Арнольд - Обыкновенные дифференциальные уравнения (947317), страница 17
Текст из файла (страница 17)
й' 2, п. 3). Другие примеры доставляют так называемые автомодельные решения уравнений математической физики. Здддчд 1. Найти решения уравнения Лапласаь в Н~ и в Я~ь зависящие талька ат расстоянии точки да начала координат. Отвнт. С !п1)г+ сопв1ь С/и+ сопл! (ньютонавские потенциалы; строго говоря, Ь(!п1/г) = — 2пб в Н~,?лЯг) = — 4нб в Н~ (почему?)). Всякий раз, когда найдена точно решаеман задача, открывается возможность приближенно исследовать близкие задачи методами теории возмущений. Однако опасно распространить результаты, полученные при изучении точно решаемой задачи, на близкие задачи общего вида: нередко точно интегрируемое уравнение потому и интегрируется, что его решенин ведут себя проще, чем у близких неинтегрируемых задач.
Например, уравнение фазовых кривых модели Лотка — Вольтерра удается проинтегрировать (п. 7 62) лишь благодаря тому, что все эти кривые замкнуты (в то времн как у болин)инства близких неинтегрируемых моделей большинство фазовых кривых — незамкнутые спирали). Операторам Лапласа в евклидовом простренстве НЯ незывеется оператор ьз = Штрдвй = 1 дг/де~ (кь декартовы координаты).
Уравнение Лапласа имеет вид Жы = О. Решения этого уравнения нвзыввются гармояичесними функциями. Например, устеновившееся распределение темперетуры задается германическай функцией. Оператор Леплвсв измеряет отличие среднего знечения функции в малом шаре от ее значения в центре шара. Среднее гармонической функции по любому шару точно равна ее знвчению в центре шара (докежитеЦ.
Глйвл 2 Основные теоремы В этой главе формулируются теоремы о существовании и единственности решений и первых интегралов, о зависимости решений от начальных данных и от параметров. Доказательства изложены в гл. 4. здесь лишь обсуждается связь этих результатов друг с другом. '9' Т. Теоремы о выпрямлении Здесь формулируется основная теорема о выпрямлении поля направлений, и из нее выводятсн теоремы существования, единственности и дифференцируемой зависимости решении от параметров и начальных условий, теоремы о продолжении и о локальных фазовых потоках. 1.
Всыпрямление поля направлений. Рассмотрим гладкое поле направлений в области С тс-мерного пространства. Определение. Выпрялслениелс поля направлений называется диффеоморфизм, переводящий его в поле параллельных направлений (рис. 69). Поле называется вьтрялсляемыль если существует его выпрямленне. Теорема 1 (основиая). Всякое гладкое иоле направлений выпрямляелсо в окрестнос- Рис. 69.
Вьслрямление по- ти каждой точки. Если поле т раз нелрерывля направлений но дифференцируело (класса С", 1 < т < со), то и вылрялсллющий диффеолсорфизлс можно выбрать класса С". Примни Поле направлений уравнения а = ж (рис. 69) выпрямлнетсн диффеоморфизмом (с, т) с-с (1, у = же '). Действительно, этот диффеоморфизм переводит интегральные кривые се = Се' на плоскости (С, л) в параллельные прямые у = С на плоскости (С, у). 97 З 7. Теоремы о выпрямлении Злдлчл 1. Выпрнмить полн направлении уравнений х = С и х = хз в окрестности начала координат.
ЗАДАЧА 2. Всякое ли гладкое поле направлений на плоскости выпрямляемо в целом? Ответ. Нет, см. рис. 60. Злдлчл *3. Пусть в Рз дано (гладкое) поле двумерных плоскостей (в каждой точке приложена плоскость). Всегда лн можно выпрямить его 1превратить в поле параллельных плоскостей подходнщим диффеоморфизмом)? Указание. Выпрнмляемое поле является полем плоскостей, касательных к семейству поверхностей. Ответ. Нет. Рассмотрим, например, ноле плоскостей, заданное уравнением удх + дг = 0 (вектор принадлежит плоскости поля, если на нем эта 1-форма обращается в нуль). Не существует ни одной поверхности, касающейся плоскостей этого полн. Доказательство основной теоремы 1 будет дано в 2 32. Вот две ее переформулировки.
Теорема 2. Все гладкие поля направлений в областях одинакового числа измерений локально диффеоморфны 1переводятся друг в друга диффеоморфизмом) . ДокАВАтельстВО. 1 ~ 2: по основной теореме все поля локально диффеоморфны одному стандартному полю. 2 .=ь 1: из локальной диффеоморфности любому полю вытекает, в частности, локальная диффеоморфность стандартному, т.
е. локальная выпрямляемость. Теорема 3. Дифференциальное уравнение х = е(х, х) с гладкой правой частью е локально эквивалентно простейшему уравнению ду)дт = О. Иными словами: В окрестности каждой точки расширенного фазового пространства (1, т) существует допустимая система координат (т, у) ?переход к которой — диффеоморфная з мена переменных), в которой уравнение записывается в простейшем виде: ду(дт = О. ДокАВАтельстВО.
1 ~ 3: сначала выпрямим поле направлений е, а затем рассмотрим декартовы координаты, в которых ось времени т параллельна прнмым 7 Заказ №И17 Глава й выпрямленного поля направлений. 3 =:г 1: вснкое поле направлений локально записывается как поле направлений подходящего дифференциального уравнения. Переход к локальной системе координат, в которой уравнение имеет вид ду/«1т = О, выпрямляет заданное поле. ЗАдАчА *4. Можно ли выпрямить во всем расширенном фазовом пространстве Н х К" поле направлений уравнения х = е(й х) с гладкой правой частью, заданной во всем этом пространстве« Злдлчл 5. Докажите, что систему координат теоремы 3 можно выбрать так, чтобы время не преобразовывалось (т = «). ЗАдАчА б.
