Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Все перечисленные теоремы о нормальных формах описывают орбиты действий различных групп (»замен переменных») на множествах (матриц, форм, полей, отобралчений, соответственно). 2. Теорем»и существования и единственности. Из основной теоремы 1 о выпрямлении вытекает Следствие 1. Через каждую точку области, в которой задано гладкое поле направлений, проходит интегральн я криеол. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим выпрямляющий данное поле диффеоморфизм. Выпрямленное поле состоит из параллельных направлений.
В нем через каждую точку проходит интегральнан кривая (а именно прямая). Диффеоморфнзм, обратный к выпрямляющему, переводит эту прямую в искомую интегральную кривую. Следствие 2. Дее интегральные кривые гладкого полл направлений, шкеющие общую точку, совпадают е окрестности этой точки. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для выпрямленного поля это очевидно, а выпрямляющий днффеоморфизм переводит интегральные кривые исходного поля в интегральные кривые выпрямленного. Следствие 3. Решение дифференци льного уравнения т, = в(1, х) с нач льным условием (бо, хо) из области гладкости правой части существует и единственно (в том смысле, что всякие деа решения с общим начальным условием совпадают в некоторой окрестности точки бо).
З 7. Теоремы о выпрямлении ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим следствия 1 и 2 к полю направлений данного уравнении в расширенном фазовом пространстве. Получаем следствие 3. ЗАмечлние. В следствии 3 и в дальнейшем х точка фазового пространства любой (конечной) размерности т. Это следствие называетсн теоремой существовании и единственности решений системы т уравнений, первого порядка.
3. Теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости решений от начального условия. Рассмотрим значение решения у дифференциального уравнения х = а(й х) с начальным условием 1п(1о) = хе в момент времени 1 как функцию Ф от (1о, хо, .1) со знечениями в фазовом пространстве. Из основной теоремы 1 о выпрнмлении вытекает Следствие 4. Решение уравнения с гладкой правой част»в гладко зависит от начальных условий. Это означает, что указанная выше функция Ф определена, яепрерыека и гладка в окрестности каждой точки (1о, хо, се) (класса С'. если а — класса С'). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для простейшего уравнения (е = 0) зто очевидно (Ф = хо).
Общее уравнение сводитсн к нему диффеоморфизмом (подробности оставляются читателю). ЗАМЕЧАННГ. Теорема о дифференцируемости по начальному условию доставлнет весьма аффективный метод исследования влияния малого возмущения начального условии на решение. Если при каком-либо начальном условии решение известно, то для определения отклонении решении с близким начальным условием от данного «невозмушенного» решении получается в первом приближении линейно однородное уравнение (уравнеаие в вариациях).
Возникающая таким образом «теория возмущений» вЂ” просто один из вариантов метода рядов Ньютона. ЗАДАЧА 1. Найти производную решения 1» уравнения х = хз + х яп» по начальному значению у(0) = а прн а = О. Решение. По следствию 4 решение разлагается по а по формуле Тейлора, 1о = 1»п+а1»з+...
(многоточие — малан порядке выше первого относительно а). Здесь уп невозмушенное решение (с нулевым начальным условием), 102 Глава 2 у1 — искомая производная. Для нашего уравнения 1оо = О. Подставляя ряд в уравнение и приравнивая в левой и правой части члены с одинаковыми степенями а (на основании единственности рида Тейлора), получаем для 1о1 уравнение в вариациях 1о1 = у1 сдпг с начальным условием 1о1(0) = 1 (почему?).
Отввт ез — аа ЗлДАЧА 2. Найти близкий к оси х отрезок фазовой кривой обобщенной системы 1!отка- Вольтерра х = х(1 — уа(х, у)), у = у(х — 1), проходящей через точку х = 1, у = в (с погрешностью порядка в ). 2 Решение. уравнение фазовых кривых: иу/ах = у(х — 1)/(х(1 — уа)). Невозмущенное решение: у = О. Уравнение в вариациях: ду/дх = у(х — 1)/х.
ОТВЕТ. у = ве /х, независимо от вида функции а. ЗАдАчА 3. Найти производную решения уравнения маятника д = — шпд с начальным условием О(0) = а, д(0) = 0 по а при а = О. Решении. Длн применения следствии 4 уравнение нужно записать в виде системы. Получающаяся система уравнений в вариациях может быть записана в виде одного уравнения второго порядка. Удобно выписывать не системы н их решения, а только эквивалентные им уравнения второго порядка и их решения. Невозмущенное решение: д = О.
