородна степени г, если в только если она удовлетворяет соотношении~ Эйлера ~ свх;д//дх; = г/. Злмвчлнив. Векторное поле 2„сах;д/дх; называется квазиодяородвим эйлеровим полем (это — поле фазовой скорости группы квазиоднородиых растяжевий). Соотношение Эйлера означает, что / собственный вектор оператора дифференцироваяия вдоль эйлерова полн, с собственным числом г. Теорема.
Для того, чтобы поле направлений уравнен я Йу/дх = = г'(х, у) было кеазиоднородяым, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была кеазиоднородной и ее кеазиодяородн я степень была равна разности степеней у и х: реп Е = реп у — деп х = /1 — сь Рис. 68.
Диаграмма Ньютона кеазиодно- родной функции Квазиоднородная степень квазноднородного многочлена называетси также весом. Например, вес х равен а, вес у равен /1, вес тзу равен 2сз+3/1 и т. д. Приписывание весов называется также градуироеанием. Злдлчл 2. Подобрать веса переменвых так, чтобы многочлен хзу -~- у~ был квазиодиородным степени 1. З 6. Симметрии ДОЕАзАтельство. Под действием квазиоднородных растяжении д величина у и, следовательно, д1» увеличивается в ед» раз, а х (и, следовательно, дх) в с"' раз. Чтобы поле направлений перешло при таком растяжении в себя нужно, чтобы значение Г в новой точке было во столько же раз больше, чем в старой. во сколько раз увеличивается отношение Йу/дж (или д/х), т.е. в с1В 1' раз, что и требовалось.
ЗАмечАние. Хаким образом, при вычислении весов можно обращаться с ду/дх, как с дробью, считая д «множителем» веса нуль. Тогда вес дх есть гг, вес др есть /», вес др/г/х есть /) — оь Условие квазиоднородности уравнении состоит в том, что весе левой и правой частей одинаковы. ЗАДАЧА 4. Подобрать веса переменных так, чтобы дифференциальное уравнение фазовых кривых уравнения Ньютона х = Сх было квазиоднородным. Решение. Уравнение фазовых кривых др/дх = Сх /р. Следовательно, » 2Д = (й -ь 1)о.
5. Соображения подобия и размерностей. Кввзиоднородные уравнения с фазовыми пространствами любой размерности определяются аналогично тому, как это сделано выше длн двумерного случая. Квозиодкородные векторные поля определнютсн условием «)ед д/дхг = = — г)еп хо Например. эйлерово поле имеет степень О. ЗАдлчА 1. Доказать, что если / квазиоднородная функция степени г, а о -- квазиаднараднае поле степени ». то производная / вдоль а — квазиодноралная функция степени г -~- ». ЗАДАЧА 2. Пусть х = Р, р = «,), где Р и г»» — однородные мнагачлены степени т.
Докажите, что если какая-либо из фазовых кривых замкнута и проходится за время Т, та при растяжении в е' раз из нее получится замкнутая фазавая кривая с периодом обращения ем« ~~Т. Злдлчл 3. Пусть х = о(х), где в — квазиоднораднае поле степени г. Докажите,чта если Т вЂ” период обращения па замкнутой кривой ч и Ż— квазиоднороднае растяжение, то 6»т тоже замкнутая фазавая кривая и период обращения — е "Т.
ЗАдлчА 4. Как зависит от амплитуды х„„„период колебаний «мнгкаго маятника», х = у, у = — х»2 Ответ. Обратно пропорционален амплитуде. Глава 1 При применении соображений подобия часто встречаютсн не только первые, но и вторые производные. Посмотрим, как они ведут себя при квазиоднородных растяжениях. Очевидна Теорема. При квазиоднородном раскис»кении (х, у) ~-~ (с"'х, сд'у) график функции у = ~р(х) лреобраэуетсл в график функции у = Ф(х), для которой ~ь р ль (в новой точке) = ег~ ~' (в старой точке).
ь дхь Иными словами, гььу/(дх)" преобразуется как у/х" (чем и объясняется удобство обозначения Лейбница). Следовательно, чтобы узнать, квазиоднородно ли уравнение, включающее высшие производные, достаточно приписать букве д вес нуль и потребовать одинаковости весов левой и правой частей. Злдлчл 5. Докажите, что если частица в силовом поле с однородной степени т силой проходит траекторию 7 за время Т, то та же частица пройдет гомотетичную траекторию Лз за времи Т' = ЛВ У»Т.
Ркшвнин. Уравнение Ньютона д~х/де~ = Р(х), в котором Р однородна степени т, переходит в себя при подходнщих квазиоднородных растяжениях: нужно взять веса о (для х) и Д (для у) так, чтобы о — 2Д = пни Берем о = 2. Д = 1 — т,. Растяжению х' = Лх соответствует Т' = ЛН ыУ ~Т. Злдлчл 6. Докажите, что квадраты времени прохождения подобных траекторий в поле тяготения относятся как кубы линейных размеров'.
Ркшннив. Из предыдущей задачи при т = — 2 (аакон всемирного тяго- тенин) получаем Т' = ЛМ~Т. Злдлчл 7. Выясните, как зависит от амплитуды период колебаний в случае возвращающей силы, пропорциональной отклонению (елинейный осциллятор») и кубу отклонении (»мягкая» сила). Отввт. Для линейного маятника период не зависит от амплитуды. а длн мнгкого обратно пропорционален ей.