Выпрямить поле направлений уравнения х = х+ т на всей плоскости сохраняющим время диффеоморфизмом (ц х) ~ — > (ц у(ц х)). ЗАДАЧА 7. Можно лн выпрямить поле направлений уравнения х = х на г всей плоскости сохраняющим время днффеоморфизмом7 Отввт.
Нет. Основнан теорема о выпрямлении открыта, в сущности, Ньютоном. В знаменитом «втором письме» Ньютона к секретарю Королевского общества Ольденбургу (от 24 октября 1676 года) он зашифровал метод ее доказательства в виде второй (длинной) анаграммы (переписку с Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон предпочитал вести через Ольденбурга). В современных терминах метод Ньютона состоит в следующем. Пусть дано уравнение х = о(~, х). Будем искать выпрямляющий диффеоморфизм й = 6(г, х), для которого р = х при 1 = О (время не преобразовываем). Из условия р = О получаем длн 6 уравнение дЬ/сп+ +(дЬ/дх)и = О.
Разложим о и Ь в ряды по степеням й Ь= Ьо+«6«+..., о =со+»в»+ Тогда Ьо(х) = х. поэтому дЬ/дх = Е+НН, +... Подставим ряды длн 6 и для а в уравнение для 6. Развернем левую часть в ряд по 6 Приравняем нулю коэффициенты при 1о, Н,... в этом ряду (на основании единственности коэффициентов ряда Тейлора). Мы получим последовательно Ьг+оо — — О, 26»+Ьг,ос+о» вЂ” — О, В уравнение для 6» входят, кроме него, лишь производные от 6 с меньшими номерами. Поэтому мы можем последовательно («рекуррентно») найти сначала Ьы потом 6» и таь все члены искомого ряда.
1 7. Теоремы о выпрямлении В этом состоит метод Ньютона интегрирования дифференциальных уравнений с помощью рядов. Чтобы применить этот метод, нужно было уметь разлагать данные функции в рпды. Для этого Ньютону пришлось открыть свою формулу бинома (1 + 1)о = 1+ ай +... Злдлчл 8. Решить методом Ньютона уравнение х = и с начальным условием уз(0) = 1. Ркшвнив. ~о = 1+газ +грузе+. =г дь+2узг+ Зугзг~+ = 1+ угН+ +1озг~+..., следовательно, ьзь = 1, угз = уч/2, 1оз = угз/3,..., откуда ~рь = 1//с).
Так и был впервые выведен ряд длн экспоненты. Все дальнейшее развитие анализа даже и сегодня следует по намеченному Ньютоном пути. Доказательством сходимости построенных Ньютоном рядов много занимались в Х1Х веке. Сходимость рядов для 6 в аналитическом случае была доказана Коши~. Теорема Коши была перенесена на случаи конечной гладкости Пикаром, его доказательство и изложено в 2 32. Основная теорема 1 — — утверждение такого же характера, как теоремы линейной алгебры о приведении квадратичных форм нлн матриц линейных операторов к нормальному виду. Она дает исчерпывающее описание локального повеления поля направлений, своди все вопросы к тривиальному случаю параллельного поля.
В анализе родственной теоремой явлнется теорема о неявной функции. Гладкое отображение /: В~ -+ И" называется яевырождениым е точке О, если ранг производной в этой точке имеет максимальное возможное значение (т. е. равен меньшему из чисел гп и и). Пусть /(0) = О. Два таких отображения /, 8 называются лолальио эяеиеалеитиыли о гаечке О, если одно из иих переходит в другое пол действием диффеоморфизмов пространств прообраза и образа, оставляющих 0 на месте: /ы Н -+ Ж й: Г -+Г,/оь=йоб. Иными словами, деа отобр жеиия локально эквие леитиы, если при подходящих выборах допустимых систем локальных координат е прообразе и е образе (с яачалом е 0) ояи записываются одияакоеыли форлулали. Теорема о неявной функции.
В окрестности иееырождеяных точек всякие деа гладких отображения (пространств фиисирооаяиых размерностей т и и) элеиеалеятям друг другу. ~Не необходимость доказательства сходимости обретил внимание еще Эйлер, ззметивший, что ряды, получаемые аналогичным путем в других задачах, иногда ресходятся. Эйлер искал е виде ряда по Г решение уравнения дх/Ф = (х — 1)/сз, равное 0 при 1 = О. Получился всюду расходящийся ряд х = 2 (Л вЂ” 1)! 1~. Глава Е В частности, всякое отображение эквивалентно своей линейной части е кееирождеккой точке.
Поэтому сформулированная теорема является одной из многочисленных теорем о линеаризации. В качестве локальной нормальной формы, к которой приводится отображение З диффеоморфичмами 6 и к. естественно выбрать следующую простейшую: у„=хо при ч'(г, уч =О при ч) г, где г = тш(чп, и) — — ранг производной Г в нуле, хч — координаты точки в пространстве-прообразе, уч -- а пространстве образе. Иными словами, З-- вложение, если размерность прообраза меньше, чем образа, и расслоение— в противном случае. Читатель. привыкший к более сложным формулировкам теоремы о неявной функции, легко проверит их эквивалентность приведенной простой геометрической формулировке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