Уравнение в вариациях -- зто уравнение малых колебаний маятника. д = — д. Ответ. свай ПРедОстеРежение. Пользунсь приближенными формулами для возмущенного решения, полученными при помощи уравнения в вариациях, не следует забывать, что они дают хорошее приближение при фиксированном 1 н малом отклонении в начального условия от невозмущенного: погрешность при фиксированном ! есть 0(сз), но неравномерно по ! — ! Сс (константа в 0 растет вместе с 1). Например, полученнан в задаче 2 формула дала бы неверное представление о виде фазовых кривых обычной модели Лотка — Вольтерра, если бы мы стали применить ее для описания вида этих кривых в целом (как мы знаем из 2 2, эти кривые замкнуты; далекая от оси х часть кривой отнюдь ие описывается ответом задачи 2).
Точно так же решение полного уравнения маятника с начальным условием (а, О) близко к решению уравнения малых колебаний (с тем же начальным условном) при фиксированном й их разность порядка 0(аз) (почему?). Однако при любом фиксированном а ~ 0 погрешность растет с ростом 1, и при достаточно больших ! приближенное ре- 10З з 7. Теоремы о выпрямлении шение теряет связь с возмущенным (из-за различия периодов малых и истинных колебаний). Переставлять между собой предельные переходы 1 — «оо и а -+ 0 нельзя! Злдлчл 4. Найти первый (линейный по а) член разложении в ряд Тейлора решения уравнения мнгкого маятника х = — х с начальным услови,з ем х(0) = О, х(0) = а.
РЕШЕНИЕ. Невозмущенное решение: х = О. Уравнение в вариациях (ог = О. Начальное условие: аког(0) = О, 1ог(0) = 1 (почему7). Ответ. х ай Из теоремы о дифференцируемости следует, что ошибка этой приближенной формулы не превосходит О(а ) при каждом фиксированном й Однако при любом фиксированном а ~ 0 приближение становитсн совершенно неудовлетворительным при достаточно больших й Это видно, например, нз того, что приближенное решение неограниченно растет, а настоящее описывает периодические колебания малой вместе с а амплитуды (величина амплитуды порядка з/а по соображениям подобия).
Для оценки области применимости приближенной формулы можно сосчитать следующие приближеннн: х = аа+ а «гг + а 1ог + ... Подставляя г з в уравнение. получаем а (ог + а хз + . = — а З + ... Значит, 7гг = О, г- з- з з (ог = — 1, 1ог = — г /4, 1ог = — 1з/20, х аг — а~с~/20 + ... Второй член мал по сравнению с первым, если а~с~/20 << 1, т.е, е << а Ы~. Иными словами, значение приближенного решения должно быть малым по сравнению с амплитудой истинного колебания, аг ««/а.
Злдлчл б. Доказать, что при указанном условии относительная погрешность приближенного решения действительно мала. РЕШЕНИЕ. Это следует из соображений подобия. Квазиоднородные растяжения .Х = е'х, Т = е '1 переводят уравнение х = — х в себя. Решение с начальным условием (О, а) переходит в решение с начальным условием (О, А = ег'и). Приближенное решение х аг переходит в Х АТ. Выберем в так, чтобы А = 1. При А =! решение Х вЂ” Т имеет малую относительную погрешность, пока Т «1.
Но растяжении не меннют относительных погрешностей. Значит, и относительная погрешность приближения х аг мала при Т « 1. Но Т = е 'Ф, а = е г'. Значит, Т « 1 при 1 « а Таким образом, при малых а приближение дает малую относительную погрешность, даже при очень больших 1, лишь бы 1 было мало по сравнению с большим числом 1/з/а. В приложенинх теории дифференциальных уравнений всегда приходится иметь дело с большим числом величин, некоторые из которых «очень малые, 104 Глава и а некоторые «очень великих. Разобраться, что велико по сравнению с чем (т.е.
в каком порядке делать предельные переходы),не всегда легко;исследование этого вопроса -- порой полдела. 4. Преобразование за время от Фо до 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение х. = о(1, з.) с правой частью, задающей гладкое поле направлений в области расширенного фазового пространства (любой конечвой размерности 1 +т). ОпРеДеление. ПРеобРазованием за вРемн от Со до 1 называется отображение области фазового пространства в фазовое пространство, сопоставляющее начальному условию в момент Со значение решения с этим начальным условием в момент С (рис.
70). Это преобразование обозначается д,',. В обозначениях следствия 4 с Рнс. 70. Преобразование за время от сс до С 4~„хо = Ф(со, хо, с) Из основной теоремы о выпрнмлении вытекает Следствие 5. Преобразования за время от Со до С для уравнения с гладкой правой частью 1) определены в окрестности каждой фазовой точки то для С. достаточно близких к Со, 2) являются локальными диффеоморфизмами (класса С", если правая часть класса С") и гладко зависят от 1 и от 1о, 3) для г и С, достаточно близких к Со, имеет место тождество дс х = д~д"' х (для всех х из достаточно малой окрестности точки хо); 4) при фиксированнолс С функция чс(С) = у'„С есть решение уравнения х = о(с, х), удовлетворяющее начальному условию ср(1о) = 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