Это частный случай 3-го закона Кеплере, е котором подобие траекторий не предполагаетсл. Закон всемирного тяготения был найден из двух предыдущих зедач, закон Кеплера был известен рииьще. 93 3 6. Симметрии дз ЗАдАчА 6. Уравнение теплопроводности имеет вид —,' = а (г —. вредг дхз мя., х — расстояние, и — температура). Известно, что вследствие годовых колебаний температуры земля в некоторой местности промерзает иа метр. На какую глубину оиа промерзала бы вследствие суточных колебаний температуры такой же амплитуды? Рвшвнив. Уравнение переходит в себя при квазиодиородных растяжениях (К х) ~-э (е~'й е"х).
Следовательно, уменьшение периода в 365 раз влечет уменьшение глубины промерзания в з/365 раз. Ответ. На глубину 5 см. Использование соображений подобия восходит к Галилею, который объяснил ими ограничение роста земных животных, вес растет пропорционально кубу линейного размера, а прочность костей квадрату. Длн водных животных этого ограничения нет, и киты достигают гораздо больших размеров, чем, скажем, слоны.
Многочисленные применения этих соображений в разных областнх естествознания носит названия: теория подай я, теория разл~ерностей, скэйлпнг, автомодельность и др. 6. Методы интегрирования дифференциальных уравнений. Есть еще несколько приемов, иногда позволяющих нвно решить дифференциальное уравнение. Например, рассмотрим уравнение йу Р(х, у) Фх, у) Перепишем его в виде Щу — Рйт, = О (1-форма равна О на векторах, касающихсн интегральных кривых).
Если форма является полным дифференциалом функции, хгйу — Рйх = йР, то вдоль каждой интегральной кривой функция Р постоянна. Зная линии уровня функции Р, можно найти интегральные кривые. Достаточно даже, чтобы форма гаду — Рйх становилась полным дифференциалом после умножения на подходящую функцию (ведь одновременное умножение Р и Я на одну и ту же функцию не меняет Глава 1 исходного уравнении). Такая фуньцин называется интегрирующим лгножителем.
Интегрирующий множитель всегда существует (в окрестности точки, где Г~ отлично от нуля), но найти его не легче, чем решить исходное уравнение. Основной метод решении и изучения дифференциальных уравнений — — подбор диффеоморфизмов (замен переменных), приводящих к простейшему виду соответствующее поле направлений, векторное поле или фазовый поток. Например, длн однородных и квазиоднородных уравнений такие замены переменных указаны выше.
Существует ряд приемов отыскании замен переменных для интегрирования дифференциальных уравнений специального вида. Списки таких уравнений и приемов имеются в задачниках (см., например, «Сборник задач по дифференциальным уравнениямв А. Ф. Филиппова, Ц4, 5, 6, 8, 9, 10) и в справочниках (смч например, книгу Э.Камке «Справочник по дифференциальным уравнениямз, содержащую около 1600 уравнений). Каждый может расширить зти списки следующим образом: взять любое уже решенное уравнение и сделать в нем любую замену переменных.
Мастера интегрирования дифференциальных уравнений (например, Якоби) достигали зтим способом значительных успехов в решении конкретных прикладных задач. В последнее десятилетие мы являемсн свидетелнми неожиданного возрождения интереса к некоторым специальным точно интегрируемым уравнениям, которые оказались связанными с тонкими вопросами алгебраической геометрии с одной стороны и физики частицеобразных решений уравнений в частных производных (солитонов, инстантонов и т.п.) с другой. Однако все зти методы интегрирования имеют два принципиальных недостатка. Во-первых, уже такое простое уравнение, как дш/гй = ш~ — 1, не решаетсн в квадратурах, т.е.
решение не выражается в виде конечной комбинации элементарных и алгебраических функций и интегралов от них . Во-вторых, громоздкая формула, дающая решение в явном виде, часто менее полезна, чем простая приближеннан формула. Например. уравнение шз — Зш = 2а можно явно решить ° ф р г„к,м„, = г',+~~ ° В,,-~~. е, Г Доказательство этой теоремы Лиувилля близко к доказательству неразрешимости уравнений степени 5 в радикалал (Руффини -Абель — Галуа): оно выводится из неразрешимости некоторой группы.
В отличие от обычной теории Галуа. речь идет здесь не о конечной группе, а о неразрешимой группе Ли. Наука, занимаюшанся этими вопросами, называется дифференпиальной алгеброй. З 6. Симметрии мы хотим решить уравнение при о = 0.01, то полезнее заметить, что оно имеет при малых а корень ш - — (2/3)а — обстоятельство вовсе не очевидное с точки зрения формулы Кардано. Точно так же уравнение маятника У+ з!тьх = 0 решается в явном виде при помощи интегралов (эллиптических).
Однако большинство вопросов о поведении маятника проще решить, исходя из приближенного уравнения малых колебаний (х + ш = О) и из качественных соображений, не использующих явную формулу (см. 612). Точно решаемые уравнения бывают полезны в качестве примеров, так как на них можно иногда заметить налепив, которые имеют место и в более сложных случаях. Например, исследование точного решения уравнения ш = ьсш позволяет доказать теорему единственности для самого общего уравнении с гладкой правой частью (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
